暑假作业03 直角三角形与勾股定理（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“判定-性质-特殊应用-全等”为逻辑主线，系统整合直角三角形核心知识，提炼互余判定、勾股定理双向应用等方法，适配中考高频考点突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形判定|2（含逆命题）|定义法+两角互余判定（双向）|从定义到判定定理，构建“角关系→直角”推理链| |直角三角形性质|3（含勾股定理）|互余性质（正反用）+勾股定理（算与证）|性质与判定互逆，形成“直角→边/角关系”应用逻辑| |含30°直角三角形|1（综合题）|30°角对边=斜边一半（可逆）|特殊角与边比关联，深化直角三角形特殊性认知| |HL全等判定|4（含综合）|斜边+直角边证全等（强调直角约束）|从一般全等到特殊判定，完善全等证明体系|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 直角三角形与勾股定理 【知识点1 直角三角形的判定】 1. 定义法：有一个内角＝90°⇔三角形是直角三角形（直角所对边叫斜边，其余两边叫直角边）。 2. 两角互余判定： (1) 若在一个三角形中∠A＋∠B＝90°，则∠C＝90°，△为直角三角形。 (2) 反过来也成立：直角三角形→其余两锐角互余 【知识点2直角三角形的性质】 1. 核心性质一：两锐角互余 (1) 在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 (2) 逆用：只要你能算出两个角加起来＝90°，第三边对角就是90°。 2. 核心性质二：勾股定理 (1) 定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 若∠C＝90°，记直角边a＝BC，b＝AC，斜边c＝AB，则 (2) 勾股定理的逆定理 若三角形三边长a、b、c（设c为最长边）满足，则该三角形为直角三角形，且c所对的角＝90°。 【知识点3含30°的直角三角形】 1. 定理：在直角三角形中，若一个锐角＝30°（则另一锐角＝60°），那么30°角所对的直角边＝斜边的一半，于是三边比：1 :  : 2（对30°边 ：对60°边：斜边）。 2. 可逆表述：在直角三角形中，若某条直角边＝斜边的一半，则这条直角边所对的角＝30°。 【知识点4 直角三角形全等判定HL】 1. 在两个直角三角形中，若 (1) 斜边对应相等且一条直角边对应相等，则两直角三角形全等。 (2) 书写时在△前加Rt△（强调直角条件） (3) HL 本质是“SSA只有在直角这个约束下才稳”，所以它只适用于直角三角形。 题型01 直角三角形的两个锐角互余 1．（2026·广东广州·二模）如图，在中，，，平分，E是上一动点（不与A，D重合），于点F．设，，．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_________．（填写所有结论正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】直接利用斜边大于直角边对①进行判断；根据角平分线的性质以及等面积法得出，进而得出，即可判断②；利用勾股定理得到，利用得到，从而可对③进行判断；过点作于点，于点，如图，根据角平分线的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，然后利用得到，从而可对④进行判断． 【详解】解：， ， ， ，所以①正确； 过点作于点， ∵平分，， ∴ ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ 即 又∵ ∴ ∴，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ，所以③错误； 过点作于点，于点，如图， 平分， ， ， ， ， ， ，所以④正确． 2．（2026·贵州黔南·一模）小星学习完等边三角形、菱形的性质及判定后，对等边三角形的边上的动点问题进行深入探究如下： (1)【教材呈现】如图①，在等边中，，分别是边，上的动点，且，连接，相交于点，则______； (2)【问题探究】如图②，在（1）的条件下，点与点关于直线对称，连接，，，延长至点，使，连接，探究的形状，并证明； (3)【问题解决】如图②，在（2）的条件下，与交于点，若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明如下： ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形． (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质容易证明，，因此； （2）由轴对称的性质容易证明是等边三角形，则，结合（1）的结论可得，从而得到．容易证明，则，，由等量代换可得，因此是等边三角形； （3）在上截取线段，连接，作于点，容易判断是等边三角形，则，．结合（1）可得，，从而得到，进一步可证明，因此，由等边三角形的性质计算出的面积即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，在上截取线段，连接，作于点， 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由（1）可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 1．（25-26八年级下·甘肃酒泉·期中）满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，依次判断各选项中的三角形是否为直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：A：，，，则，由勾股定理逆定理得是直角三角形，不符合要求； B：设三边长为，，（），则，由勾股定理逆定理得是直角三角形，不符合要求； C：，且，是直角三角形，不符合要求； D：设三个内角为，，，则，解得， 三个内角分别为，，，没有直角，不是直角三角形，符合要求． 2．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)的长度为米 (2)机器人先到达处 【分析】（1）过点作于点，分别求出米，米，从而可求出的长； （2）先由勾股定理求出米，再求出江江的总路程和机器人的总路程，根据“时间=路程÷速度”求解各自所需时间，再进行比较即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，在中，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米）， ∴米， 答：的长度为米； （2）解：在中，米，米， ∴（米）， 江江的路程：（米）； 机器人的路程：（米）； 江江所需时间：（秒）； 机器人所需时间：（秒）； ∵， ∴机器人先到达处． 答：机器人先到达处． 题型03 逆命题、互逆命题与证明 1．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 题型04 用HL证全等 1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性得方程组，解方程组即可； （2）分交点在线段的两侧进行讨论，得 和 ，分别列出关于的方程，解出方程即可； （3）三条射线所在的直线能围成直角三角形可分类讨论：当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止．再分别考虑是哪两条直线垂直构成直角三角形． 【详解】（1）∵，， 解得， ，； （2）由题意知当运动的时间为时， ， ， 如图，当点在线段的右侧时，过点作，则， ，， ， 即 解得； 如图，当点在线段的左侧时，同理可得 解得； 综上可得，或． （3）， 当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止． 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ①当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段右侧时，则 解得 ②当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段左侧时，则 解得 当时，，， ， ， ， ，不能构成三角形， 不符合题意； ③当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ④当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 ⑤当时，直线与直线重合，，为直角三角形． 综上所述，当或或或时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 2．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 题型05 全等的性质和HL综合 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．若，，则的长为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明，得，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分；根据四边形的面积的面积，列式计算即可． 【详解】解：，， ． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分． ，， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据等角对等边得到，再利用即可证得结论. 【详解】证明：， ， 在和中， ，       ．   1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 如图，， ， ， ． 2．（2026·福建福州·二模）光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为法线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·河南平顶山·一模）如图，直线，直线．若，则（     ）． A．48° B．58° C．62° D．52° 【答案】C 【分析】利用对顶角相等可得，再结合垂直的定义、直角三角形两锐角互余可得，最后根据两直线平行同位角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴． 4．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（     ） A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【答案】B 【详解】解：对于选项A，原命题“四边形是多边形”是真命题，逆命题为“多边形是四边形”，是假命题，不符合要求； 对于选项B，原命题“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，也是真命题，符合要求； 对于选项C，原命题“两边分别相等的两个直角三角形全等”是假命题，若一个直角三角形的两条直角边，与另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，两个三角形不全等，不符合要求； 对于选项D，原命题“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”是假命题，只有两直线平行时同位角才相等，不符合要求． 5．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点．若，，则的长为________cm． 【答案】 【分析】连接，先利用证明，得到，再在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是直角三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， cm， 在中，由勾股定理得： ． 6．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 【答案】/61度 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则的长为_____ ． 【答案】4 【分析】由题意易得平分，则有，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由垂直的定义得到，求出，即可证明是等边三角形； （）由含度角的直角三角形的性质求出，得到，再由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形的外角性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：平分，， ． ， ， ； （2）解：， ． 由（1）知， ∴， ∵平分， ， 由（1）知， ． 10．（重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级下学期第十次自主作业数学试卷）如图，在中，，于点． (1)用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：， ①_________； 在和中， ， ③_________； 在和中， ， ， ． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【详解】（1）解：以点C为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，此时；以点E为圆心，长为半径画弧，交射线于点F，此时；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点，保持半径不变，以点C为圆心画弧交于一点，进一步作图即可； （2）略 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到，再由， 可得，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三个内角的平分线交于点， ∴分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点M在线段上时， ∵，， ∴ ， ∵，即， ∵， ∴， 即； 当点M在线段的延长线上时，如图， 同理， ∵，即， ∴ 即； 综上所述，、、三者之间的数量关系为或． 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）在中，，，直线经过点，于，于． 【发现问题】： 当直线绕点旋转到图1的位置时，易证； (1)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？ (2)如图3，在锐角中，．分别以、为直角顶点，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，再分别过点、作边所在直线的垂线，垂足为，．则线段和线段长度之和等于______． 【问题探究】： (3)如图4，和均为等腰直角三角形，试比较和的面积的大小，写出理由． 【结论应用】： (4)以四边形的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图5，连接、、、．若四边形的面积为，则图中阴影部分四个三角形的面积和为______． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）由，可得，由同角的余角相等可得，从而证明，则，，因此； （2）作于点，仿照（1）的步骤可证明和，则，，因此； （3）延长至点，使得，连接，由等腰直角三角形的性质可得，，则，容易证明，则，由三角形中线的性质可得，因此； （4）连接、、、，由正方形的性质容易判断、、、都是等腰直角三角形，结合（3）的结论可知，，，则，同理，，求和即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵、是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （4）解：如图，连接、、、， ∵四边形、四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴、、、都是等腰直角三角形， 由（3）可知，，， ∴， 同理，， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 图恩恩 暑假作业03直角三角形与勾股定理 知识复盘卡 【知识点1直角三角形的判定】 1.定义法：有一个内角=90°一三角形是直角三角形（直角所对边叫斜边，其余两边叫直角边）。 2.两角互余判定： (1)若在一个三角形中∠A十∠B=90°，则∠C=90°，△为直角三角形。 (2)反过来也成立：直角三角形一其余两锐角互余 【知识点2直角三角形的性质】 1.核心性质一：两锐角互余 (1)在△ABC中，若∠C=90°，则∠A十∠B=90°。 (2)逆用：只要你能算出两个角加起来=90°，第三边对角就是90°。 2.核心性质二：勾股定理 (1)定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 若∠C=90°，记直角边a=BC,b=AC,斜边c=AB,则a2+b2=c2 (2)勾股定理的逆定理 若三角形三边长a、b、c(设c为最长边)满足a2+b2=c2,则该三角形为直角三角形，且c所对的角= 90°。 【知识点3含30的直角三角形】 1.定理：在直角三角形中，若一个锐角=30°（则另一锐角=60°），那么30°角所对的直角边=斜边 的一半，于是三边比：1：√5：2（对30边：对60°边：斜边）。 2.可逆表述：在直角三角形中，若某条直角边=斜边的一半，则这条直角边所对的角=30°。 【知识点4直角三角形全等判定HL】 1.在两个直角三角形中，若 (1)斜边对应相等且一条直角边对应相等，则两直角三角形全等。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)书写时在△前加Rt△（强调直角条件） (3)HL本质是“SSA只有在直角这个约束下才稳”，所以它只适用于直角三角形。 培优拓展训练 ★巩固提升练 题型01直角三角形的两个锐角互余 1.(2026广东广州二模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD平分∠BAC,E是AD上一 动点（不与A,D重合），EF⊥AC于点F.设CE=a,EF=b,BC=c,则下列结论： 4 ①a-b>0;②CD=(2-lc;③c-b<√a2-6;④V2(a+b)≥c. 其中正确的结论有 (填写所有结论正确的序号) 2.(2026贵州黔南一模)小星学习完等边三角形、菱形的性质及判定后，对等边三角形的边上的动点问 题进行深入探究如下： H A D F B4 B E 图① 图② (I)【教材呈现】如图①，在等边ABC中，D,E分别是边AB,BC上的动点，且AD=BE,连接AE, CD相交于点F,则LAFD=°； (2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，点B与点G关于直线AC对称，连接AG,CG,GF,延 长EA至点H,使AH=CF,，连接HG,探究△HFG的形状，并证明； (3)【问题解决】如图②，在(2)的条件下，GF与AC交于点M,若AF=6,求四边形ADFM的面积. 题型02锐角互余的三角形是直角三角形 1.(25-26八年级下.甘肃酒泉·期中)满足下列条件的ABC不是直角三角形的是() A.AC =1,BC=3,AB=2 B.AC:BC:AB=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下·重庆长寿·期中)国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能 新时代.如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点A处同时出发前往D处.江 江打算沿A→B→D的路线前往，机器人打算沿A→C→D的路线前往，己知点A在点B的南偏西60 方向上，且AB=240米，∠BCD=90°，BC=200米，CD=400米. 北 西 →东 南 60 (1)求AC的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达D处？（结果保留 整数，参考数据：√2≈1.4,5≈1.7√5≈2.2) 题型03逆命题、互逆命题与证明 1.(2026四川绵阳·二模)关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是() A.逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B.逆命题为两直线不平行，同旁内角互补” C.逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D.逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 2.(25-26八年级下，甘肃白银·期中)下列命题中错误的是() A.任何一个命题都有逆命题 B.一个真命题的逆命题可能是真命题 C.一个定理不一定有逆定理 D.任何一个定理都有逆定理 题型04用HL证全等 1.(25-26七年级下·福建莆田期中)如图1，MN‖P2,点A、点C分别为MN、PQ上的点.射线AB从 AN顺时针旋转至AM停止，射线CD从CQ逆时针旋转至CP便立即回转.若射线AB的旋转速度为a°/ 秒，射线CD的旋转速度为b°/秒，且a,b满足(a+b-5)2+a-b+1=0.射线AB、射线CD同时转动 与停止，设射线AB运动时间为t. M G P 图1 图2 图3 (1)求a、b的值： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若射线AB与射线CD交于点H,当∠AHC=100°，求t的值； (3)如图2，射线EF（点E在点C的左侧)从EG顺时针旋转，速度为 }/移，且与射线B、射线 CD同时转动与停止.若∠PEG=27°，则当t为何值时，射线AB所在直线、射线CD所在直线、射线 EF所在直线能围成直角三角形. 2.(2026福建龙岩·二模)如图，点A,E,F,B在同一条直线上，AE=BF,AC=BD, ∠C=∠D=90°.求证：LAFC=∠BED. B 题型05全等的性质和HL综合 1.(2026安微合肥模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,过点B作AB的垂线，过点C作AC的垂线， 两条垂线交于点P,作直线AP.若AP=5,AB=4,则BC的长为() P A.2 24 B. C.5 5 D.6 2.（25-26八年级下，福建宁德期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点， AE=BC,连接DE,CE,LCDE=LDCE.求证：Rt△ADE≌Rt△BEC. D E ★能力培优练 1.(2026海南省直辖县级单位·二模)如图，三角尺ABC的顶点A,B分别在直线4，Z上，若l∥12，且 BA平分∠CBD,则∠2的度数是() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 30 D A.20° B.30° C.45° D.609 2.(2026福建福州·二模)光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做 光的折射.如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线a,b,且a∥b,一束光线AB从空气斜射 入该玻璃，B为入射点，CD为法线，BE为折射光线，BF为入射光线AB的延长线，若LABC=60°， ∠EBF=25°，则0C的度数是() B a D A.35 B.55° C.60° D.859 3.(2026河南平顶山一模)如图，直线AB∥CD,直线EF⊥EG.若∠1=28°，则∠2=()· E A B 人2 C D A.48° B.58 C.62° D.52° 4.(25-26八年级下·辽宁锦州期中)以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是() A.四边形是多边形 B.两直线平行，同旁内角互补 C.两边分别相等的两个直角三角形全等D.如果两个角是同位角，那么这两个角相等 5.(25-26八年级下·山东枣庄期中)如图，D是Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB,过D作BC的 垂线，交AC于点E.若AE=5cm,DC=12cm,则CE的长为 cm. C D 6.(25-26八年级下·广东梅州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB,交BC于点 E,若∠B=32°，则∠AEC的度数为一 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 7.(25-26八年级下·广东深圳期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,以顶点A为圆心，适当长为半 径面孤，分别交4C,AB于点E,F:再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于 点P,作射线AP交BC于点D.若∠B=∠CAD,则BD的长为· B 8.(25-26八年级下·陕西西安期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作 DE⊥BC于点E,延长ED和CA,交于点F,∠F=30°. (I)求证：ABC是等边三角形. (2)若BD=2,EC=3,求AC的长 9.(25-26七年级下·全国期末)如图，AD为ABC的高，AE,BF为ABC角平分线，若∠CBF=32°， ∠AFB=72°. DE (I)求∠BAD的度数； (2)求∠DAE的度数， 10.（重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级下学期第十次自主作业数学试卷)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)用尺规完成以下基本作图：在线段CA上截取CE=CB,作线段EF=AB交射线BC于点F,作 LECH=LBCD,交EF于点H;(不写作法和证明，保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图形中，求证：CD=CH.(请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加 其它字母或者符号) 证明：：LACB=90°， ∠ECF=180°-LACB=① 在Rt△ABC和RtAFEC中， AB=② CB=CE RtAABC≌RtA FEC(HL), ∠B=③ 在△CBD和△CEH中， 「∠B=∠CEF CB=CE ∠BCD=∠ECH .CBD≌ACEH(ASA, :.CD=CH. 创新拓展练 1.(25-26八年级上·山东聊城阶段检测)如图，已知：AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°， ∠EBD=38°，现有下列结论：①△BDC≌△AEC;②LAEB=I35°；③BD=AE;④AE⊥BD.其中 正确的有()· D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 / 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下·江苏盐城阶段检测)在ABC中，∠BAC>∠ABC,三个内角的平分线交于点O, B 图1 图2 (1)填空：如图1，若LACB=70°，则∠A0B的大小为度； (2)如图1，过点O作0D⊥OC,交AC于点D,证明：∠AD0=∠AOB; (3)如图2，CO的延长线交AB于点E,点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作 MN⊥CE于点N,请直接写出∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系 3.(25-26七年级下·山东济南期中)在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C, AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. M 图2 图3 H 图4 图5 【发现问题】： 当直线MW绕点C旋转到图1的位置时，易证△ADC≌△CEB; (I)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？ (2)如图3，在锐角ABC中，AB=1.分别以A、B为直角顶点，向ABC外作等腰直角三角形ACE和 等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M,N,则线段EM和线 段FN长度之和等于一· 【问题探究】： (3)如图4，△AB0和△CD0均为等腰直角三角形，试比较△BOC和△AOD的面积的大小，写出理由. 【结论应用】： (4)以四边形ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图5，连接EF、GH、J、KL,若四 边形ABCD的面积为8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为· 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课