第三十二讲：角的比较与运算（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第三十二讲：角的比较与运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点是角的顶点；这两条射线是角的两条边. 动态概念：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 知识点02：角的表示 1. 用三个大写英文字母表示 2. 用顶点的一个英文字母表示 ∠O 3. 用一个希腊字母表示 ∠α 4. 用一个数字表示 ∠1 知识点03：角的度量和单位 度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. 知识点04：知识总结 考点1：角的比较 【典型例题】 如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，结合图形并根据角的概念即可求出答案．解题的关键是正确理解角的表示方法． 【详解】解：A．与表示同一个角，故此选项不符合题意； B．如图，，故此选项不符合题意； C．表示，故此选项不符合题意； D．如图，，则大于，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练1】 如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出的取值范围是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【变式训练2】 如图，在正方形网格中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出角的度数，然后再比较大小就容易了． 根据题意和图得出：，，再根据，从而得出，然后结合图观察出，，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知：， 同理， 又， ， 由图可知，， ， 故选：D． 考点2：三角板中的角度计算 【典型例题】 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 【变式训练1】 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，理解三角板的性质是解题的关键；由题意可得，再结合，即可得出的度数． 【详解】解：依题意，结合图形，得， ∵， ∴， 故选：C 【变式训练2】 一副三角板按如图所示进行摆放，点C，B，D在同一直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角的计算，根据三角板中角的度数进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， ∵点C，B，D在同一直线上， ∴， 故选：D 考点3：角的计算 【典型例题】 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练1】 如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，先由平角得，平分，得，因为，则，再进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【变式训练2】 如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义和平面内角的相关计算，理解并掌握角平分线的定义是解题关键． 根据题意可知，结合角平分线的定义可得，由即可获得答案； 【详解】解：∵， ， ∵是的平分线， ， ∵是的平分线， ， ， 故选：B． 考点4：角的等分问题 【典型例题】 如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 【详解】解：是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】 已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 【变式训练2】 如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 一、单选题 1．利用一副三角尺画角，无法画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一副三角尺的角度问题．一副三角尺的角度为，通过加减这些角度，即可求解． 【详解】解：根据题意得：一副三角尺包含四个基本角． A、或，可画出角，故本选项不符合题意； B、，可画出角，故本选项不符合题意； C、，可画出角，故本选项不符合题意； D、无法通过基本角的和差得到，不可画出角，故本选项符合题意； 故选：D 2．将一副三角板按如图所示放置，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算问题，根据角的和差关系得出，再根据角度的和差关系即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3．如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，直线和相交于点，平分，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是角平分线相关的计算，解题关键是正确找到角与角之间的关系． 先由推得，再由平分推得即可证． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：． 5．在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，恰好平分， ∴， 故选：B． 6．如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，先求出，又是的平分线，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：． 7．如图是内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边平分，三角尺的另一边也正好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的计算，根据角平分线的定义得出，，然后结合三角板中，求解即可． 【详解】解：∵平分， 平分， ∴，， 又， ∴， ∴， 即， 故选：B． 8．光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面P点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据周角的定义可求出的度数，再根据入射角等于反射角，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为， ∴， ∴， ∵入射角等于反射角， ∴， ∴， ∴入射光线与水平面的夹角为， 故选：C． 二、填空题 9．如图，直线相交于点 E，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平角的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 10．如图，直线AB和CD相交于点O，，那么直线AB和CD的夹角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，解题的关键是利用已知角的度数，通过角的和差关系求出直线和的夹角． 先根据与的度数求出的度数，就是直线和的夹角． 【详解】解：， 直线和的夹角为． 故答案为：． 11．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【答案】/54度 【分析】利用三角板已知角的度数，通过角的和差关系来求解 ，先找出与、相关的已知角，再计算．本题主要考查了角的和差运算，熟练掌握利用已知角的度数及角之间的和差关系求解未知角是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ，， ， 又， ． 故答案为： 12．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查角的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据两个直角三角形的直角顶点重合，，从而可推出，，结合两个式子即可求出的度数． 【详解】解：∵两个直角三角形的直角顶点重合，且， ∴，， ∴, 故答案为：． 13．已知，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算．通过分析，可知有两种情况：①在左边；②在右边，画图后分别计算即可． 【详解】解：①在左边，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②在右边，如图， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 14．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 【答案】/52度 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴； 故答案为． 15．如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，平角的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．根据角平分线的性质求得，再根据平角的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 16．如图，，平分且，则的度数为 ． 【答案】53 【分析】本题主要考查了角的计算，正确识图准确计算是解题的关键． 先利用角平分线的定义得到，然后计算即可． 【详解】解：平分且， ， ， ， 故答案为：53. 三、解答题 17．如图，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度计算问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．由，设，，则有，根据角平分线的定义可得，利用列出方程，求出的值，即可求出的度数． 【详解】解：， 设，， ， 平分， ， ， ， 解得：， ． 18．如图，平分，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算，根据角平分线的定义可得，，再根据求出，依次求出，，即可求解． 【详解】解：平分，分， ，， ， ， ． ， ， ． 19．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的相关计算，角平分线的相关计算，对顶角相等等知识． （1）根据平分，得出，由，结合对顶角相等得出，再根据平角定义即可求出； （2）由，设，则，则，由，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 由， ， ； （2）解：由， 设，则， 则， 由， 即， ， 即． 20．已知点在直线上，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平角与的关系得到和的和，再由角平分线求出，进而算出． （2）通过设未知数表示相关角，依据角平分线性质和角的和为列方程，求解得出 ． 本题主要考查了角平分线的性质以及角的和差关系，熟练掌握角平分线将角分成相等的两部分，利用角的和差构建方程或直接计算是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为是的平分线，， 所以． 所以． （2）解：因为， 所以设，则． 所以． 因为是的平分线，， 所以． 由， 得，解得． 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第三十二讲：角的比较与运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点是角的顶点；这两条射线是角的两条边. 动态概念：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 知识点02：角的表示 1. 用三个大写英文字母表示 2. 用顶点的一个英文字母表示 ∠O 3. 用一个希腊字母表示 ∠α 4. 用一个数字表示 ∠1 知识点03：角的度量和单位 度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. 知识点04：知识总结 考点1：角的比较 【典型例题】 如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 【变式训练1】 如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，在正方形网格中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 考点2：三角板中的角度计算 【典型例题】 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 一副三角板按如图所示进行摆放，点C，B，D在同一直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点3：角的计算 【典型例题】 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点4：角的等分问题 【典型例题】 如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式训练2】 如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 一、单选题 1．利用一副三角尺画角，无法画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．将一副三角板按如图所示放置，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线和相交于点，平分，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图是内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边平分，三角尺的另一边也正好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面P点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，直线相交于点 E，．若，则的度数为 ． 10．如图，直线AB和CD相交于点O，，那么直线AB和CD的夹角为 ． 11．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 12．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 13．已知，，则的度数为 ． 14．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 15．如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为 ． 16．如图，，平分且，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，，平分，，求的度数． 18．如图，平分，平分，，，求的度数． 19．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．已知点在直线上，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，且，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$