第三章 函数的概念与性质（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版高一数学第三章“函数的概念与性质”单元自测提高篇，19题覆盖单选、多选、填空、解答，聚焦定义域、单调性、奇偶性、幂函数及实际应用，通过分层设计与真实情境，适配暑假巩固提升，可有效检测数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域（题1）、幂函数性质（题2）|基础概念辨析，结合地域阶段检测题| |多选|3/18|同一函数判断（题9）、幂函数综合（题10）|多选项区分度，考查概念准确性| |填空|3/15|定义域（题12）、数值比较（题13）|抽象与具体结合，检测细节掌握| |解答|5/77|抽象函数定义域（题15）、利润最值（题18）、函数性质证明（题19）|综合应用突出，如题18以医疗器械生产为情境体现数学语言表达现实世界，题19通过奇偶性与单调性证明发展数学思维|

第三章 函数的概念与性质（单元自测·提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·湖北·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用抽象函数定义域来确定自变量满足的条件，然后求解即可. 【解答过程】因为函数的定义域为，则函数的自变量满足： ，解得， 所以函数的定义域为， 故选：B. 2．（5分）（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用幂函数的定义及单调性列式求出的值. 【解答过程】由幂函数在上是严格减函数，得，解得， 而，则，， 由幂函数的图象关于y轴对称，得为偶数， 因此，此时，所以整数a的值是1. 故选：B. 3．（5分）（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 4．（5分）（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【解答过程】因为函数在上是增函数， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 5．（5分）（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义及性质求解. 【解答过程】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意；所以，， 因为在上单调递增，， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故选：C. 6．（5分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【解题思路】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【解答过程】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 7．（5分）（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】推导出函数是周期为的周期函数，，以及，计算出的值，结合函数周期性可得出所求代数式的值. 【解答过程】因为是定义域为的奇函数，满足， 即，， 在等式中，用代替得， 所以， 故函数是周期为的周期函数，且， 对任意的，， 所以， 因为，所以 ， 故选：C. 8．（5分）（25-26高一上·全国·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【解答过程】由题意可设，因为是上的奇函数， 则，即是上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【解题思路】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【解答过程】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 10．（6分）（25-26高一上·山西太原·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】BD 【解题思路】根据幂函数所过的点求得，即可判断A、B、C，再解不等式求解集判断D. 【解答过程】令，则，得，故，则，A错； 所以函数的定义域为， 且为偶函数，B对； 在上单调递增，在上单调递减，C错； 由或，故的解集为，D对. 故选：BD. 11．（6分）（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解题思路】A根据判断；B根据单调性的定义判断；C利用计算；D将问题转化为，结合单调性可求. 【解答过程】令，则，得， 故不是奇函数，故A错误； 任取，且，则， 则 ， 则，故在上单调递增，故B正确； 令，则， 则 ， 故C正确； 因为，所以， 故可化为， 因为在上单调递增，所以，得，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数的定义域为__________． 【答案】 【解题思路】根据分母不为零以及被开偶次方根的数为非负数解不等式即可求得结果. 【解答过程】依题意可知，解得且； 因此函数定义域为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是________．（用小于号连接） 【答案】 【解题思路】利用幂函数的单调性判断即可. 【解答过程】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解题思路】由已知等式，结合函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】在中，令，且， 所以， ， ， 因为函数是定义在上的减函数， 所以有， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【解答过程】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 16．（15分）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值； (2)解不等式：. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由幂函数求参数值，结合区间单调性求解析式，再求函数值； （2）利用函数的单调性列不等式求解集. 【解答过程】（1）由题设，可得，则或， 当，则在上单调递减，符合， 当，则在上单调递增，不符合， 综上，，则； （2）由（1）及不等式，有，可得， 所以或，解集为. 17．（15分）（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【解题思路】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【解答过程】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 18．（17分）（25-26高一上·上海·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解题思路】（1）分和两种情况，结合题意求分段函数解析式； （2）分和两种情况，结合二次函数和基本不等式运算求解. 【解答过程】（1）当时，可得 ； 当时，可得； 所以. （2）若，则， 所以当时，万元； 若，则， 当且仅当，即台时，等号成立，万元； 因为，所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 19．（17分）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． (1)求的值，并证明是奇函数； (2)证明：是上的减函数； (3)解关于的不等式． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）令代入已知等式求，再令结合的结果，变形验证满足奇函数的定义. （2）设，将用的公式变形，结合时的条件，判断差值的正负，证明的减函数性质. （3）利用的公式对不等式变形，结合求出，将不等式转化为，再借助减函数的单调性转化为一元二次不等式求解. 【解答过程】（1）令，得，所以． 令，得， 所以， 所以， 所以是奇函数． （2）设，且． 由 ， 因为，所以， 因为时，， 所以，即， 即，所以， 所以是上的减函数． （3）由， 得， 即， 即， 即 即． 因为，所以， 又，所以， 所以． 由（2）知，是上的减函数， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（单元自测·提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·湖北·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（5分）（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 7．（5分）（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高一上·全国·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（6分）（25-26高一上·山西太原·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 11．（6分）（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数的定义域为__________． 13．（5分）（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是________．（用小于号连接） 14．（5分）（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 16．（15分）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值； (2)解不等式：. 17．（15分）（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 18．（17分）（25-26高一上·上海·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 19．（17分）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． (1)求的值，并证明是奇函数； (2)证明：是上的减函数； (3)解关于的不等式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $