第一章 二次函数 单元检测 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 本试卷为初中数学二次函数单元检测，涵盖选择、填空、解答题，注重基础概念与实际应用结合，适配单元复习，有效检测学生抽象能力、模型意识及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|二次函数定义、解析式、图象变换、性质|如第1题考定义，第6题结合图象比较系数，强化几何直观| |填空题|6题/18分|函数值、取值范围、图象与系数关系|第11题利用对称性求a+b+c，第14题结合图象判断结论，培养推理意识| |解答题|7题/52分|实际应用（销售、几何、运动问题）、解析式求解|第17题销售利润、22题足球射门问题，体现数学建模，落实应用意识|

第一章 二次函数 单元检测 一、单选题 1.若y=（m＋1） 是二次函数，则m=（   ） A. －1                                  B. 7                                  C. －1或7                                  D. 以上都不对 2.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（   ） A.             B.             C.             D.  3.二次函数 的一次项系数是（   ） A. 1                                          B. -1                                          C. 2                                          D. -2 4.将函数 先向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得函数的解析式为（     ） A.                      B.                      C.                      D.  5.要得到函数y=2（x-1）2+3的图象，可以将函数y=2x²的图象（    ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 6.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①  y=ax2；② y=bx2 ；③ y=cx2；④ y=dx2 ，则 a、b、c、d 的大小关系为(   ) A. a＞b＞c＞d                 B. a＞b＞d＞c                 C. b＞a＞c＞d                 D. b＞a＞d＞c 7.已知：二次函数 ，下列说法错误的是（    ） A. 当 时， 随 的增大而减小 B. 若图象与 轴有交点，则 C. 当 时，不等式 的解集是 x＜1或x＞3 D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点 ，则 8.如图，已知抛物线 的顶点为（2，-1），抛物线与y轴的交点为（0，3），当函数值 时，自变量x的取值范围是（   ） A.                            B.                            C.                            D.  9.抛物线 与x轴只有一个交点，则m的值为（       ） A. － 6                                          B. 6                                          C. 3                                          D. 9 10.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（   ） A. 193                                      B. 194                                      C. 195                                      D. 196 二、填空题 11.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系： x … 3 5 7 … y … 2.5 2.5 -1.5 … 则a+b+c=________． 12.函数y=2x2中，自变量x的取值范围是________，函数值y的取值范围是________． 13.初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y …   ﹣4 ﹣2 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝________. 14.已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a¹ 0) 的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c - m= 0 有两个不相等的实 数根，下列结论：① b2- 4ac< 0 ；② abc> 0 ；③ a - b + c< 0 ；④ m> -2，其中，正确的个数________． 15.已知点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）在抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系为________（用“＜”连接）. 16.二次函数 的图象如图所示，则点 在第________象限. 三、解答题 17.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出15件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，请列出y与x的关系式，试求当商品售价为多少元时，该商品每星期的总销售额最高，最高为多少元？ 18.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求： （1）若商场平均每天赢利1200元，且让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案. 19.已知二次函数y= x2 - 6x+10 （1）将其化为y=a(x-h)2+k的形式； （2）画出其函数图象； （3）根据图象直接写出当y>2时x的取值范围. 20.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式 （1）图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （2）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3 （3）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10） 21.已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 ﹣1 0 … （1）当ax2+bx+c＝3时，则方程的解为________； （2）求该二次函数的表达式； （3）将该函数的图象向上（或向下）平移，使图象与直线y＝4只有一个公共点，直接写出平移后的函数表达式． 22.如图，某足球运动员站在点O处练习射门.将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，己知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m. （1）a＝________，c＝________； （2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ （3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？ 23.小王电子产品专柜以20元/副的价格批发了某新款耳机，在试销的60天内整理出了销售数据如下 销售数据(第x天) 售价(元) 日销售量(副) 1≤x＜35 x+30 100﹣2x 35≤x≤60 70 100﹣2x （1）若试销阶段每天的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （2）请问在试销阶段的哪一天销售利润W可以达到最大值？最大值为多少？ 答案解析部分 一、单选题 1. B 考点：二次函数的定义 解：由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0； 解得m=7或-1；m≠-1， ∴m=7， 故答案为：B． 分析：令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可． 2. B 考点：待定系数法求二次函数解析式 解：根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0）， 所以 解得a=1，b=-2，c=-3， 这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 故答案为：B. 分析：根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可 3. D 考点：二次函数的定义 解：∵原二次函数可化为   ∴其一次项系数是−2. 故答案为：:D. 分析：将原函数整理成一般形式，即可得出其一次项的系数。 4. A 考点：二次函数图象的几何变换 解： 得 顶点坐标为（-1，1） 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，顶点坐标变为（0，-1） 可得新的抛物线解析式为： 故答案为：A 分析：根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可. 5. C 考点：二次函数图象的几何变换 解：向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度。 故答案为：C. 分析：直接根据“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律求解即可. 6. A 考点：二次函数图象与系数的关系 解：由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：a＞b＞c＞d . 故答案为：A. 分析：（1）二次函数  y=ax2(a≠0）的图象的开口方向由“ 的符号”确定，当 a＞0 时，图象的开口向上，当 a＜0 时，图象的开口向下；（2）二次函数  y=ax2(a≠0） 的图象的开口大小由 |a| 的大小确定，当 |a| 越大时，图象的开口越小. 7. B 考点：二次函数图象的几何变换，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：二次函数为 ，对称轴为 =2，图象开口向上.则： A、当 ＜1时， 随 的增大而减小，故说法正确； B、若图象与 轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥-4，故说法错误； C、当a=3时，不等式 2-4 +a＜0的解集是x＜1或x＞3，故说法正确； D、原式可化为 =（ -2）2-4-a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是 =（ +1）2-3-a.函数过点（1，-2），代入解析式得到：a=3.故说法正确. 故答案为：B. 分析：由于该二次函数的二次项系数a=1＞0，故图象的开口向上，根据对称轴直线公式x=得出其对称轴直线为x=2，在对称轴左侧，即x＜2的时候y随x的增大而减小，所以当 ＜1时， 随 的增大而减小，故说法正确；如果抛物线与x轴有交点，则其根的判别式△≥0，从而列出不等式，求解得出a≥-4；当a=3的时候，抛物线 与x轴两交点的坐标为（1,0）、（3,0），故不等式 2-4 +a＜0的解集是 x＜1或x＞3；首先将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式为 =（ +1）2-3-a，然后将点（1，-2）代入即可算出a=3，从而即可一一判断得出答案. 8. C 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，-1）， ∴对称轴为x=2， ∵抛物线与y轴的交点为（0，3）， ∴当y=3时x的值为0或4， ∴当函数值y＜3时，0＜x＜4， 故答案为：C． 分析：根据抛物线的顶点坐标得出抛物线的对称轴直线为x=2,然后根据抛物线与y轴交点的坐标及抛物线的对称轴得出当y=3时x的值为0或4，从而即可得出答案. 9. D 考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题 解：∵二次函数y=x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个公共点，∴y=0时，方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=62﹣4×1×m=0． 解得：m=9． 故答案为：D． 分析：根据二次函数y=x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个公共点，可知y=0时，方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，从而可以求得m的值． 10. C 考点：二次函数的实际应用-几何问题 解：∵AB=m米， ∴BC=（28-m）米． 则S=AB•BC=m（28-m）=-m2+28m． 即S=-m2+28m（0＜m＜28）． 由题意可知， ， 解得6≤m≤13． ∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大， ∴当m=13时，S最大值=195， 即花园面积的最大值为195m2 ． 故选C． 分析：根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案． 二、填空题 11. -1.5 考点：待定系数法求二次函数解析式 解：∵x=3，y=2.5；x=5，y=2.5， ∴抛物线的对称轴为直线x=4， ∴当x=1和x=7时函数值相等， 而x=7时，y=-1.5， ∴x=1时，y=-1.5， 即a+b+c=-1.5． 故答案为：-1.5． 分析：由表可知当x=3与x=5时，y的值相等，且x与y是二次函数的关系，由二次函数的对称性可知，这个二次函数的对称轴为x=4，这样就可以知道x=7时与x=1时，y的值是相等的，代数式a+b+c可以看做是x=1时，二次函数y的值，所以a+b+c=-1.5。 12.全体实数；y≥0 考点：二次函数的定义 解：函数y=2x2中，自变量x的取值范围是全体实数，函数值y的取值范围是y≥0，故答案为：全体实数，y≥0 分析：由于该二次函数的解析式是一个整式，故自变量的取值是全体实数，再根据偶次方的非负性，得出其对应的函数值一定是非负数。 13. .-4 考点：二次函数y=ax^2 bx c的图象 解：观察表格可知，当x=0或2时，y=-2 ， 根据二次函数图象的对称性，（0，-2 ），（2，-2 ）是抛物线上两对称点， 对称轴为x= =1，顶点（1，-2）， 根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4. 分析：由表格可知，（0，-2 ），（2，-2 ）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（-1，-4）即可. 14. ②④ 考点：二次函数图象与系数的关系 解：①∵函数与x轴有两个交点， ∴ ，所以①错误； ②∵函数开口向上， ∴ ， ∵对称轴 ， ， ∴ ， ∵函数与y轴交于负半轴， ∴ , ∴ ，所以②正确； ③∵当 时， ,由图可知当 ， ， ∴ ，所以③错误； ④方程 可以看做函数 当y=0时也就是与x轴交点， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴函数 与x轴有两个交点 ∵函数 就相当于函数 向下平移m个单位长度 ∴由图可知当函数 向上平移大于2个单位长度时，交点不足2个， ∴ ，所以④正确. 故答案为②④. 分析：①观察图象可知抛物线与x轴有两个交点，可得△＞0即b2-4ac＞0，据此判断即可； ②首先根据抛物线开口向下，可得a＜0，然后根据对称轴在y轴的右边，可得b＞0，最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，所以abc＜0； ③当x=-1时，由图象可知其对应的函数值为正，据此判断即可； ④根据y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是y=-2，关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，可得抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有两个交点，据此判断即可． 15. y3＜y1＜y2 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝﹣1， ∵a＜0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而减小， x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∵|﹣3+1|＝2，|﹣1﹣0|＝1，|2﹣（﹣1）|＝3. ∴3＞2＞1 ∴y3＜y1＜y2. 故答案是：y3＜y1＜y2. 分析：先求出二次函数对称轴，然后根据二次函数的增减性，从点到对称轴的距离的越大相应的函数值越大. 16. 四 考点：二次函数y=ax^2 bx c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵二次函数 的图象与x轴有两个交点， ∴ ， ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴ ，即： ， ∴点 在第四象限， 故答案是：四 分析：有二次函数的图象可知： ， ，进而即可得到答案. 三、解答题 17. 解:由题意可得: , 配方可得: 因为-15<0, 所以当x=20时,y有最大值,最大值是24000元. 答: y与x的关系式是 ，当x=20时,y有最大值,最大值是24000元. 考点：二次函数的实际应用-销售问题 分析：由题意可得: 销售量=300+15x,根据总销售额=销售价×销售量，可列二次函数关系式,再求二次函数最值即可. 18. （1）解： 设每天利润为 元，每件衬衫降价 x元， 根据题意得 当 时， 解之得 根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元。 （2）解：商场每天盈利 W= ， ∴当 时，商场盈利最多，共1250元 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多。 考点：二次函数的实际应用-销售问题 分析：（1） 设每天利润为 元，每件衬衫降价 x元，根据 每件的盈利=原来每件的盈利-降价数，则每件的利润为（40-x）元，又 每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ，则商场每天售出的数量为（20+2x）件，根据商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数，建立出函数关系，然后将总利润=1200代入求解并检验即可得出答案； （2）根据（1）所得函数解析式，配成顶点式，根据函数性质即可解决问题。 19. （1）解：y＝x2−6x＋10＝x2−6x＋9＋1＝（x−3）2＋1； （2）解：列表： 描点、连线，作函数图象如图： （3）解：由图象可知：当y＞2时x的取值范围是x＜2或x＞4． 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化 分析：（1）利用配方法变形即可得解；（2）列表，描点，画图即可；（3）根据函数图象进行判断即可． 20. （1）解：设二次函数解析式为y= ， 把（0，1）代入，得 =1， 解得a= ， 所以二次函数的解析式为 （2）解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）， 则 ，解得 ， 所以，该二次函数的解析式为： （3）解：设二次函数的解析式为：y=a（x+1）2-2， 将（1，10）代入得，a（1+1）2-2=10， 解得a=3， 所以，该二次函数的解析式为：y=3（x+1）2-2． 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 分析：（1）设二次函数解析式为y= ，把（0，1）代入求出a即可；（2）设二次函数解析式为一般式y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），借助于方程组求系数的值；（3）已知顶点坐标和图象上一点坐标，所以设二次函数解析式为顶点式方程：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0）. 21. （1）x1=0，x2=4 （2）解：由表格可知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， 所以设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1． ∵抛物线过点（0，3）， ∴3＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝1． ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3； （3）解：∵抛物线平移之后与y＝4只有一个交点， ∴抛物线的顶点坐标在直线y＝4上， ∴平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+4． 考点：二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：（1）由表格中的数据知，抛物线过点（1，0）与（3，0），所以抛物线的对称轴是直线x＝2． 所以当y＝3时，x的值是0或4， 所以ax2+bx+c＝3的解为：x1=0，x2=4， 故答案是：x1=0，x2=4； 分析：（1）根据抛物线的对称性和二次函数与一元二次方程的关系作答；（2）先由表格确定抛物线的顶点，再利用待定系数法求解；（3）根据题意可确定平移后二次函数的顶点，问题即得解决. 22. （1）； （2）解：∵y＝﹣ t2+5t+ ， ∴y＝﹣ （t﹣ ）2+ ， ∴当t＝ 时，y最大＝4.5， ∴当足球飞行的时间 s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m； （3）解：把x＝28代入x＝10t得t＝2.8， ∴当t＝2.8时，y＝﹣ ×2.82+5×2.8+ ＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门. 考点：二次函数的实际应用-抛球问题 解：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣ t2+5t+ ， 故答案为：﹣ ， ； 分析：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a，c的值；（2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度；（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，把t＝2.8代入解析式求出y的值和2.44m比较大小即可得到结论. 23. （1）解：①当1≤x＜35时，W1＝(x+30﹣20)(100﹣2x) 即W1＝﹣2(x﹣20)2+1800； ②当35≤2x≤26时，W2＝(70﹣20)(100﹣2x) 即W2＝﹣100x+5000； 故W与x之间的函数关系式为： W＝ ； （2）解：∵W1＝﹣2(x﹣20)2+1800(1≤x＜35)， ∴在试销的第一阶段，在第20天时，利润最大为1800元， ∵W2＝﹣100x+5000(35≤x≤60)， ∴在试销的第二阶段，在第35天时，销售利润最大为1500元， 答：在试销阶段的第20天时W最大，最大值为1800元. 考点：二次函数的实际应用-销售问题 分析：（1）利用总利润＝单件利润×销量写出函数关系式即可；（2）配方后确定两个最值，取最大的即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $