高一年级期末模拟试卷（命题范围：必修第二册平面向量及其应用--概率）高一数学湘教版必修第二册

**基本信息** 覆盖必修二平面向量至概率核心知识，通过概率应用（如运动员检测）、立体几何探究（如正方体面面平行）等分层设问，考查空间观念、推理能力与数据意识，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|概率（硬币投掷）、复数（纯虚数）、立体几何（圆锥侧面积）、向量（投影向量）|基础巩固，多模块交叉| |填空题|3/15|几何概型（面积表示事件）、正方体线面关系|情境创新，体现数据意识| |解答题|5/77|概率应用（运动员检测）、解三角形（角平分线）、立体几何（面面平行）|分层设问，综合考查推理能力与空间观念|

2025-2026学年高一数学期末模拟试卷 命题范围：必修第二册 ：平面向量及其应用--概率 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 2．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 3.已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．中内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 7．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 8．设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且．下述四个命题： ①若，则或    ②若，则或 ③若且，则    ④若n与，所成的角相等，则 其中正确的命题的个数是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若夹角为钝角，则 10．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第三象限 C．的共轭复数为 D．若，则的最大值是 11．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱中点，点为与交点，则下列命题正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．平面 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______． 13．为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 14．如图，正方体的棱长为1，过A点作平面的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①与是异面直线；②AH垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°．其中正确结论的序号是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 16．（15分）如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点. (1)若，求实数的值； (2)求·的最小值. 17．(15分）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 18．（17分）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，且． (1)求角B的大小； (2)D为AC边上的一点，BD是角B的平分线，且，求的面积； (3)若为锐角三角形，求AC边上的高的取值范围． 19．（17分）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学期末模拟试卷 命题范围：必修第二册 ：平面向量及其应用--概率（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D D C A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．/ 13．②③ 14． ①②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数.…………4分 （2）若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数.……9分 （3）若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. .....................13分 16．（15分） （1）由题意， 即，故， 因为Q为线段AP上一点， 设，又不共线， 所以，解得 所以；…………6分 （2）， 由（1）知，， ， 所以 ， 当时，， 所以的最小值为 ....................15分 17．(15分） （1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为．…………8分 （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. ……15分 18． （17分） （1）在中，由正弦定理可得， 由得，∴， ∴，∴ ， ∴，∴ 又，∴，又，所以．…………5分 （2）由面积，得， 即 ． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得 或（舍）， ∴．…………10分 （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，，故， 因此，，，因此， 设AC边上的高为h，，所以． .....................17分 19． （17分） （1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点．…………5分 （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； …………10分 （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. .......................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学期末模拟试卷 命题范围：必修第二册 ：平面向量及其应用--概率 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，随机掷2次的所有可能情况有{正面、正面}，{反面、正面}，{正面、反面}，{反面、反面}四种情况， 所以恰好出现2次正面向上的情况有{正面、正面}一种情况， 所以随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为. 2．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 因为该复数为纯虚数，因此且，解得. 3.已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥的高为，底面半径为， 则圆锥的母线长， 可得圆锥的侧面积为. 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得： . 5．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】由题意， 且 ； 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为. 6．中内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以. 7．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 【答案】A 【分析】方法一：逐个分析至少有一颗卫星预报准确的所有可能的事件，依次求其概率后相加，方法二：正难则反，“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确” 用1减去对立事件的概率即可. 【详解】设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件， 方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为： ①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为， ②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为， ③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为， 这三个事件彼此互斥，故事件的概率为， 方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是 “在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”， 故事件的概率为． 8．设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且．下述四个命题： ①若，则或    ②若，则或 ③若且，则    ④若n与，所成的角相等，则 其中正确的命题的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合线面平行的判定与性质、线面角的定义逐一判断四个命题的真假，统计正确命题个数即可. 【详解】对命题①：已知，且直线不重合，分三类讨论： 若，则，由，，根据线面平行判定定理得，满足结论； 若，则，由，，根据线面平行判定定理得，满足结论； 若且，由，，得且，仍满足“或”， 故命题①为真命题. 对命题②：若与所成二面角不是直二面角，在其中一个面内作直线，则与均不垂直，故命题②为假命题。 对命题③： 如图所示，作包含直线的平面，设与平面的交线分别为， 由得，由得，因此； 又，故，结合，得，由推出， 故命题③为真命题. 对命题④：当时，与所成的角均为，满足所成角相等，但此时与不垂直，故命题④为假命题。 综上，真命题为①③，共个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若夹角为钝角，则 【答案】BC 【分析】对A：借助模长公式计算即可得；对B：借助向量平行性质计算即可得；对C：借助垂直于数量积关系计算即可得；对D：由题意可得且、不共线，计算即可得解. 【详解】对A：，解得，故A错误； 对B：由，则，解得，故B正确； 对C：由，则，解得，故C正确； 对D：若夹角为钝角，则且、不共线， 即有且， 解得且，故D错误. 10．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第三象限 C．的共轭复数为 D．若，则的最大值是 【答案】BCD 【详解】由题意得， 对于A选项，的虚部为，故A错误； 对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，故B正确； 对于C选项，的共轭复数为，故C正确； 对于D选项，，由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即的最大值是，故D正确. 11．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱中点，点为与交点，则下列命题正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可；对于B，根据线面平行的判定定理证明即可；根据线面垂直的判定定理判断即可；对于D，根据等体积法计算求解即可. 【详解】对于A，三棱柱中，，，且， 易知为等腰直角三角形，又点是棱中点，所以. 因为侧面，均为正方形， 所以，，，所以. 因为，平面，，所以平面， 则三棱柱为直三棱柱. 又平面，所以. 因为，平面，，所以平面，A正确. 对于B，连接，由点为与交点及为正方形，得点为中点. 又点是棱中点，所以. 因为平面，平面，所以平面，故B正确. 对于C，由A知，平面，平面，所以， 又，所以. 因为，平面，，所以平面， 故与平面不垂直. 对于D，在等腰中，点为中点，，所以. 在中，， 因为平面，平面，所以. 设点到平面的距离为，则， 即，解得， 即点到平面的距离为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______． 【答案】 / 【详解】注意到，令，已知， 由二倍角公式，代入得. 13．为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 【答案】②③ 【分析】根据图中事件的关系，结合独立事件的判定判断各项的正误即可. 【详解】对于①，由题图知，为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，①不正确； 对于②，由图得，则，，则有，所以图中事件相互独立，②正确； 对于③，设图中的小的长方形的面积为，由，，， 所以，则题图中事件相互独立，③正确. 14．如图，正方体的棱长为1，过A点作平面的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①与是异面直线；②AH垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】由异面直线的定义可以判断①；证明平面平面，即可证得AH垂直于平面，即可判断②；易证平面，由线面垂直可得线线垂直，即可判断③. 【详解】由与既不平行，也不相交，不同在任何一个平面内，所以是异面直线，①正确； 由，平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，可得平面平面， 因为AH垂直于平面，所以AH垂直于平面，②正确； 连接，因为四边形为正方形，所以， 由正方体可得平面，平面，则， 又，所以平面，又平面， 所以，因此直线与直线所成的角是90°，③正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数为实数的定义可得； （2）根据复数为纯虚数的定义可得； （3）根据复数为零的定义可得. 【详解】（1）因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数.…………4分 （2）若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数.…………9分 （3）若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. .....................13分 16．（15分）如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点. (1)若，求实数的值； (2)求·的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量基本定理可得，再由向量相等即可求解； （2）由平面向量基本定理可得，再结合两项数量积的运算性质与二次函数的性质求解即可 【详解】（1）由题意， 即，故， 因为Q为线段AP上一点， 设，又不共线， 所以，解得 所以；…………6分 （2）， 由（1）知，， ， 所以 ， 当时，， 所以的最小值为 ....................15分 17．(15分）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【答案】(1)， (2)出现恰有一人合格的概率最大． 【分析】（1）先设事件并明确已知概率，由事件独立性计算三人都合格和三人都不合格的概率； （2）分别计算恰有一人和恰有两人合格的概率，比较概率大小确定最大概率的情况. 【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为．…………8分 （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. ……15分 18．（17分）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，且． (1)求角B的大小； (2)D为AC边上的一点，BD是角B的平分线，且，求的面积； (3)若为锐角三角形，求AC边上的高的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由正弦定理将边转化为角求解； (2)利用三角形的面积公式和余弦定理综合求解； (3)由正弦定理将边转化为角，再由角的限制范围求解三角函数的值域. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 由得，∴， ∴，∴ ， ∴，∴ 又，∴，又，所以．…………5分 （2）由面积，得， 即 ． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得 或（舍）， ∴．…………10分 （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，，故， 因此，，，因此， 设AC边上的高为h，，所以． .....................17分 19．（17分）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出点是的中点，再应用平面平面性质定理，得出，即可证明； （2）连接，通过证明平面得出，同理进而证明平面，即可证明线线垂直. （3）结合（2）应用线面垂直性质定理证明判断，再应用三棱柱及棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点．…………5分 （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； …………10分 （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. .......................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $