25.2 降次——解一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2降次——解一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【知识点2 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二 次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法 来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【知识点3 公式法解一元二次方程】 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个 式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 【知识点4 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 典型例题与巩固练习： 题型一：用直接开平方法解一元二次方程 典型例题 例1．解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 巩固练习 1. 方程x2＝1的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2 2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9 3．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 4．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　． 5.解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 题型二：配方法解一元二次方程 典型例题 例2．用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 巩固练习 1．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（　　） A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9 2.用配方法解方程x2﹣4x＝2时，左右两边需同时加上的常数是（　　） A．16 B．4 C．2 D．1 3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．11 D．7 4.填空_______=______ 5.解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法） 题型三：公式法解一元二次方程 典型例题 例3．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 巩固练习 1．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　） A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60 2.用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 3．下列方程中，以x＝为根的是（　　） A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0 4．利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（　　） A． B． C． D． 5.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0． 题型四：因式分解法解一元二次方程 典型例题 例4．用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 巩固练习 1.方程x2＝4x的解是（　　） A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0 2．一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1 3．方程x2﹣3x﹣18＝0的根是（　　） A．x1＝3，x2＝6 B．x1＝﹣3，x2＝6 C．x1＝3，x2＝﹣6 D．x1＝﹣3，x2＝﹣6 4．方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 5.用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2． 题型五：用指定方法解一元二次方程 典型例题 例5．按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 巩固练习 1.要求解方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法） 2.解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 3.按要求解下列方程： (1)（直接开方法）；(2)（配方法）． 题型六：用适当的方法解一元二次方程 典型例题 例6．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0． 巩固练习 1．用下列哪种方法解方程2（x﹣1）2＝8最合适（　　） A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法 2.用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 3.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 综合训练： 1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C． D．x1＝3，x2＝﹣3 2.小明在解方程时，他是这样求解的：移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为（   ） A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 3.利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 4.解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 5．已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6阳阳在解方程，只得一个解，阳阳漏掉的那个解是（    ） A．x＝3 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝2 7.方程x2﹣2x=0的解为_____________ 8.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____． 9.选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；（2）x2+2x﹣5＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2降次——解一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【知识点2 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二 次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法 来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【知识点3 公式法解一元二次方程】 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个 式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 【知识点4 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 典型例题与巩固练习： 题型一：用直接开平方法解一元二次方程 典型例题 例1．解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 【答案】解：（x﹣2）20， （x﹣2）2， （x﹣2）2， x﹣2＝±， 所以x1，x2． 巩固练习 1. 方程x2＝1的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2 【答案】C． 2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9 【答案】D． 3．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 【答案】D． 4．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　． 【答案】2． 5.解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 【答案】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2， ∴2（x+1）＝±3（x﹣2）， ∴x1＝8，x2． 题型二：配方法解一元二次方程 典型例题 例2．用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 【答案】解：4x2﹣8x﹣7＝0， 4x2﹣8x＝7， x2﹣2x， 配方得x2﹣2x+121， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x＝1±， ∴x1＝1，x2＝1． 巩固练习 1．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（　　） A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9 【答案】A． 2.用配方法解方程x2﹣4x＝2时，左右两边需同时加上的常数是（　　） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B． 3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．11 D．7 【答案】D． 4.填空_______=______ 【答案】          5.解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法） 【答案】解：∵2x2﹣5x＝﹣1， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2， 则x±， ∴x． 题型三：公式法解一元二次方程 典型例题 例3．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【答案】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0， ∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0， ∴x， ∴x1，x2． 巩固练习 1．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　） A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60 【答案】D． 2.用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 【答案】D． 3．下列方程中，以x＝为根的是（　　） A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0 【答案】B． 4．利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 5.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0． 【答案】解：方程2x2﹣7x+6＝0， 这里a＝2，b＝﹣7，c＝6， ∵Δ＝49﹣48＝1＞0， ∴x， 则x1＝2，x2＝1.5． 题型四：因式分解法解一元二次方程 典型例题 例4．用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【答案】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3）， ∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（2﹣3x）＝0， ∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0， 解得x1＝3，x2． 巩固练习 1.方程x2＝4x的解是（　　） A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0 【答案】C 2．一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1 【答案】C． 3．方程x2﹣3x﹣18＝0的根是（　　） A．x1＝3，x2＝6 B．x1＝﹣3，x2＝6 C．x1＝3，x2＝﹣6 D．x1＝﹣3，x2＝﹣6 【答案】B． 4．方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 【答案】B． 5.用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2． 【答案】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0， 分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0， 可得4﹣x＝0或3x+2＝0， 解得：x1＝4，x2． 题型五：用指定方法解一元二次方程 典型例题 例5．按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 【答案】解：（1）（x+1）2＝144， 则x+1＝12或x+1＝﹣12， 解得：x1＝﹣13，x2＝11； （2）移项，得：x2﹣8x＝9， 配方，得x2﹣8x+16＝25， 则（x﹣4）2＝25， 即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5， 解得：x1＝9，x2＝﹣1； （3）a＝2，b＝7，c＝3， △＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0． 则x， 则x1＝﹣3，x2； （4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0， 因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0， 即（x﹣2）（2x﹣6）＝0， 则x﹣2＝0或2x﹣6＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． 巩固练习 1.要求解方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法） 【答案】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0， 由此得，x﹣2＝0，x+1＝0， 所以，x1＝2，x2＝﹣1； （2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0， 即（x﹣2）2＝1， 所以，x﹣2＝±1， 所以，x1＝3，x2＝1； （3）a＝1，b＝5，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24， x， x1，x2； （4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x）， 所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5， 解得x1＝3，x2＝1． 2.解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 【答案】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0， ∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0， 则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0， 解得x1，x2． 3.按要求解下列方程： (1)（直接开方法）；(2)（配方法）． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：原方程可变形为， ， 开平方，得 ， 即，或， ∴； （2）解： 方程两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得， ， ∴， 即，或， ∴，． 题型六：用适当的方法解一元二次方程 典型例题 例6．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0． 【答案】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0， 将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0， 即x+4＝0，x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1． （2）x2﹣2x﹣15＝0， 将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0， 则x+3＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝5． 巩固练习 1．用下列哪种方法解方程2（x﹣1）2＝8最合适（　　） A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法 【答案】B． 2.用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 【答案】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0， x， 所以x1，x2； （2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． （x+1）（x+1﹣3）＝0， x+1＝0或x+1﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝2． 3.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2） 整理得， ， 或， ，． 综合训练： 1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C． D．x1＝3，x2＝﹣3 【答案】D． 2.小明在解方程时，他是这样求解的：移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为（   ） A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】B 3.利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 【答案】D． 4.解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 【答案】B 5．已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D． 6阳阳在解方程，只得一个解，阳阳漏掉的那个解是（    ） A．x＝3 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝2 【答案】C 7.方程x2﹣2x=0的解为_____________ 【答案】x1=0，x2=2 8.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____． 【答案】12 9.选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；（2）x2+2x﹣5＝0． 【答案】解：（1）方程移项得：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， 分解因式得：（x﹣1）（2x﹣3）＝0， 所以x﹣1＝0或2x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2； （2）方程整理得：x2+4x＝10， 配方得：x2+4x+8＝18，即（x+2）2＝18， 开方得：x+2±3， 解得：x1，x2＝﹣5． 学科网（北京）股份有限公司 $