第三章 《函数的概念与性质》检测卷—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第三章 《函数的概念与性质》检测卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数有意义列式求解. 【详解】函数的意义，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B 2．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 3．若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题可先根据表格求出的值，再求出的值. 【详解】由表格可知，当时，. 所以. 故选：B. 4．下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误； 故选：C. 5．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【详解】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 7．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 8．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的对称性及单调性结合平移得出函数性质判断各个选项即可. 【详解】因为是上的偶函数，又因为函数是定义在上的增函数，则是上的增函数， 所以图象是关于对称的，且在单调递增， 故选:BC． 10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 11．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【分析】设.根据幂函数的定义即可求得.由即可判断选项A；根据偶函数的定义即可判断选项B；作差法比较与大小即可判断选项C；对变形得，由函数单调性的性质即可判断选项D. 【详解】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 13．已知，则 . 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】因为， 所以, 故答案为：2 14．已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 16．（15分）已知是定义在上的偶函数，当时，. （1）求，的值； （2）求的解析式； （3）画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 17．（15分）已知函数，. （1）判断并证明函数的单调性； （2）求函数的最大值与最小值. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）定义法证明单调性：任取且，通过与的关系判断函数的单调性； （2）根据函数单调性求最值. 【详解】（1）函数在区间上是减函数，证明如下： 任取且， ， 因为且， 所以，，， 所以，即， 所以是上的减函数. （2）由（1）知是上的减函数， 所以，. 18．（17分）函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 19．（17分）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第三章 《函数的概念与性质》检测卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 4．下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 5．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数，则 . 13．已知，则 . 14．已知函数是奇函数，则实数 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求. 16．（15分）已知是定义在上的偶函数，当时，. （1）求，的值； （2）求的解析式； （3）画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 17．（15分）已知函数，. （1）判断并证明函数的单调性； （2）求函数的最大值与最小值. 18．（17分）函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解不等式． 19．（17分）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$