11.2平面的基本事实与推论（专项训练）高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以漏洞扫描-通法锤炼-能力强化为逻辑主线，系统整合平面基本事实与推论的概念体系、判定方法及空间应用，突出几何直观与空间观念培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |漏洞扫描|3考点+基础辨析题|靶向定位薄弱点，夯实平面概念、位置关系符号表示|从平面抽象概念到点线面位置关系，构建几何语言体系| |通法锤炼|5题型（含多选/解答）|淬炼纳入法/同一法等通法，实现共面/共线/共点问题一类通解|以3个基本事实为核心，推导3个推论，形成判定-推理逻辑链| |能力强化|截面/分空间等综合题|强化知识联动，培养空间想象与逻辑推理能力|从基础判定到空间区域划分、截面作图，完成从具象到抽象的能力跃迁|

11.2：平面的基本事实与推论 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 空间几何体的结构特征 考点一：平面 1．平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的． 2．平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 一个平面的一部分被另一个平面挡住，被挡住的部分画成虚线或不画 图示 3.平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 考点二：点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 考点三：平面的基本性质及作用 1.基本事实 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面. 题型一：平面的概念及空间位置关系的画法 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两平面相交的特点判断. 【详解】两平面相交画出公共直线作为交线，且看不到的直线为虚线，故只有D正确. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面的概念和特征判断即可. 【详解】由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确． 其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确． 故选：A． 3．（25-26高二·上海·暑假作业）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的符号语言可得结果. 【详解】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平面的基本性质及空间位置关系的画法判断即可． 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 5．（25-26高一下·上海徐汇·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 【答案】 【详解】略. 题型二：平面分空间的区域数量 设为个平面把空间分成的最多区域数，则=. 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（   ） A．7个部分 B．14个部分 C．6个部分 D．12个部分 【答案】B 【分析】首先由三角形三条边所在直线将平面所分成的部分，再想象空间的部分. 【详解】如图，将一个三角形各边延伸可将平面分为7个部分，则直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成个部分. 2．（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【详解】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 3．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）三个平面将空间分成个部分，则可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BCD 【分析】通过三个平面不同位置关系逐个判断即可. 【详解】三个平面两两平行，分成4个部分，如图1 三个平面中有2个平行，另一个与它们相交，分成6个部分，如图2 三个平面两两相交于同一直线，分成6个部分，如图3 三个平面两两相交，三条交线两两平行，这时把空间分成7个部分，如图4 三个平面两两相交，三条交线共点，这时把空间分成8个部分，如图5 综上可知，可能是4，6，7，8.A错误，BCD正确. 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 【答案】4 【分析】先根据立体几何结论确定，再利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，三个互相平行的平面把空间分成部分，所以， 又，所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4 5．（25-26高二上·上海·单元测试）A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定______个平面. 【答案】5 【分析】由基本事实1及平面性质即可确定平面的个数. 【详解】由基本事实1可知不共线三点确定唯一平面， 故由题意，A、B、C、D、E五点可形成平面，平面，平面，平面， 平面，共5个平面. 故答案为：5 题型三：平面基本性质及辨析 紧扣3个基本事实和3个推论，可以适当运用逆向思维. 1．（25-26高一下·广东茂名·期中）下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相交的直线 【答案】D 【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误； 对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B错误； 对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误； 对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确. 2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B．直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C．空间中，过三点有且只有一个平面 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】B 【详解】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体， 所有侧棱不一定交于同一点，所以该六面体不一定是棱台，故A错误；    对于B，直三棱柱的底面是三角形，根据三角形三边关系定理可得两边之和大于第三边， 所以直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积，故B正确； 对于C，空间中，过不共线的三点有且只有一个平面，若三点共线，不能确定平面，故C错误； 对于D，底面是正多边形，顶点在底面的投影是正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故D错误. 3．（25-26高一下·广东湛江·期中）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线上的不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 两条相交直线确定一个平面，故③正确； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 4．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．两条相交的直线 C．两条相互垂直的直线 D．空间一条直线和一个点 【答案】B 【详解】若三点共线，可以确定无数个平面，故不一定能确定一个平面，故A错误； 根据平面基本性质，两条相交直线有且只有一个公共点，能确定一个平面，故B正确； 空间中存在无数异面且互相垂直的两条直线，而异面直线无法确定一个平面，故C错误； 若该点在直线上，则可以确定无数个平面，不能确定唯一平面，故D错误． 5．（25-26高二上·北京·期中）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】对于A，举例，当与相交时，可能满足，即可判断；对于B，根据常识判断即可；根据基本事实2判断C；根据基本事实3判断D. 【详解】对于A，由，则或与相交， 当与相交时，可能满足，故A错误； 对于B，由，，易得，故B正确； 对于C，根据基本事实2可知，由，，，可得，故C正确； 对于D，根据基本事实3可知，由，，，，可得，故D正确. 故选：A 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列关于点、线和面的关系表示正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【答案】BCD 【分析】根据点，线，面的位置关系的符号表示即可判断. 【详解】对于A：点与面的位置关系为：点平面，或点平面，故A错误； 对于BC：直线与平面的位置关系：直线平面，直线平面或直线平面，故BC正确； 对于D：平面与平面的位置关系：平面平面或平面平面，故D正确. 故选：BCD. 7．（25-26高一下·福建福州·期中）（多选）下列命题正确的有（    ） A．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形可以确定一个平面 【答案】AB 【详解】对A，根据棱台的定义知三棱台的各侧棱所在直线必交于一点，故A正确； 对B，根据正棱锥的特点知：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故B正确； 对C，当点在直线上时，不能确定平面，故C错误； 对D，空间四边形不在一个平面内，故D错误． 8．（25-26高一下·四川成都·期中）设l表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“与不重合，，，，______．” 【答案】 【分析】由平面基本事实二即可得答案. 【详解】因为一条直线上的两点在平面内，则这条直线就在平面内. 又因为，，，，与不重合， 所以. 题型四：空间中点（线）共面、点共线、线共点问题 1、点（线）共面 方法1：纳入法 ①选取部分直线/点，利用事实2确定一个平面； ②证明剩下每一条直线上有两点落在平面内； ③由事实1，直线全部落在内，完成共面. 方法2：同一法 ①由第一组元素确定平面； ②由另一组元素确定平面； ③证明与有三个不共线的公共点，即与重合. 2、点共线 点是两平面的公共点，则点都在交线上. 3、线共点 先证两线相交，再证交点在其余直线上. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）经过一条直线上3个点的平面（　　） A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 【答案】D 【分析】利用确定平面的条件判断即可. 【详解】经过不共线3个点的平面有且只有一个， 而经过同一直线上的3个点的平面有无数个． 故选：D. 2．（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据基本事实二、三逐项判断即可. 【详解】由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确； 由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确； 由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误． 故选：D． 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质逐项分析判断即可. 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 4．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【答案】C 【分析】连接，根据题意，证得且，设和相交于点，得到平面且平面，进而得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是上的点，且， 所以，且， 又因为点分别是边的中点，所以，且， 所以且，所以和相交， 设和相交于点，则平面且平面， 因为平面平面，所以点在直线上. 5．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知是不同的直线是不重合的平面，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又因， 所以，因此. 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 【答案】BCD 【分析】根据线线平行得出平行四边形及菱形判断A，B，根据平行得出四点共面判断C，应用平面的基本性质得出三线共点判断D. 【详解】因为分别是的中点，所以， 当时，，所以， 四边形是一个平行四边形，且，易得， 所以四边形是一个菱形，则， 不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确； 对于C，当时，，，则， 所以四点共面，C正确； 对于D，当时，，但，而， 所以但不相等，所以四边形是一个梯形， 假设相交于点，因为平面，平面， 又平面平面，所以， 从而可得直线相交于一点，D正确，故选：BCD. 7．（25-26高一下·上海·阶段检测）下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 【答案】②④ 【分析】利用平面的基本性质及空间想象判断各项的正误即可. 【详解】①空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线，错误； ②空间四点中有三点共线，若第四个点在直线上，则必四点共面， 若第四个点不在直线上，由直线与其外一点确定一个平面，此四点也必共面，正确； ③空间四点中任何三点不共线，此四点可能共面，如平面四边形，错误； ④空间四点不共面，假设任意三点有共线的，同②分析此四个点必共面，与已知矛盾，正确. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【答案】共线 【分析】连接，根据基本事实2、基本事实3可得答案． 【详解】如图，连接，， 显然平面，平面， 平面． 同理，平面， ∴平面平面． 平面， 平面． 又平面，平面． 在平面与平面的交线上，即， ，，三点共线． 故答案为：共线. 9．（26-27高一·全国·暑假作业）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 【答案】(1)证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 又因为，所以 ，故四点共面． (2)证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 【分析】(1)利用中位线定理和平性定理证明，从而四点共面； (2)设两直线交于一点，利用线面关系和面面交线证明该点在上. 【详解】（1）略. （2）略. 10．（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【分析】（1）通过证明直线与、分别相交于同一点，得出与相交，从而证明四点共面； （2）先确定平面与平面的交线为，再根据在平面内，得出与平面的交点即为与的交点. 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 题型五：平面基本性质的应用 同一平面与两个面相交，交线必为直线； 同一面上的两点连线，就是截面的边. 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 2．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为.    3．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 4．（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【答案】18 【分析】首先根据平行的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    5．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 【答案】6 【分析】作辅助线，得出截面图形，再由侧面与沿着展开，利用两点间距离最短求周长最小值. 【详解】在长方体的棱上取一点，满足，连接，． 因为，，，所以，同理可证． 则四边形为平行四边形，且是过，，三点的平面截长方体所得截面,则周长．将侧面与沿着展开，得侧面展开图如图, 当，，三点共线时，有最小值，． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面． 【答案】 【详解】延长交于，延长交于， 连接交于，连接交于， 连接， 所得到的五边形就是截面． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2：平面的基本事实与推论 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 空间几何体的结构特征 考点一：平面 1．平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的． 2．平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 一个平面的一部分被另一个平面挡住，被挡住的部分画成虚线或不画 图示 3.平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 考点二：点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 考点三：平面的基本性质及作用 1.基本事实 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面. 题型一：平面的概念及空间位置关系的画法 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·上海·暑假作业）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 4．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·上海徐汇·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 题型二：平面分空间的区域数量 设为个平面把空间分成的最多区域数，则=. 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（   ） A．7个部分 B．14个部分 C．6个部分 D．12个部分 2．（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 3．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）三个平面将空间分成个部分，则可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 5．（25-26高二上·上海·单元测试）A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定______个平面. 题型三：平面基本性质及辨析 紧扣3个基本事实和3个推论，可以适当运用逆向思维. 1．（25-26高一下·广东茂名·期中）下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相交的直线 2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B．直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C．空间中，过三点有且只有一个平面 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 3．（25-26高一下·广东湛江·期中）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．两条相交的直线 C．两条相互垂直的直线 D．空间一条直线和一个点 5．（25-26高二上·北京·期中）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列关于点、线和面的关系表示正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 7．（25-26高一下·福建福州·期中）（多选）下列命题正确的有（    ） A．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形可以确定一个平面 8．（25-26高一下·四川成都·期中）设l表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“与不重合，，，，______．” 题型四：空间中点（线）共面、点共线、线共点问题 1、点（线）共面 方法1：纳入法 ①选取部分直线/点，利用事实2确定一个平面； ②证明剩下每一条直线上有两点落在平面内； ③由事实1，直线全部落在内，完成共面. 方法2：同一法 ①由第一组元素确定平面； ②由另一组元素确定平面； ③证明与有三个不共线的公共点，即与重合. 2、点共线 点是两平面的公共点，则点都在交线上. 3、线共点 先证两线相交，再证交点在其余直线上. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）经过一条直线上3个点的平面（　　） A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 2．（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 4．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 5．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知是不同的直线是不重合的平面，若则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 7．（25-26高一下·上海·阶段检测）下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 9．（26-27高一·全国·暑假作业）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 10．（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 题型五：平面基本性质的应用 同一平面与两个面相交，交线必为直线； 同一面上的两点连线，就是截面的边. 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    5．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $