11.2 平面的基本事实与推论 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.2　平面的基本事实与推论 基础过关练 考点一　点、线共面问题 1.下列推理错误的是(　　) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A∈l,l⊂α⇒A∈α 2.(多选题)下列各图中,线段的端点要么是正方体的顶点,要么是棱的中点,则这两条线段所在直线位于同一平面的是(　　) 　　　　　　　　　　　　 3.(多选题)下列说法不正确的有(　　) A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面 B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面 C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上 D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面 4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为BD的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论不正确的是(　　) A.C1,M,O三点共线 B.C1,M,O,C四点共面 C.C1,O,A,M四点共面 D.D1,D,O,M四点共面 5.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面边长均为2,点E,F分别为AC,CC1的中点,点D满足AD=AB,求证:B1,D,E,F四点共面. 考点二　点共线问题 6.如图,在四棱锥E-ABCD中,点G在正方形ABCD内,点F在BE上,若DF与EG相交,则下列说法一定正确的是　　(　　) A.点G在AC上 B.BG=GD C.AG=GD D.直线EB,GD交于点B 7.在四棱锥A-BCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若GH,EF交于一点P,则　　(　　) A.P一定在直线BD上 B.P一定在直线AC上 C.P在直线AC或直线BD上 D.P既不在直线BD上,也不在直线AC上 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱D1C1的中点,设AM与平面BB1D1D的交点为O,则(　　) A.D1,O,B三点共线,且OB=2OD1 B.D1,O,B三点不共线,且OB=2OD1 C.D1,O,B三点共线,且OB=OD1 D.D1,O,B三点不共线,且OB=OD1 9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线. 考点三　线共点问题 10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面D1PQ∩平面ABCD=l,则下列结论错误的是(　　) A.l过点B B.l不一定过点B C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上 D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上 11.三棱台的各个面所在的平面,将空间划分为　　　　个区域.  12.如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,E,F分别为AA1,AB的中点. (1)求证:直线D1E,CF,DA交于一点; (2)若AA1=4,求多面体BCD1EF的体积. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 答案 基础过关练 1.C 2.BD　如图(1)(2)(3)(4)所示,B,D符合题意. 　　　 3.ABC　对于A,B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故A、B错误; 对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误;显然D正确. 4.D　连接A1C1,AC,则AC∩BD=O. 因为AC⊂平面ACC1A1,BD⊂平面C1BD, 所以O∈平面ACC1A1,O∈平面C1BD. 因为A1C∩平面C1BD=M,A1C⊂平面ACC1A1, 所以M∈平面ACC1A1,M∈平面C1BD. 又易知C1∈平面ACC1A1,C1∈平面C1BD, 所以C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以A中结论正确.由推论1可知B,C中结论均正确;易知D中结论不正确. 5.证明　如图所示,取B1D的中点H,过H作HG⊥AB于G,连接HF,GC,则HG∥BB1. 因为H为B1D的中点,所以G为BD的中点, 所以HG=BB1. 又CF∥BB1,且CF=BB1, 所以HG∥CF,且HG=CF, 所以四边形HGCF是平行四边形,所以GC∥HF. 因为AD=AB,所以DG=DB=AB=AD. 又AE=EC,所以DE∥GC,所以DE∥HF, 所以H,D,E,F四点共面, 又B1∈DH,所以B1,D,E,F四点共面. 6.D　因为DF与EG相交,所以平面EFGD∩平面ABCD=BD,所以直线EB,GD交于点B,故D正确;由以上分析知,G可为BD上任意一点,故A,B,C错误. 7.B　由题意知GH⊂平面ADC. 因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC. 同理,P∈平面ABC. 因为平面ABC∩平面ADC=AC, 所以由基本事实3可知点P一定在直线AC上. 8.A　如图,连接AD1,BD1,BC1, 易知平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1. ∵M为棱D1C1的中点,D1C1⊂平面ABC1D1,∴M∈平面ABC1D1. 又A∈平面ABC1D1,∴AM⊂平面ABC1D1. 又O∈AM,∴O∈平面ABC1D1. ∵AM与平面BB1D1D的交点为O,∴O∈平面BB1D1D, ∴O∈BD1,即D1,O,B三点共线. 易知D1M∥AB,且D1M=D1C1=AB, ∴OD1=BO,即OB=2OD1. 9.证明　∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF. ∵M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD, ∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD,∴Q∈平面ABCD. 同理,EF⊂平面ADD1A1,∴Q∈平面ADD1A1. 又∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, ∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线. 10.B　如图,连接PB,QB. 因为P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP,所以四边形D1PBQ是菱形, 所以D1,P,B,Q四点共面,即B∈平面D1PBQ. 又B∈平面ABCD,所以B∈l,故A中结论正确,B中结论错误. 延长D1P,与DA的延长线交于点F, 延长D1Q,与DC的延长线交于点E. 因为D1F⊂平面D1PBQ,所以F∈平面D1PBQ. 因为DF⊂平面ABCD,所以F∈平面ABCD, 所以F∈l.同理,E∈l,故C,D中结论正确. 11.答案　21 解析　三棱台的3个侧面所在平面两两相交,且所得3条交线共点,这3个平面将空间分成7个区域, 一个底面将其所在的7个区域分成两半,另一个底面将其所在的7个区域分成两半,所以三棱台的各个面所在的平面将空间划分的区域个数为7+7+7=21. 12.解析　(1)证明:连接EF,A1B,CD1. 因为E,F分别为AA1,AB的中点, 所以EF∥A1B且EF=A1B. 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,且底面是正方形,所以BC∥AD∥A1D1,且BC=AD=A1D1, 故四边形A1BCD1是平行四边形, 所以A1B∥D1C且A1B=D1C, 所以EF∥D1C,且EF≠D1C, 所以四边形EFCD1为梯形,所以D1E与CF交于一点,记为P,即P∈D1E,P∈CF. 又D1E⊂平面ADD1A1,CF⊂平面ABCD, 所以P∈平面ABCD,P∈平面ADD1A1. 又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以P∈直线AD,所以直线D1E,CF,DA交于一点. (2)由(1)知多面体BCD1EF是以四边形EFCD1所在平面为底面的四棱锥. 连接BE,BD1,D1F,则=+=+= ××1×2×2+××1×2×4=2. $