第1章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元强化卷，通过基础概念辨析、图像性质应用及真实情境建模，全面考查二次函数核心知识，适配单元复习，助力提升学生抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|顶点坐标、图像平移、性质判断|如第6题平移变换考查几何直观，第8题利润问题体现应用意识| |填空题|6/18|函数与方程关系、对称性分析|如第12题用表格数据推导对称轴，培养数据分析能力| |解答题|8/72|综合应用与建模|如第19题喷水装置、21题拱桥建模，第24题平移综合探究，发展推理能力与创新意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 4 6 7 8 9 10 答案 D D C C C B C A B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.1 12.> 13.y=201+(或y=20r+40x+20) x>0 14.①③④ 15.1≤y≤5 16.(2,) 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1)证明：一元二次方程x2-2mx+m2-1=0中a=1,b=-2m,c=m2-1, .△=（-2m）-4×1×(m2-1=4m2-4m2+4=4>0 ∴该二次函数图象与x轴总有两个不同交点： 2)m=±v5 (2)解：令y=0,解方程x2-2mx+m2-1=0, [x-(m+1][x-(m-1]=0 解得=m+1名=m-】 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “AB=x-x=(m+1)-(m-1=2 令x=0,得与y轴交点C的纵坐标为m2-1, 即高为h=m- :三角形面积5=×4Bx=×2m-m-小=4， @m-1=4时，m=士5 ②m2-1=-4时，m2=-3(无实数解). 故m=5 18.a=(+-4,与y轴交点坐标为0，-3） (2)见解析 (3)x<-3或x>1 【详解】(1)解：y=r+2x-3=(x+12-4 当x=0时，y=-3, 即y=(+)2-4 与y轴交点坐标为0，-3)， (2)解：列表如下： -3 -2 -1 0 1 … y 0 -3 -4 -3 … 0 函数图象如下所示， 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 许 4 1 5-4--2-1 2345六 -1 -2 (3)解：由图象可得，y>0时x的取值范围是x<-3或x>1. 19.2)少=-0.1x2+0.8x+2 ； (2)10m. 【详解】(1)解：由题可得，点4的坐标为0,2)， 4,3.6) ,该抛物线的顶点为 设该抛物线的顶点式为y=a(x-4)+3.6 把点4代入得2=160+36，解得a=。, :该抛物线的函数表达式为=x-4+3.6=-012+08x+2。 (2)解：令y=0得0.1r2+0.8r+2=0 得 两边同时乘以10得8x-20=0 因式分解得x-10x+2)=0 解得=10七-2 ·点B的坐标为 10,0) ∴.水柱落地点与雕塑OA的水平距离为l0m. 20.1)560-40y) 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【详解】(1)解：设商品售价x元，则由题意可得， 80+40(12-x=560-40x 560-40x) 即一天可以卖出 件： x≥5 (2)解：由题意可得，560-40x20 解得5≤x≤14， w=(560-40x)x-5)=-40x2+760x-2800 =-40(x-9.5)+810 .-40<0, ∴抛物线开口向下， ,抛物线的对称轴为直线x=9.5,x为正整数， ∴.根据抛物线对称性可知，当x=9或x=10时，w取得最大值， 此时最大值为"=-40(10-9.5}+810=800 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元. 21.()y=-0.1r2+3.6 (2)4米 (2)根据题意，得4.6-1.4=3.2当y=3.2时，3.2=-0.12+3.6，求解即可； 【详解】(1)解：根据AB=12得O4=B=6,桥洞最高处点C与桥面PQ的距离为1米，水面距离桥面 4.6m .6-1=3.6 得顶点的纵坐标为 故1(-6,0)、B(6,0)c0,36 设抛物线为=r+3.6 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.6=62a 解得a=0.1, =-0.1x2+3.6 ∴.桥洞所对应的抛物线的解析式为 (2)解：4.6-1.4=3.2 当y=3.2时，32=0.1x2+3.6, 解得x=±2， 2-（-2)=4 横幅长为： 米： 22.(1)b=18,c=21 (2)水流高度能达到的最大高度是48米 (3)消防车从O点沿OB方向应至少前进3米 【详解】(1)解：，OA=2lm,OB=7m, ·1(0,2)）B(,0) c=21 将A(0,21)和B(7,0)代入y=-3x2+br+c中，得-3×7+7b+c=0, [b=18 解得c=21: (2)解：由(1)知抛物线的表达式为：y=-3x+18x+21 将表达式转化为顶点式为：y=-3(x-3)'+48 (3,48) ∴.抛物线的顶点坐标为 ∴.水流高度能达到的最大高度是48米； (3)解：令y=36,即-3x2+18x+21=36,整理得：x2-6x+5=0, 解得： x=1x2=5 ,点C在点B正前方1米处， 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(8,0) 至少需前进8-5=3（米）， ∴.消防车从O点沿OB方向应至少前进3米. 23.(1)x=2: 40=2 【详解】(1)解：抛物线的对称轴为x=- (2)解：①°直线过点 (s,8a）(,8a) y=8a 直线的表达式为 y=ar2-4ax-3=a(x2-4x)-3=ax2-4x+4-4a-3=a(x-2}2-4a-3 “该抛物线的顶点为 2,-4a-3) ·抛物线最高点到直线的距离为9， (-4a-3)-8d=9.a<0, 12a-到=9，即2a+3=9,解得a-1或0=号（合去）， 抛物线为 =-x2+4x-3 直线为少8 联立抛物线和直线1得-x2+4x-3=-8, 化简得-4r-5=0,即 (x-5)(x+1)=0 1=5x2=-1 解得 s<t, .t=5: ②1一”取得最大值， 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时，当1 ”最大为当=2 X<X 时，为-8 ”摄小为当=5时， .P(2,1)Q(5,-8) ~点P向右平移3个单位后的点为P', P2+3,,即P(5, 最0中点的标告51)- 24.(1)-2 (2)4 )m-川是定值， m-n=6 b-b2 (4)a 【详解】(1)解：抛物线=？+r+C与x轴交于两点 0(0,0)A(2,0) [0=c [b=-2 .0=4+2b+c,解得c=0, 即b=-2: (2)解：由(1)可知，b=-2,c=0, ·抛物线片=2-2x :抛物线”向右平移两个单位长度，得到抛物线”， h=(x-2y-2(x-2),即为=2-6x+8, 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点P是抛物线在第四象限内一点， ,设点 P(p,p2-2p ,其中0<p<2 A2,0) 点 设直线AP的函数表达式为 =kx+b(k≠0) 0=2k+b (k=p .p2-2p=pk+b,解得b=-2p, ∴.直线AP的函数表达式为y=pr-2p, y=px-2p 联立by2=x2-6x+8,即px-2p=x2-6x+8, 则有P(x-2)-(-2x-4)=0,即-2x-4-p)=0 [x=2「x=4+p 解得y=0或y=p2+2p, 点(4+np2+2p) :。-=4+p-p=4 (3)解：：抛物线为=r-8r+ 与抛物线=r产+bx+ 交于点C, 3=x2-8x+t 联立y=x2-2x,即x2-8x+t=x2-2x, 解得=名 12 t 则y=363’ t 12 1 .点(6’363， :点M是抛物线”上的一点，且设点M的横坐标为m, 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.点M的纵坐标为m2-2m, M(m,m2-2m) 点 设直线CM的函数表达式为'=x+s(≠0) (2t5r+s r=m+-2 6 .{3636 ,解得 m2-2m=mr+s 6 y-m+t-2 x-m ∴.直线CM的函数表达式为(6 y-m+62- mt 6 mt 联立 =2-8x+，即m+2x- =x2-8x+t, 6 16 x2-(6m+t+36)x+t(m+6)=0 可得 ,且点N的横坐标为n, 则xc+n=- -(6m+t+36) =m+二+6， 6 6 :点C的横坐标为6， :n=m+6+6- t =m+6 6 6 .n-m=6, 即m-川-n-m=6 为定值： (4)解：，抛物线 =am+x+9与抛物线片=ar+x+G(其中a0)交于点C, yi=ax2+bx+c 联立y2=ar2+b2x+C2,即ax2+bx+G=ax2+bx+C2, 12 可附-合发.则后公+4*看+9 b-b, 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、2 c2-cs,ax C2-C1 c2-GL+c +b b-b2（b-b2 b-b2 :点M是抛物线”上的一点，且设点M的横坐标为m, am'+bm+c ∴.点M的纵坐标为 点M(mam+m+c) 设直线CM的函数表达式为'=c+k(h≠0)】 （S2-9+m+b h=a (c2-ci+b*b-b: 2 （b-b2 -合会，保的 c:-Cu+c1=b-b: b-b2 、am(c2-G)’ am2+bm+c=mh+k k=c1-b-b2 am(c2-c) 直装C的函数表达式为公。+m中内中么-y y-aeatm th xte-h-b am(c2-c) 联立，（(6-6“月 y2=ax2+b2x+C2 -- G+。。0,且点V的横坐标为， b-a g2-6+m-b (b-b2 则xc+n=- =m +c2-9+b-b2 b-b2 a C2-9 :点C的横坐标为b-b, n=m+9=9+4-色-99=m+4-b b-b2 a b-b2 a 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :n-m=么-马 a 即加-小=n-时白，A 11/11 第1章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 2．抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 3．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 4．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 5．已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次函数顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上的二次函数性质，得点到对称轴的距离越大，函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为：直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离相等则函数值相等，距离越大，函数值越大 ， ∴． 6．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 7．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 8．某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】先根据题意得到利润关于售价的二次函数表达式，再依次验证三个结论，统计正确结论的个数即可； 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意：每件利润为元，每日销量为，因此利润函数为： 验证结论①：当时，， ∵结论中说利润为元，∴结论①错误； 验证结论②：二次函数开口向下，对称轴为， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； 验证结论③：令，得方程，整理得， 解得，，两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确； 综上，正确结论只有个； 9．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点在上运动三种情况，进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，当时，点P在上，，为一段上升的线段； 当时，点P在上， ∴， ∴，其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段； 当时，点P在上， ∴，为一段下降的线段； 故符合题意的只有选项A. 10．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线，得对称轴是直线，得出点坐标为，将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长，可得，，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 12．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 13．某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 （或） 【详解】解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 14．如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】由二次函数开口向下，对称轴，交y轴于正半轴可得，，，从而，故①正确；由顶点的坐标为可得对于任意实数，都有，即，故②不正确；由二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间得，又，故，即，故③正确；由点和点关于对称和点位于和之间可得点的横坐标位于3和4之间，故④正确． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴， ， 二次函数交y轴于正半轴， ， ，故①正确； 顶点的坐标为， 当时，y最大为， 对于任意实数，都有，即，故②不正确； 二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间， 当时，， ，即， ，即，故③正确； 若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点和点关于对称， 点位于和之间，，， 点的横坐标位于3和4之间，故④正确； 综上所述，①③④正确． 15．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 16．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为轴上方抛物线对称轴上一点，当时，点的坐标是________． 【答案】 【分析】求出抛物线与轴、轴的交点坐标，延长交轴于点，由外角的性质证得，由等腰三角形的三线合一可求出点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】解：令得， 解得，， ，， 令得， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 延长交轴于点， ，， ， ， 轴， ， ， 点与点重合， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， 直线的解析式为， 把代入得， ． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1) 证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 18．已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中列表画出的图象； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)，与y轴交点坐标为 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先将化为顶点式，然后将代入解析式，求出与y轴的交点即可； （2）根据函数解析式，列出表格，然后画出相应的函数图象即可； （3）根据（2）中的图象，时即函数的图象在x轴上方时对应的x的取值范围，可以直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：， 当时，， 即，与y轴交点坐标为； （2）解：列表如下：          x        0 1          y        0 0 函数图象如下所示， （3）解：由图象可得，时x的取值范围是或． 19．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 20．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【分析】（1）设商品售价x元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件，据此列出代数式即可； （2）先求出，再根据题意列出日利润w的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； （2）解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 21．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 22．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 23．已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ②取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 24．如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)______； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； (4)若抛物线与抛物线（其中）交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示） 【答案】(1) (2)4 (3)是定值， (4) 【分析】（1）将点代入抛物线中先求解出c的值，再将点代入即可求解出b的值； （2）先求解出抛物线和抛物线的表达式，设出点P的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点Q的坐标，由此可求解； （3）先求解出点C的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； （4）先联立抛物线和表示出点C的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点、， ∴，解得， 即； （2）解：由（1）可知，， ∴抛物线， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴，即， ∵点P是抛物线在第四象限内一点， ∴设点，其中， ∵点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立，即， 则有，即， 解得或， ∴点， ∴； （3）解：∵抛物线与抛物线交于点C， 联立，即， 解得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立，即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即为定值； （4）解：∵抛物线与抛物线（其中）交于点C， 联立，即， 可得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立， 即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.已知二次函数y=2(x-)+3 其顶点坐标为() A.1,3) B.（1,-3) c.（1,-3) D.L3) 2.抛物线=-2(x-1旷-3与特交点坐标是（） A.(0,-3) B.(0-) c.(1,-3) D.(0,-5) 3.二次函数=rr- 的图象如图所示，则不等式-x-2<0 的解集是() A.x<-1 B.x>2 C.-1<x<2 D.x<l或x>2 4.若抛物线'=+-1与产轴的交点坐标为0)，则代教式m+m+19的值为() A.118 B.119 C.120 D.121 5.已知二次函数y=(x-旷+点P(0)(2)M(3)在函数图象上，则大小关系为《) A.片<为<5 B.为<乃<⅓ C.片=乃<为 D.片<h<方 6.将抛物线'=向左平移2个单位，再向下平移3个单位，相到的抛物线解折式是() Ay=r-22-3 B.y=r-2}2+3 117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.y=(x+2)}2-3 D.y=(x+2)2+3 7.对于抛物线y=2(x-+3 下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B。抛物线的顶点坐标为么3) C.抛物线的对称轴为直线x=-1 D.当x>1时，y随x的增大而减小 8.某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若 每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件.设售价为每件x元，x为正整数.有下列结论： ①若x=70,则销售该商品当日利润为800元： ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x=63: ③有两种定价方式可以使利润为1008元. 其中，正确结论的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm,BC=4cm,点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线 AC→CB→BA运动，最终回到点A,设点P的运动时间为xS,线段AP的长度为m,则能够反映y与x 之间函数关系的图象大致是() Ay/cm ◆y/cm B x/s x/s Ay/cm Ay/cm D x/s 01 x/S =x2-4x-5, 10.如图，抛物线 与轴交于点，B(点B在点的左侧)，与'轴交于点C,点M,N 在该抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），若MN=1,则MO+CN的最小值为() 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B A.2V5 B.4V2 C.45 D. 3V5 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 1.二次函数=r+2x+1与轴交于-a,0),则“的值为 y=ax+bx+c 12.二次函数 （a,b,c为常数，a<0)中，x与y的部分对应值如表： -1 0 3 若m>0, A(m,y)B(m+2,y2) 且点 在该二次函数的图象上，则片 h.(填“><或“”) 13.某工厂第一年的利润为20万元，第三年的利润y万元与平均年增长率x之间的函数关系式是 自变量x的取值范围是 14.如图。二次函数=㎡+x+C的部分图象与”轴的一个交点4位于《-2,0和1,0)之间，顶点P的坐 标为化 .下列结论： ①abc<0;②对于任意实数m,都有am2+bm-a-b≥0；③3b<2c；④若该二次函数的图象与x轴的另 317 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 一个交点为B,则点B的横坐标位于3和4之间.其中所有正确结论的序号是 15.已知二次函数"=r+4x+5 当3≤x≤0 时，y的取值范围为 16.如图，抛物线'=-4红+ 交轴于A,B两点，交'轴于点C,点F为轴上方抛物线对称轴上一点， 1 当∠CFA=2∠FAB时，点F的坐标是 /B 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知=次函数：y=r-2mx+m2-1 (1)求证：该二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点： (2)若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且△ABC的面积为4，求m的值. 18.己知二次函数'=r+2x-3 ()将二次函数化成'=a(x-h)°+k 的形式，并写出与y轴交点坐标； y=x2+2x-3 (2)在平面直角坐标系中列表画出 的图象； 5 3 1 5-4-3-2-1012345 -2 -5 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)结合函数图象，直接写出y>0时x的取值范围。 -3 -2 -1 0 1 0 -3 -4 -3 0 19. 某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形.测得雕塑OA的高度为2m,当 喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m.以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面 直角坐标系（如图）· B (1)求水柱所在抛物线的函数表达式： (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离 20.某商店决定对某类商品进行降价促销活动.已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可 卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整 数)，这批商品的日利润为Ψ元（利润=售价-成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出一件： (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 21.如图为某拱桥的示意图，桥面PQ平行于水面AB，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处 点C与桥面P№的距离为1米，当水面距离桥面4.6m时，拱孔横跨水面宽度AB为12米.若以水面AB所在 直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： yA P EO 笔锋所至 G A B衣 (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式： 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若从桥面向下挂一条宽为1.4米的长方形横幅EFGH,横幅上边沿EF与桥面PQ重合，G、H恰好落在 拱孔上，求横幅的长。 22.某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了 一次消防演练.如图所示，打开云梯后，消防车喷水口A离地面的高度为OA,水流落地点为点B,喷出 的水流呈抛物线型.以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.（喷水装置和水 流粗细忽略不计)已知0A=21m,0B=7m,从4处喷出的水流高度(m)与水平距离(m)之间的关系 为y=-3r2+br+c A BC (I)求b,c的值： (②)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点C在点B正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在C处的水流高度达到36米，则消防 车从O点沿OB方向应至少前进多少米？ 23.已知直线交抛物线'=-4r-3 (常数0≠0)于点 (s,8a）(,8a）s<t (1)求抛物线的对称轴. (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求t的值； ②若 P(,）.(,为)是b≤x≤1范围内抛物线上的两点，且b<2,<5.当-少取得最大值时。 记点P向右平移3个单位后的点为P',求线段PQ的中点的坐标. 24.如图O,已知抛物线”=r+c+C与x轴交于两点 (0,0)）、1(2,0)，将抛物线”向右平移两个单位 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长度，得到抛物线”，点P是抛物线”在第四象限内一点，连接P1并延长，交抛物线”于点Q. 图① 图② (1)b= (②设点P的横坐标为，点Q的横坐标为。，求。-”的值： (3)如图②，若抛物线为=r-8x+1 与抛物线片=r+br+ 交于点C,过点C作直线MW ,分别交抛物线 力和少于点MN(MN均不与点C重合)，设点M的横坐标为m,点N的横坐标为，试判断m-川是 否为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； (④)若抛物线 =r+4x+9与抛物线=+6x+G(其中a0)交于点C,过点C作直线MW,分别 交抛物线”和”于点MN(MN均不与点C重合)，设点M的横坐标为加，点N的横坐标为m, m-n= .( 请用含a,么，b的代数式来表示) 7/7