1.3 直角三角形暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦直角三角形核心内容，以逆命题与逆定理为基础，勾股定理及其逆定理为核心，结合折叠、全等及新定义题型，形成“概念辨析-性质应用-综合证明”的递进式方法体系，逻辑清晰，适配暑期专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-4、填空11-12|逆命题交换条件结论，定理与逆定理真假判断|从逆命题概念生成，到逆定理推导，建立逻辑判断框架| |定理应用|单选5-10、填空13-15|勾股定理逆定理判断直角三角形，直角三角形中线/角平分线性质|以勾股定理为核心，延伸至性质应用，强化几何直观| |综合证明|解答16-20|折叠性质应用，反证法步骤，新定义问题转化|通过折叠、全等及“友爱三角形”新定义，提升推理意识与应用能力|

1.3 直角三角形 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 2．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 4．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 5．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．的三条边是，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．，， 9．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 10．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 二、填空题 11．请用文字描述勾股定理的逆定理______． 12．如果，那么 的逆命题为_____________________ 13．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房，到公路的距离为米，为米，为米．一辆公交车以米秒的速度从处出发，沿公路向处行驶．若公交车鸣笛声会使以公交车为中心米范围内受到噪音影响，则公交车在公路上行驶时，至少___秒不鸣笛才能使在城市书房中看书的读者不受噪音影响． 14．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为_____． 15．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 三、解答题 16．如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 17．北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 18．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 19．如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 20．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A B B B A A B 1．A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 2．A 【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 4．A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 5．B 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到不能判定为直角三角形的结果． 【详解】解：A．∵ ∴，符合勾股定理的逆定理 ∴是直角三角形，不符合要求； B．∵，三角形内角和为， 设，，， ∴， 解得：， ∴最大角， ∴不能判定为直角三角形，符合要求； C．∵， 设，，， ∴， ， ∴，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； D．∵，， ∴，得， ∴能判定是直角三角形，不符合要求． 6．B 【分析】由垂直意义及三角形内角和求得的度数，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 如图，， ， ， ． 8．A 【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：∵， ∴，，， ∴不能判断是直角三角形，故A符合题意； 对于选项B：∵ 又∵， ∴，即， ∴能判断是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：，符合勾股定理的逆定理， ∴能判断是直角三角形，故C不符合题意； 对于选项D：∵，， ∴，符合勾股定理的逆定理 ∴能判断是直角三角形，故D不符合题意． 9．A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值． 【详解】解：如图，取的中点， ， ， ， ， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时． 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握面积代换是解题的关键． 连接，证明和全等，，然后根据三角形的面积即可求出和，最后利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∵D为边上中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去） 故选：B． 11． 如果一个三角形的三条边长满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【分析】首先明确勾股定理逆定理的前提条件：三角形的三条边满足特定数量关系．按照“如果一个三角形的，那么这个三角形是”的逻辑结构组织描述即可． 【详解】根据初中几何中勾股定理逆定理的定义，可得勾股定理逆定理的文字描述为：如果一个三角形的三条边长满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形． 12． 如果，那么 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“如果，那么”中，条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：如果，那么． 13． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在 上取一点，连接，使米，由勾股定理得（米），又米，米米，所以公交车在段不能鸣笛， 由勾股定理得：（米），则有（米），然后通过即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，在 上取一点，连接，使米， ∵， ∴， ∴（米）， ∵米，米米， ∴公交车在段不能鸣笛， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 因为（秒）， 所以公交车在公路上行驶时，至少秒不鸣笛才能使在城市书房中看书的读者不受噪音影响， 故答案为：． 14．1 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键； 先证明，得出对应边长度，再结合的性质得出EG的长度． 【详解】解：由题可知：， ∴和是直角三角形 ∴在和中 ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：1 ． 15．50 【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ． ， ． ， ． 16．(1)高 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，即，即可求解； （2）先根据三角形外角的性质求出，根据折叠可知，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， 折痕a是的高． （2）解：，， ， 由折叠可知， ， ． 17．(1)反证法 (2)逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，该命题是真命题 (3)证明见详解 【分析】（1）根据反证法的定义即可判断； （2）根据逆命题的定义，找准结论和条件即可写出逆命题，并判断； （3）根据反证法，假设一个三角形中有两个直角，再利用三角形内角和证伪即可． 【详解】（1）解：由题目中的证明过程可知，该方法为反证法； （2）解：逆命题需将结论和条件互换，故逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 根据“等角对等边”定理可知，此为真命题； （3）证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设在中，，， ∵三角形内角和为， ， ∵在一个三角形中 ， ∴， 这与三角形内角和等于矛盾， ∴假设不成立， ∴一个三角形中不能有两个直角． 18．(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 19．(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 20．证明：在中， ∵， ∴ 由沿翻折得， ∴， 由沿翻折得， ∴ ∴ 即是直角三角形． 【分析】首先，沿翻折得到，可得对应角，其次，沿翻折使点与点重合，可得对应角，再把拆分为和的和，根据上述关系，，在中，，因此，从而证明是直角三角形． 【详解】略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $