暑假培优：平行线的性质与角平分线的性质综合问题、平行线的性质与折叠综合问题专项训练2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行线性质与角平分线、折叠的综合应用，通过分层例题与变式构建从静态计算到动态探究的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线的性质与角平分线的性质综合问题|3例+3变式|含动态旋转、多问递进，结合角平分线性质进行角的转化与计算|以平行线性质为核心，结合角平分线定义，构建角的等量关系推导体系| |平行线的性质与折叠综合问题|3例+3变式|涉及单/多次折叠，探究折叠前后角的数量关系及位置关系|以平行线性质为基础，依托折叠对称性，建立折叠前后角的对应关系推理路径|

暑假培优：平行线的性质与角平分线的性质综合问题、平行线的性质与折叠综合问题专项训练 暑假培优：平行线的性质与角平分线的性质综合问题、平行线的性质与折叠综合问题专项训练 考点目录 平行线的性质与角平分线的性质综合问题 平行线的性质与折叠综合问题 考点一 平行线的性质与角平分线的性质综合问题 例1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）老师让同学们借助两条平行线、和一副直角三角板开展数学探究活动．直角三角板，中，，，． (1)若，如图摆放时，则的度数为_____； (2)若图中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，分别作和的角平分线相交于点（如图），求的度数； (3)若图中固定，（如图）将绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 例2．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（）秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 例3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）已知直线，按如图1放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数；（用的代数式表示） (2)将图1中的进行适当旋转，如图2，顶点始终在两条平行线之间，连接．当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 变式1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 变式2．（25-26七年级下·云南·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 变式3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由； (2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 考点二 平行线的性质与折叠综合问题 例1．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 例2．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 例3．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）【综合实践】——折纸中的数学    某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 变式1．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）操作探究： 我们将长方形纸片沿（点E、F分别在边上）折叠，点A，B分别落在，的位置，如图1：再沿边将折叠到处，如图2．    (1)第一次折叠后，如图1，若，则　 　°； (2)当第二次折叠后的线段时，则　 　°． (3)当第二次折叠后的点的对应点H落在线段上（如图3），求的度数； 变式2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）综合探究： 【问题感知】 (1)如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________； 【问题初探】 (2)如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数； 【问题深探】 (3)如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数． 变式3．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）如图1是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿折叠成图1的形状． 张明同学发现折叠之后，四边形与四边形是完全相同的图形，因此折痕恰好是的平分线． (1)图1中，若时，求的值； (2)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图2所示，若两条折痕形成的夹角，求与形成的夹角的度数． (3)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图3所示，试探究两条折痕形成的夹角与、形成的夹角之间的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：平行线的性质与角平分线的性质综合问题、平行线的性质与折叠综合问题专项训练 暑假培优：平行线的性质与角平分线的性质综合问题、平行线的性质与折叠综合问题专项训练 考点目录 平行线的性质与角平分线的性质综合问题 平行线的性质与折叠综合问题 考点一 平行线的性质与角平分线的性质综合问题 例1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）老师让同学们借助两条平行线、和一副直角三角板开展数学探究活动．直角三角板，中，，，． (1)若，如图摆放时，则的度数为_____； (2)若图中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，分别作和的角平分线相交于点（如图），求的度数； (3)若图中固定，（如图）将绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （2）分别过点作，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，分别过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为每秒转， 分三种情况： 当时，如图，，即 此时， ∴，即，解得：； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； ③当时，如图， 延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 例2．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（）秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； (3)或6或12或15 【分析】（1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，再分情况讨论：当时，记的交点为，可得，可得，当在上方时，此时，证明，可得：，当时，如图，可得，求解，当时，如图，记的交点为，过作，证明，可得：． 【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ∵， ， ， ， ∴， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； （2）略 （3）解：， ∴最长运动时间为：， ， ，是的平分线， ， ∴， 由（1）知，， ， ， ，， ， ， 当时，记的交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图：当在上方时， 此时， 如下图： ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， 同理可得：，， ∴， 解得：， 当时，如图，记的交点为，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或6或12或15． 例3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）已知直线，按如图1放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数；（用的代数式表示） (2)将图1中的进行适当旋转，如图2，顶点始终在两条平行线之间，连接．当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由： 设，由（1）得． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 即与之间的数量关系为． 【分析】（1）过点作，得出，确定，，结合图形求解即可； （2）设，由（1）得，利用角平分线得出，确定，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 变式1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)的值不会变化，，理由见解析 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：存在， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得，则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得，则； 综上，点的坐标为或； （3）解：的值不会变化，，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 变式2．（25-26七年级下·云南·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：小刚的证明如下：如图2，过点P作， ∵， ∴， ∴ ∴ 即； (2)证明：∵∴ 又∵ ∴ ∴； (3) 【分析】（1）小刚的证明：过点P作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点M，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）小红的证明如下：     如图3，延长交于点M， ∵， ， ， ∴， ； （2）略； （3）解：∵平分，， ， 设，则，，     ， ∴， 解得， ； 设， ∵平分， ， ∵， ， ∵在(2)的条件下， 同理可得，，即， 解得， ∴． 变式3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由； (2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为，证明见解析 (3) 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质得，根据平行公理的推论得，继而得到，可得结论； （2）（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为．如图，过点作，根据平行线性质得，根据平行公理的推论得，继而得到，即可得证； （3）根据已知得推出，由角平分线的定义得，再根据平行线性质得，继而得到 ，即可得解． 【详解】（1）解：． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为． 证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴的度数为． 考点二 平行线的性质与折叠综合问题 例1．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， 根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）根据折叠的性质得，再根据平行线的性质得，进而求出，然后求出，则此题可解； （2）由题意得，再根据折叠的性质可得，然后根据平角定义和三角形内角和定理求出，进而得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案； （3）根据平行线的性质得，再根据折叠的性质得，进而得出，然后根据折叠的性质得，接下来根据平角定义得，即可得出，则此题可解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 根据折叠的性质可得， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴； （3）略 例2．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 例3．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）【综合实践】——折纸中的数学    某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键， （1）根据平行线的判定判断即可； （2）①连接．由正方形可知，，进而得．由，得，从而可得．②如图，过点作，得．证，得，从而求得，即可得解； （3）由，得．由折叠性质得，，从而，根据平行线的判定即可得证． 【详解】解：（1）．理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； （2）①． 理由如下： 如图，连接．    由正方形可知，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ②如图，过点作， ∴． ∵纸片是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）证明：∵， ∴． ∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处， ∴，， ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）操作探究： 我们将长方形纸片沿（点E、F分别在边上）折叠，点A，B分别落在，的位置，如图1：再沿边将折叠到处，如图2．    (1)第一次折叠后，如图1，若，则　 　°； (2)当第二次折叠后的线段时，则　 　°． (3)当第二次折叠后的点的对应点H落在线段上（如图3），求的度数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠性质得：， ，根据四边形是矩形，得，所以，，即可求出； （2）结合（1）的方法，设，，根据三角形内角和定理求出，，延长交于点，根据平行线的性质证明，即可求解； （3）同（2）方法得，进而解决问题． 【详解】（1）解：由折叠性质得：， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质得：， ， ， 延长交于点，如图，    设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ； （3）解; 由折叠性质得：， ， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； 变式2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）综合探究： 【问题感知】 (1)如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________； 【问题初探】 (2)如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数； 【问题深探】 (3)如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由长方形性质得，，由得，再由折叠性质得，根据平行线的性质得，然后由可得答案； （2）由长方形性质得，，由得，再由折叠性质得，进而得，然后在三角形中求出，最后结合邻补角的定义可得答案； （3）先求出，分四种情况讨论如下： ①当时，且点在左侧时，则，由折叠性质得，再根据得，在三角形中，由即可； ②当时，设的延长线交于点，则，由折叠性质得，，在三角形中求出，据此可得的度数； ③当时，设与相交于点，则，在三角形中可求出，则，再由折叠性质得，然后在三角形中可得的度数； ④当，且点在右侧时，则，由折叠性质得，然后在三角形中可得的度数． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， 在三角形中，， ∴； （3）解：∵在三角形中，，， ∴， 当所在直线与三角形的一边所在直线垂直时，有以下四种情况： ①当时，如图3①所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在三角形中，； ②当时，设的延长线交于点，如图3②所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴，， 在三角形中，， ∴； ③当时，设与相交于点，如图3③所示： ∴， 在三角形中，， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，； ④当，且点在右侧时，如图3④所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，， 综上所述，的度数为或或或． 变式3．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）如图1是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿折叠成图1的形状． 张明同学发现折叠之后，四边形与四边形是完全相同的图形，因此折痕恰好是的平分线． (1)图1中，若时，求的值； (2)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图2所示，若两条折痕形成的夹角，求与形成的夹角的度数． (3)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图3所示，试探究两条折痕形成的夹角与、形成的夹角之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据翻折以及平行的性质即可作答； （2）根据题意，结合翻折可知，，，即有，根据，可得，根据，可得，即可得，再根据，有； （3）根据题意，结合翻折可知，，，根据平行的性质有，，根据，可得，根据，可得，即可得 ，问题随之得解． 【详解】（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即所求角度为； （2）如图， 根据题意，结合翻折可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图， 根据题意，结合翻折可知，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即满足关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $