云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

马关县第一中学2026年春季学期高二年级第一次月考试卷 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 2 3 4 5 6 > 8 答案 C 心 B D ⊙ C D 【解析】 1.原式为z- 5 5 z-1 =-1+i- -1+i-5(-2-边 -2+i 4-2 =1+2i,所以其虚部为2，故选C. 2.根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为4+5+6=15，故选B, 3.由题意可知初中部抽取 400×30=20(人)，高中部抽取 200 ×30=10(人)，因 400+200 400+200 此初中部不同的抽样结果有C,高中部不同的抽样结果有C”,根据分步乘法计数原理 可得不同的抽样结果共有C0·C0,种，故选B. 化简集合A,分式不等式2<0等价于(x-3x+2)0,解得-2<x<3, A={x|-2<x<3};化简集合B,对数函数y=n(1-x)要求真数大于0，即1-x>0,解得 <1,即B={x|x<1,所以A∩B=(-2,1),CR(A∩B)=（-o,-2U[1,+∞），故选A. 5.对于A,因为-3+4=2x+3,所以A不正确：对于B,因为 sin x-cos-cos 3 所以B不正确；对于C,因为(x.2+ln=3x2.2+x.21n2+1,所以C不正确：对 于D,因为 e ex2-2xe_x-2)e,所以D正确，故选D. (x2)2 3 6.设等比数列a,)的首项为4，公比为g,因为a+a,-8=s当g=1时， a+0,a18}解得a名那么此时8=6侧子8=刘-受所以95，不 高二数学MG参考答案·第1页（共8页） 符合题意，所以当q≠1时，4十4(=9，-g2=9×1-4）,化简得g-9g+8=0, 4'1-q 1-9 解得q=2,所以a=,所以4=ag=×2=4,故选B. 4 4 7.将5名同学按11：3和2：21分组分别有C种和C A? 种分法，再将含有同学甲的一组安排 到B、C服务点，最后安排另两组，安排方法有C,A?种，所以不同的安排方法共有 C+CCC!A=1O0（种，故选C A 8.函数fx)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=(3-x2)e*,A.f(1)=-f(I)=-2, A错误；B.f(5)=-f5)=-[N}-3e5=0,f0)=0,fx)的零点个数为3，B错 误：C.当x>0时，求导得f'()=-(x2+2x-3)e*=-(x+3)x-10e,由0<x<1,得f'(x)>0, 由x>1,得f'(x)<0,函数f(x)在(0,1)上单调递增，在L,+0)上单调递减，当x=1时， f(x)取得极大值f(①)=2e,由奇函数的性质得在x<0时，f(x)取得极小值f(-1)=-2e, 因此f(x)的极值点个数为2，C错误；D.由方程f(x)=t有三个实数根，得函数y=f(x)的 图象与直线y=t有3个交点，所以3<tk2e或t=0,因此t的取值范围是 (-2e,-3)U(3,2e)U{0),D正确，故选D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BC CD ABD 【解析】 9.对于A)的最小正周别为会=，A结误对于B由/侣=2x音到)5， 得/图的条对称为x吾B正确：对丁C由引2-(》 则函数f(x)在 ππ 上单调递增，C正确；对于D,将函数∫(x)的图象上所有点向左 高二数学MG参考答案·第2页（共8页） 平移径个单位长度得y=5xn[+得]-52r+月引-502x的图家，前数 y=5cos2x是偶函数，其图象不关于原点成中心对称，D错误，故选BC 10.对于选项A:因为每个人均有3个景点可以选择，所以所有可能的方法有3=243种，故 A错误；对于选项B:若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑， 所以不同的安排方法有34=81种，故B错误；对于选项C:若5个人都去一个景点，不同 的安排方法有C,=3种；若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安 排方法有C(2-C)=90种；所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有 243-(3+90)=150种，故C正确；对于选项D:若每个景点必须有同学去，且小张和小李 去同一个景点，则有：若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有C·A=18种；若这个 景点有3人去，不同的安排方法有C·A=18种；所以若每个景点必须有同学去，且小张 和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有150-18-18=114种，故D正确，故选CD. 11.将直线1的方程整理为(x+2)a+x-y+5=0,由 x+2=0 得 x-y+5=0 [x=-2 (y3, 所以直线1过定点(-2,3)，故A正确；圆C的标准方程为 (x-1)+(y+1)2=9,圆心为C(1,-),半径r=3,若直线1与圆C 相切，则 a+)x1+1+2a+5=3,解得a=1,故B正确；若 图1 V(a+1)'+(-1 a=0,则直线1的方程为x-y+5=0,因为圆心C到直线1的距离 d-+1+5_5、3=,所以直线与圆相离，所以PQ上4-= √2 2 5-3,故C错误： 2 如图1，从Q点向圆C引切线，设切点分别为M,N,连接CM,CQ,则CM⊥MQ,则 Mg=Vcg-|CM=Vcg-9,当Cg⊥l时，|CQ取得最小值，此时Mg取得最小 值，所以MOL 72 9=V62 故D正确，故选ABD. 2 2 高二数学MG参考答案·第3页（共8页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 -2 -20 【解析】 12.由题知f'(x)=ax2-2x+a2,由f(x)在x=1时取得极大值，∴.f'(①)=a-2+a2=0,解得 a=-2或a=1，经检验，当a=-2时，f'(x)=-2x2-2x+4=-2(x+2)(x-1).由 x∈(1，+0)，f'(x)=-2(x+2)x-1)<0,所以f(x)在x∈1，+o)上单调递减：由 x∈(-2,1)，f'(x)=-2(x+2)(x-1)>0,所以f(x)在x∈(-2,1)上单调递增；此时f(x)在 x=1时取得极大值，满足题意，故a=-2;当a=1时，f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，则 f(x)在R上单调递增，不符合题意，故舍去a=1.综上所述，实数a的值为-2. a,+11d=14 13.设等差数列{an}的公差为d,由a2=14,S。=10,可得 +10x9d=10,解得a=-8, 10a1+ 2 =2,5=8n+n(n-x2=2-9n=n-)-4’因n∈N，故当n=4或n=5时 2 Sn的最小值为-20. 14.由题意可知a+3lna=e+3b,即ena+3na=e+3b,设f(x)=e+3x,则函数f(x)在R 上单调递增.又fIna)=fb),所以lna=b,ab=ana.设g(x)=xlnx,则 g')=1nx+1,令g')=0得x=1.当0<x<1时，g()<0:当x>1时，g')>0.因 e 此g(x)在 上单调递减， 在+)上单同递增，放产)因此 (e alna≥-1. e 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由正弦定理，有sin AsinC+cosA_2 sin CsinA 有sinA+cosA_2sinC sinCsin B cos B sin Asin B sin B cosB sin B sin Bcos B simB,有sin(A+B 通分后，有sin Acos B+-sin BcosA2sinC =2sin C. cosB 高二数学MG参考答案·第4页（共8页） 因为0<C<π，则sinC>0 1 又由A+B=π-C,有sin(A+B)=sinC,可得cosB= 21 又由0<B<,可得B=3 …(7分) (2)设AC边上的高为h, 由B=匹及余弦定理，有b=√+c2-2 accos B=√a+c2-ac=√22+32-6=V万， 3 1 A46C的面积为acsin B2×3snm-h 2 则h=3N5_3532 …(13分) b√77 16.(本小题满分15分) （D证明：由题意，《=+1，剥如+a+》 1 ,1_3 an++ :a+22 0. 2=3, an*2 (。+是以a+22 所以{a,+ +?为首项，3为公比的等比数列， (7分) 2)解白可知4分号，则 久=+w=经-a:则点.后》 nn+l n+1n+1 …(15分) 17.(本小题满分15分) (1)证明：因为平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD, 且平面ABCD∩平面ADEF=AD,ABC平面ABCD, 所以AB⊥平面ADEF,AFC平面ADEF,所以AB⊥AF. 高二数学MG参考答案·第5页（共8页） 又BC⊥AF,AB∩BC=B,AB,BCC平面ABCD, 所以AF⊥平面ABCD, ……（7分) (2)解：由AF⊥平面ABCD和AB⊥AD,可建立如图2所示的空间直角坐标系A-z, 则A(00,0),D0,2,0),B(3,0,0),C(22,0),F(0,0,2) 所以AD=(0,2,0,BC=←1,2,0，BF=(-3,0,2), 因为AD⊥DE,CD⊥AD,DE∩CD=D,DE,CDC平面CDE, 所以AD⊥平面CDE,所以AD=(O,2,O)是平面CDE的一个法向量. 设平面BCF的一个法向量为m=(6,,则 BC⊥m BF⊥m 所以 BC·m=-x+2y=0 取x=2,则m=(2,1,3): BF·m=-3x+2z=0 B 所以cos(m,AD)= m·AD2×0+1×2+3×0V14 1mlAD|V22+12+32×214 图2 平面BCF与平面CDE夹角的余弦值为 14 …(15分) 18.(本小题满分17分) 解，当a=-1时，fa=号+nx+2x分 所以f)=x++2,所以f'0=1++2=4. 又f0=+n1+2x1+。=3 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-3=4(x-1), 即4x-y-1=0. …………(4分） (2)由题意得f')=x-a-(a-)=X-a-x-a_-ax+D, 函数f(x)的定义域为(0，+0) 高二数学MG参考答案·第6页（共8页） 若a≤0，可得x∈(0，+o)时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增； 若a>0时，当x∈(0a)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，a)上单调递减： 当x∈(a,+o)时，f'(x)>0,所以f(x)在(a,+o)上单调递增； 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增；当a>0时，f()在(0，a)上单调递 减，在(a,+o)上单调递增， …(10分) (3)由(2)可知当a>0时，f(x)有极小值， a a2 小值为f(a=aama-a-10a-2 -alna+ +,此时极小值也是最小值。 由fx)≥0，可得- 2-ama0 d-a-2hd)0. 又a>0,所以1-a-2na≥0 令8四=1-a-2na,求导得g@=-1-2<0, 所以g(a)在(0+o)上单调递减. 又g①)=1-1-2n1=0, 当ae(0,)时，g(ad)>g①)=0，当a∈(1，+w)时，g(a)<g①)=0， 所以a∈(0,1]时，g(a)≥0，此时满足f(x)≥0， 所以a的取值范围为(0,1]. (17分) 19.(本小题满分17分) (1)解：已知抛物线C2:y=x2-1中，令y=0,解得x=+1,所以a=2 因为椭圆上的点M到F距离的最小值为2-√5，则a-c=2-√，所以c=√， 从而b2=a2-c2=1, 椭圆C,的方程为： ……(5分) (2)①证明：直线l的斜率显然存在，设l方程为y=mx. y=mx, 由 y=x2-1, 整理得x2-x-1=0. 设B(x,y),C(xy2),则为=x-1,2=x号-1，x63=-1, 高二数学MG参考答案·第7页（共8页） 由已知A0,-少，所以AB,AC的斜率分别为k=当+三=5， c=+1=三=，放k如kc=西=-1， 所以直线AB与直线AC的斜率之积为定值. …(10分) ②解：设直线AB:y=x-1,显然k≠0，由 y=x-1, y=x2-1 解得x=0或x=k, .B(k,k2-),则AB=√R2+k=N1+k2. 0如A8Lac,直线cy--,则4C-气日一石 y=kx-1, 由 8 x2+4y2=4 得0+4k2x2-8x=0,解得x=0或x=1+4, 4k2-1 （1+4k21+4k2 则1AP华8到k+ 1+4k2 1 由①知，直线AC:y=- 4 则3 1+42)k2+4) 8k|W1+k2,81k1 1 64k2 1+4k2 2+4V1+ +4*j）3…是+a 64 当且仅当k=士1时等号成立，即令最小值为 S 4 …（17分) 高二数学MG参考答案·第8页（共8页）马关县第一中学2026年春季学期高二年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)》 1已知：=-1+1，则复数：三的虚部为 5 A.-2i B.-1 C.2 D.1 2.已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的 员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为 A.120 B.15 C.25 D.90 3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查， 拟从初中部和高中部两层共抽取30名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和 200名学生，则不同的抽样结果共有（)种. A.C8·C0 B.C0o·C0 C.Cb·Cw D.C点·C30 已知集合A=r长经0,8=l,=(1-1,则C(4ng A.(-∞，-2]U[1,+0) B.[-2,1] C.（-∞，-2) D.[1,+∞) 高二数学MG·第1页（共6页） 5.下列求导正确的是 3 A(x-3+4=2x+3t4 B.sinx-cos2 =cosx+sinπ 3 C.(x3·2+lnx)'=3x2.2*llnx+ =（x-2)e 9 6.设等比数列{a.}的前n项和为S,若a+a4=4,S,=9S,则a A.2 B.4 C.8 D.16 7.某中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三 个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不 去A号服务点，则不同的安排方法共有()种. A.68 B.98 C.100 D.120 8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f八x)=(3-x2)e,则 A.f(-1)=2e B.f(x)的零点个数为2 C.f(x)的极值点个数为3 D.若方程f(x)=t有三个实数根，则t的取值范围是(-2e,-3)U(3,2e)U{0 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9已知函数x)=5sn2x-,下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的一条对称轴为x= 12 C.f(x)在区间 6’2 内单调递增 D.将函数f(x)的图象上所有点向左平移 红个单位长度，所得图象关于原点成中心 12 对称 高二数学MG·第2页（共6页） 10.五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点 “夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正 确的有 A.所有可能的方法有125种 B.若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C.若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D.若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有 114种 11.已知圆C:x2+y2-2x+2y-7=0与直线l:（a+1)x-y+2a+5=0,点P在圆C上，点Q 在直线！上，则下列选项正确的是 A.直线l过定点(-2,3) B.若直线1与圆C相切，则a=-3 24 C若a=0,则1P01=73 2 D.当a=0时，从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是Y62 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2若函数)-ar-+x-了，在x=1时取得吸大值，则实数0的值为 13.数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a2=14,So=10,则Sn的最小值为 14.已知a>0,beR,若3(lna-b)=e-a,则ab的取值范围是 高二数学MG·第3页（共6页） 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在△4BC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且满足sinCA_2csin4 csinB cosB asinB (1)求B; (2)若a=2,c=3,求AC边上的高. 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}中，a1=1,满足an+1-1=3an（n∈N). (1)证明数列口+号是等比数列： (2)设6，=e2a+1),元为数列6 的前n项和，求T 高二数学MG·第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ADEF,四边形ABCD是直角梯形， AB⊥AD,CD⊥AD,AD=CD=AF=DE=EF=2,AB=3,且BC⊥AF. (1)证明：AF⊥平面ABCD; (2)求平面BCF与平面CDE夹角的余弦值 A 18.(本小题满分17分) 已知数u)-tr+》 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f代x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围. 高二数学MG·第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知椭圆G,:云不=(ab>0)的下顶点为A,左、右焦点分别为F,上，椭圆上的 点M到F,距离的最小值为2-√3，且抛物线C2:y=x2-1截x轴所得的线段长为C 的长半轴长. (1)求椭圆C,的方程； (2)过原点的直线1与C2相交于B,C两点，直线AB,AC分别与C1相交于P,Q 两点 ①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值； ②记△ABC和△APQ的面积分别是S,S2,求。的最小值， 52 高二数学MG·第6页（共6页）