精品解析：2026年河南平顶山市宝丰县第三教研区中考考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共10页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 祖冲之在《缀术》中给出两个圆周率的近似分数值，即约率（）和密率（）．已知密率，约率，两者相差约．用科学记数法表示数据“”为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正五边形中，于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绫的价格是（ ） A. 6分 B. 8分 C. 12分 D. 14分 8. 如图，将一个质地均匀的转盘均分成3个扇形，分别标注数字，，．转动转盘两次（指向边界处时重转），则转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心作半径为1的圆，点A在 上，在x轴正半轴上取点，连接，在直线的上方取点C，构造以为斜边的等腰直角三角形 ．已知点A从 与y轴正半轴的交点处开始以每秒个单位长度的速度沿 逆时针运动，则第100秒结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 教练记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加锦标赛，应选择________运动员． 甲 乙 丙 平均数 方差 13. 对任意自然数________（填“是”或“不是”）30的倍数． 14. 如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 15. 如图，在边长为的菱形中，，将沿射线向右平移得到，连接，，则周长的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与解不等式组： （1）计算：． （2）解不等式组：并写出其整数解． 17. 随着智能家居市场的蓬勃发展，线上购买智能家居产品的消费者日益增多．为了解线上客户对售后安装服务的满意度，提升线上客户售后安装服务质量，郑州市“智享家”智能家居门店随机抽取500名线上购买并接受过售后安装服务的用户开展问卷调查．调查问卷如下： “智享家”智能家居售后安装服务满意度调查 1．您对本门店售后安装服务的整体评价为（ ）（单选） A．优秀 B．一般 C．差评 如果您对本门店售后安装服务的整体评价为“一般”或“差评”，请回答第2个问题： 2．您认为本门店售后安装服务最需要改进的地方为（ ）（单选） A．安装技术 B．上门时效 C．服务态度 D．问题反馈处理 该门店线上运营负责人将这500份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图． （1）如果将整体评价中优秀、一般、差评分别赋分为5分、3分、1分，则该门店此次调查中整体评价分数的中位数是________分，平均数是________分． （2）在此次调查中，认为该门店需要在上门时效上进行改进的人数有多少？ （3）请你根据此次调查结果，对该门店线上售后安装服务提出两条合理的建议． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 19. 如图，过外一点M引的两条切线，，切点分别是A，B，为锐角，连接并延长，与交于点N． （1）尺规作图：在的延长线上任取一点P，过点P作的垂线，垂足为C．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，直线交的延长线于点D．求证：是等腰三角形． 20. 机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 21. 某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两商场了解到同一种型号的电脑报价均为每台6000元，并且多买都有一定的优惠．两商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 （1）设学校购买台电脑，若选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式． （2）什么情况下，学校到甲商场购买电脑更优惠？什么情况下，学校到乙商场购买电脑更优惠？ （3）现因急需，学校计划从甲、乙两商场一共购入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有5台的情况下，怎样购买总运费最少？最少是多少？ 22. 综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： （1）在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； （2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． （3）将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． （4）若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 23. 如图1，点P为的边上一点，且，点C为边上一动点，过点C作，交于点D，取的中点Q，连接，已知． （1）在点C的移动过程中（不与点P重合），小何说：“目测存在某一时刻使得”，这种说法是否正确，请简述理由． （2）当点C在点P左侧时，若，求此时线段的长． （3）如图2，小楠在上取点E，在平面内取点F，构造矩形，在点C移动的过程中，若矩形为正方形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共10页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A中，，是正数，不符合题意； 选项B中，0既不是正数，也不是负数，不符合题意； 选项C中，，是负数，符合题意； 选项D中，，是正数，不符合题意． 2. 如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据三视图的定义，可知这个几何体的主视图是． 3. 祖冲之在《缀术》中给出两个圆周率的近似分数值，即约率（）和密率（）．已知密率，约率，两者相差约．用科学记数法表示数据“”为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，在正五边形中，于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正五边形的一个内角的度数，然后根据垂直的意义结合四边形内角和等于求解即可． 【详解】解：∵正五边形的每个内角的度数为， ∴． ∵于点F， ∴ ∴在四边形中，． 5. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 【详解】解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 6. 定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绫的价格是（ ） A. 6分 B. 8分 C. 12分 D. 14分 【答案】B 【解析】 【分析】设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分．根据题意，得，求解即可； 【详解】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分． 根据题意，得， 解得， ∴每尺绫的价格是8分． 8. 如图，将一个质地均匀的转盘均分成3个扇形，分别标注数字，，．转动转盘两次（指向边界处时重转），则转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的结果有4种，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：依据题意，画树状图如下： 由树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的结果有4种， ∴． 9. 已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，则抛物线开口向上． ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，即，两边平方，可得， 解得； ∵， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即， 两边平方，可得， 解得． 综上所述，m的取值范围是． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心作半径为1的圆，点A在 上，在x轴正半轴上取点，连接，在直线的上方取点C，构造以为斜边的等腰直角三角形 ．已知点A从 与y轴正半轴的交点处开始以每秒个单位长度的速度沿 逆时针运动，则第100秒结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C分别作 轴于点D， 轴于点E，证明四边形为正方形．设 ，则 ，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：∵ 的半径为1， ∴ 的周长为 ． ∵点A的运动速度为每秒个单位长度， ∴运动一周的时间为8秒． ∵ ， ∴第100秒结束时点A的位置和第4秒结束时点A的位置相同，且此时点A在 与y轴负半轴交点处， 如图所示．过点C分别作 轴于点D， 轴于点E， 则四边形是矩形． ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ， ∴ ． ∴ ， ． ∴四边形为正方形． 设 ，则 ， ∴ ， 解得． ∴，即点C的坐标为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 教练记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加锦标赛，应选择________运动员． 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【解析】 【分析】先根据平均数确定成绩较好的为乙和丙，再根据方差确定乙比丙发挥稳定即可． 【详解】解：∵， ∴成绩较好的为乙和丙． ∵， ∴乙比丙发挥稳定， 故选择乙运动员． 13. 对任意自然数________（填“是”或“不是”）30的倍数． 【答案】是 【解析】 【分析】把原式变形为，即可作出判断． 【详解】解：∵，自然数， ∴，且为自然数， ∴且为整数， ∴是30的倍数． 14. 如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 15. 如图，在边长为的菱形中，，将沿射线向右平移得到，连接，，则周长的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作直线，作点C关于直线的对称点，连接，， 设与交于点F，当三点共线时，即点与点F重合时，取得最小值，且最小值为，求解即可； 【详解】解：连接，如图．结合平移，可知，，∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的周长为：． ∴当的值最小时，的周长最小． 作直线，作点C关于直线的对称点，连接，， 设与交于点F， ∴， ∴当的值最小时，的周长最小． ， ∴当三点共线时，即点与点F重合时，取得最小值，且最小值为， 连接交于点O， ， ∴且垂足为 O， ∴， 连接，根据菱形的性质，得， ∴三点共线， ∴，， ∴，，． ∴． ∴周长的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与解不等式组： （1）计算：． （2）解不等式组：并写出其整数解． 【答案】（1） （2），整数解为 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 故其整数解为． 17. 随着智能家居市场的蓬勃发展，线上购买智能家居产品的消费者日益增多．为了解线上客户对售后安装服务的满意度，提升线上客户售后安装服务质量，郑州市“智享家”智能家居门店随机抽取500名线上购买并接受过售后安装服务的用户开展问卷调查．调查问卷如下： “智享家”智能家居售后安装服务满意度调查 1．您对本门店售后安装服务的整体评价为（ ）（单选） A．优秀 B．一般 C．差评 如果您对本门店售后安装服务的整体评价为“一般”或“差评”，请回答第2个问题： 2．您认为本门店售后安装服务最需要改进的地方为（ ）（单选） A．安装技术 B．上门时效 C．服务态度 D．问题反馈处理 该门店线上运营负责人将这500份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图． （1）如果将整体评价中优秀、一般、差评分别赋分为5分、3分、1分，则该门店此次调查中整体评价分数的中位数是________分，平均数是________分． （2）在此次调查中，认为该门店需要在上门时效上进行改进的人数有多少？ （3）请你根据此次调查结果，对该门店线上售后安装服务提出两条合理的建议． 【答案】（1）5， （2）26 （3）①该门店需要加强对安装人员的培训，提升安装技术水平；②该门店需要优化上门安装流程，提高上门时效（或③该门店需要改善售后安装服务态度） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的定义求解即可； （2）先求出回答第二个问题的人数，进而根据扇形统计图求出选择B的人数即可； （3）根据调查结果言之合理即可． 【小问1详解】 解：将500个数据按照从小到大的顺序排列，位于第250个和第251个位置的数据都是5分， ∴中位数为5分， 此次调查中关于整体评价分数的平均数为分； 【小问2详解】 解：回答第2个问题的人数为， ∴选择B的人数为． 答：认为该门店需要在上门时效上进行改进的人数为26； 【小问3详解】 解：①该门店需要加强对安装人员的培训，提升安装技术水平；②该门店需要优化上门安装流程，提高上门时效；③该门店需要改善售后安装服务态度（选其中2条即可，答案不唯一）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长 交x轴正半轴于点F，证明四边形为正方形，求解即可． （2）根据，求解即可； 【小问1详解】 解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； 19. 如图，过外一点M引的两条切线，，切点分别是A，B，为锐角，连接并延长，与交于点N． （1）尺规作图：在的延长线上任取一点P，过点P作的垂线，垂足为C．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，直线交的延长线于点D．求证：是等腰三角形． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求． （2）证明：补全图形，连接，如解图所示． 由题意，得，． 在和中， ∴． ∴． ∵，， ∴ ∴． ∴． ∴ ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的基本作图求解即可； （2）根据直角三角形全等的判定和性质，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交的延长线于点D，如图所示，则．依次求出、，根据即可求出答案． 【详解】解：过点B作交的延长线于点D，如图所示，则． 由题意，可知，． 在中，． ∵，， ∴． ∴． 在中，， ∴ ∴ 答：A，C两点间的距离约为． 21. 某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两商场了解到同一种型号的电脑报价均为每台6000元，并且多买都有一定的优惠．两商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 （1）设学校购买台电脑，若选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式． （2）什么情况下，学校到甲商场购买电脑更优惠？什么情况下，学校到乙商场购买电脑更优惠？ （3）现因急需，学校计划从甲、乙两商场一共购入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有5台的情况下，怎样购买总运费最少？最少是多少？ 【答案】（1）， （2）当购买电脑台数大于6时，到甲商场购买更优惠；当购买电脑台数小于6时，到乙商场购买更优惠 （3）从甲商场购入5台电脑、乙商场购入5台电脑时，总运费最少，最少是550元 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲商场优惠的数量为台，乙商场优惠后价格为，列式表达即可； （2）根据各自购买时的支付费用，建立不等式求解即可； （3）由题意，得学校从乙商场购入台电脑，且．故，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解：由（1），得若到甲商场购买更优惠，则， 解得． ∴当购买电脑台数大于6时，到甲商场购买更优惠； 若到乙商场购买更优惠，则， 解得． ∴当购买电脑台数小于6时，到乙商场购买更优惠； 当购买台数为6台时，到两商场购买费用是相同的． 【小问3详解】 解：（3）由题意，得学校从乙商场购入台电脑，且． ∴． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当a取最大值5时，w最小，即总运费最少，此时 ∴从甲商场购入5台电脑、乙商场购入5台电脑时，总运费最少，最少是550元． 22. 综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： （1）在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； （2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． （3）将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． （4）若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 【答案】（1）①；②，单个无盖纸盒体积的最大值为 （2） （3）描点、画函数图象如解图所示． （4）方案一的纸盒体积更大 【解析】 【分析】（1）根据题意用含x的式子表示长；②根据题意列出制作的每个无盖纸盒的体积与的二次函数关系式，根据二次函数的性质进行解答即可； （2）利用长方体的体积公式表示出图中纸盒的体积； （3）利用描点连线画出函数的图象 （4）根据函数的图象解答即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，得 答：边的长为． ②根据题意，得． ∵，， ∴当时，y有最大值，即单个无盖纸盒体积的最大值为． 【小问2详解】 解：根据题意，得． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 画出方案一的函数图象，如解图所示． 由图象可知，当时，方案二的纸盒体积更大；当时，两个方案的纸盒体积一样大；当时，方案一的纸盒体积更大． 23. 如图1，点P为的边上一点，且，点C为边上一动点，过点C作，交于点D，取的中点Q，连接，已知． （1）在点C的移动过程中（不与点P重合），小何说：“目测存在某一时刻使得”，这种说法是否正确，请简述理由． （2）当点C在点P左侧时，若，求此时线段的长． （3）如图2，小楠在上取点E，在平面内取点F，构造矩形，在点C移动的过程中，若矩形为正方形，直接写出的长． 【答案】（1）说法不正确． 理由：由垂线段最短，可知， ∵点Q为的中点， ∴． ∴． 故小何的说法不正确． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据垂线段最短解答即可； （2）设，可得，进而得出，再根据，可得，然后根据，可得，求出解即可； （3）分两种情况：当点E在OD的延长线上，且四边形为正方形时，作，交的延长线于点G，再设，则，，，然后根据正方形的性质说明，即可得，，进而得出，再根据可得比例式，求出解即可； ②当点E在线段，上，且四边形为正方形时，再作，然后设，则，，，同理，可证，即可得，，然后得出，最后根据解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴． ∵点Q为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，分两种情况进行讨论： ①当点E在线段的延长线上，且四边形为正方形时， 如解图1，过点E作，交的延长线于点G．设，则，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； ②当点E在线段上，且四边形为正方形时， 如解图2，过点E作，垂足为G． 设，则，，． 同理，可证， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $