期末复习：累加法、累乘法、Sn与an的关系求数列通项专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版择性必修第三册

**基本信息** 聚焦数列通项三大核心求法，通过分层典例构建从递推关系到通项公式的转化逻辑，培养数学思维与符号表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |累加法求通项|10题（例5+变式5）|选择/填空/解答，含前n项和与最值问题|针对an+1-an=f(n)型递推，通过累加消项转化为通项公式| |累乘法求通项|10题（例5+变式5）|选择/填空/解答，涉及正项数列与和式计算|针对an+1/an=f(n)型递推，通过累乘约分化简得到通项| |Sn与an关系求通项|8题（例3+变式5）|以解答题为主，含证明与多问综合|通过n=1与n≥2分类讨论，利用Sn-Sn-1=an实现转化|

期末复习：累加法、累乘法、Sn与an的关系求数列通项专项训练 期末复习：累加法、累乘法、Sn与an的关系求数列通项专项训练 考点目录 累加法求数列通项 累乘法求数列通项 Sn与an的关系求数列通项 考点一 累加法求数列通项 例1．（2026·福建泉州·模拟预测）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数可得在上单调递增，从而可得，即可判断A；用累加法判断B；利用导数及放缩法判断C；利用，，可得，即可判断D. 【详解】令， 则 所以在上单调递增， ，， 所以，即， 以此类推即，所以，故A错误； 又时，令 则， 所以单调递减， 又当时，， 所以，即， 又， 所以，故C错误； ，故B正确； ， 又因为，， 所以，故D错误. 例2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列满足，则数列的前100项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用累加法得到，代入得到，再利用分组求和法计算得到答案. 【详解】，即. . . 故 . 例3．（2026·重庆·三模）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________． 【答案】 【分析】先对的递推式取倒数构造等差数列求，再用累加法求的通项，最后转化为对勾函数求正整数范围内的最小值. 【详解】因为，，显然， 对递推式两边取倒数得： ，即，. 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因此 ，. 又因为，时，即 由累加法得：， ，， 验证时，符合上式，故，. 令，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，. 所以数列在上单调递减，在上单调递增， 因此当时数列取得最小值，当时，数列取得最小值，且， 因此，当时数列取得最小值. 例4．（25-26高二下·辽宁丹东·期中）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 【答案】 【分析】先由通过累加法求通项得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】由题意可知，满足，， 当时，， ，以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则. ∴数列的前项和为， . 例5．（25-26高二下·四川内江·期中）在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据已知的递推关系，用累加法求通项； （2）将第一问求出的通项代入表达式，化简后使用裂项相消求和. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 当时也成立，所以． （2）因为， 所以． 变式1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法结合裂项相消法求解. 【详解】因为，，，即， 所以时， ， ， ， ， ， 又， 上述个等式相加得： . 也适合上式， 所以． 变式2．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 【答案】D 【详解】由递推公式，可得. 则，，，. 将以上个式子累加得： . ，故. 变式3．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 变式4．（25-26高二下·北京·期中）若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 【答案】253 【分析】用累加法求通项公式. 【详解】由题意可知：，当时， 又因为，所以 . 变式5．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 考点二 累乘法求数列通项 例1．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，即， 所以，则当时，， 因为，所以， 所以， 则数列的前10项和． 例2．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 例3．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知为数列的前n项和，，，则______． 【答案】/0.8 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 例4．（25-26高二下·北京昌平·月考）已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】将递推关系变形为除法形式后采用累乘法，再结合等差数列的求和公式求解即可. 【详解】当时，有，故， 则有，． 上述个式子累乘得． 因为，所以， 而当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为． 故答案为：. 例5．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）已知数列，其前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可利用累乘法求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）因为，当时， 所以， 即，所以， 即，所以， 累乘可得，又，所以， 当时也成立，所以； （2）由（1）可得， 所以 变式1．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 变式2．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 变式3．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 【答案】 【分析】由题意得，利用累乘法可求得数列的通项公式，代入通项公式求解即可． 【详解】由题意得， 当时，， 由满足上式，故，所以． 变式4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： 变式5．（25-26高二下·福建厦门·月考）设为正项等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质，列出关于的方程，即可求解. （2）先利用累乘法求出的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和. 【详解】（1）因为是正项等比数列，所以，公比. 因为，所以， 则，即， 则，得（舍）或， 又因为，所以，所以的通项公式为. （2）依题意得， 当时，，即. 因为，所以， 当时，符合上式，所以的通项公式为. 因为， 所以. 考点三 Sn与an的关系求数列通项 例1．（25-26高二下·四川南充·月考）记为数列的前项和，记 (1)求的通项公式； (2)设，证明： 【答案】(1) (2)由，代入通项得，变形得， 对和式裂项相消得. 因为是正整数，，所以，因此， 即，得证. 【分析】（1）分别讨论和，利用，并验证首项是否满足公式； （2）由得的裂项形式，将和式裂项相消后转化为关于的简单表达式，再利用分母为正进行放缩，完成不等式证明. 【详解】（1）当时，； 当时，，代入得 ， 验证时，，符合上式. 因此的通项公式为. （2）略. 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)由（1）知， 由， 得 . 所以数列的前项和， 得， 因此，. 【分析】（1）根据前项和与的关系，判断出数列为等差数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据第（1）问，表示出数列的通项公式，对裂项，求其前项和，再证明结论成立. 【详解】（1）由正项数列，前项和， 当时，， 整理得， 解得舍去. 当时，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）略 例3．（25-26高二下·河北衡水·月考）已知数列的前 项和为,,且． (1)若是，的等比中项，求正整数的值； (2)若，求数列的前 项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出时的已知表达式，再写出时的对应表达式，两式作差推导数列的递推关系；令代入原式求的关系，结合递推关系确定数列的通项公式，根据等比中项性质有，代入通项公式求解即可； （2）先写出的表达式，在用错位相减法求前项和即可. 【详解】（1）因为数列中，．所以， 所以， 所以，即，所以， 所以 ．因为是，的等比中项， 所以，所以，解得． （2）由（1）知，所以． 因为，所以， 所以，① 所以．② ①②得 ， 所以． 变式1．（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 【答案】(1) (2)当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】（1）由的关系，通过作差法即可求解； （2）通过裂项相消法即可求解. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 而满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得， ， 而， 因此， 故当为偶数时，； 当为奇数时，. 变式2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）设是正项数列，且其前项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和； (3)令，记，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组法与裂项相消法求和即可； （3）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可； 【详解】（1）当时，，解得， 当且时，， ∴， 整理可得：， ∵，∴，∴， ∴数列以为首项，为公差的等差数列， ∴． （2）∵， ∴． （3）由（1）可得：， 所以． 变式3．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若. （i）求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)（i），（ii）. 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可得数列是等差数列，再求解通项公式即可；（ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，故，. （2）（i）由，当时，，得； 当时，， 所以，所以，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）由（1）知，又， 所以 ， 所以 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：累加法、累乘法、Sn与an的关系求数列通项专项训练 期末复习：累加法、累乘法、Sn与an的关系求数列通项专项训练 考点目录 累加法求数列通项 累乘法求数列通项 Sn与an的关系求数列通项 考点一 累加法求数列通项 例1．（2026·福建泉州·模拟预测）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列满足，则数列的前100项的和为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·重庆·三模）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________． 例4．（25-26高二下·辽宁丹东·期中）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 例5．（25-26高二下·四川内江·期中）在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 变式1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 变式3．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 变式4．（25-26高二下·北京·期中）若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 变式5．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 考点二 累乘法求数列通项 例1．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知为数列的前n项和，，，则______． 例4．（25-26高二下·北京昌平·月考）已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 例5．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）已知数列，其前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 变式1．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 变式2．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 变式3．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 变式4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 变式5．（25-26高二下·福建厦门·月考）设为正项等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，，求的前项和. 考点三 Sn与an的关系求数列通项 例1．（25-26高二下·四川南充·月考）记为数列的前项和，记 (1)求的通项公式； (2)设，证明： 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 例3．（25-26高二下·河北衡水·月考）已知数列的前 项和为,,且． (1)若是，的等比中项，求正整数的值； (2)若，求数列的前 项和． 变式1．（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 变式2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）设是正项数列，且其前项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和； (3)令，记，求． 变式3．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若. （i）求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $