第1章 二次函数 强化训练1 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖定义、图像性质、方程解、实际应用等核心知识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10题|二次函数定义、图像性质、方程近似解|网格格点问题（几何直观）、函数图像辨析（推理能力）| |填空题|7题|最值、对称轴、函数性质|表格数据分析（数据意识）、动点问题（空间观念）| |解答题|5题|表达式求解、拱桥模型、综合几何|拱桥模型构建（模型意识）、动态面积问题（应用意识）|

二次函数强化训练1 一、选择题 1. 下列函数中，二次函数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键。根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可。 【详解】解：是二次函数，故A选项符合题意； 是一次函数，故B选项不符合题意； 是反比例函数，故C选项不符合题意； ，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项不符合题意。 故选：A。 2.如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（     ）。 x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 …… y …… 0.24 0.89 1.56 …… A． B．2.2 C． D． 【答案】B 【分析】由表格信息可得当时，；当时，，再比较，0.24哪个更接近0即可解答。 【详解】解：当时，；当时，， ∵0.24更接近于0， ∴方程的一个近似根为2.2， 故选：B。 3.下列对抛物线的描述不正确的是（      ）。 A．开口向下 B．y有最大值 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，二次函数开口向上，有最小值，当时，二次函数开口向下，有最大值，据此逐一判断即可。 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴y有最大值， ∴四个选项中只有D选项描述错误，符合题意， 故选D。 4.如图，已知抛物线的对称轴为，点、均在抛物线上，且与轴平行，其中点的坐标为，则点的坐标为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟记：抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标之和的一半等于对称轴是解题关键，据此即可求解。 【详解】因为与轴平行，， 所以点的纵坐标为3， 设点的横坐标为，则， 解得： 所以点的坐标为 故选：B。 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法。 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致。 【详解】解∶A. 由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； B. 由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意； C. 由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不合题意； D. 由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意。 故选∶A。 6.已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式得到抛物线对称轴为直线，再由，则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，当时，离对称轴越远，函数值越大，则，当时，离对称轴越远，函数值越小，则，两种情况都可以得到，由此即可得到答案。 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，，， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， 当时，离对称轴越远，函数值越大，则， ∴， ∴， 当时，离对称轴越远，函数值越小，则， ∴， ∴， 综上所述，下列不等式一定成立的是D， 故选：D。 7.如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（    ）。 A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口越小，值越大，分和两种情况建立平面直角坐标系，利用待定系数法，求出a值即可。 【详解】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况： 当，如图，建立平面直角坐标系， ∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，， 当时，过，，三点的抛物线的开口最小， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 当时，如图，建立平面直角坐标系， 二次函数的图象经过、、三点， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 综上，的最大值为。 故选：A。 8．抛物线与x轴交于点，对称轴为． 下列结论：①②③，其中正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、交点坐标，逐项判断即可。 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴代入得，，故①错误； ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴将代入得，，故②正确； ∴， ∴将代入得到， 将代入得， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，故③错误； 综上所述正确的有：②，共1个。 故选：A。 9. 已知点均在二次函数图象上，若，则（　　）。 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键。先得出抛物线的对称轴为直线，从而可得点为这个二次函数的顶点，且，再利用二次函数的性质逐项判断即可得。 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点在二次函数图象上，且， ∴点为这个二次函数的顶点． A. 当时，点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 则若，则；若，则，此项错误，不符合题意； B. 若，则为最大值， 所以抛物线的开口向下， 所以点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 所以，此项正确，符合题意； C. 当时，点到顶点的距离大于或等于点到顶点的距离， 则若，则；若，则，此项错误，不符合题意； D. 若，则为最大值， 所以抛物线的开口向下， 所以点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 所以，此项错误，不符合题意； 故选：B。 10．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，利用勾股定理以及面积法求得的长，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可。 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， 当， ， ， ， ，即， ， ，开口向上的一段抛物线； 当， 同理可证， ，即， ， ，开口向下的一段抛物线； 综上，符合题意的函数关系的图象是D； 故选：D。 二、填空题 11．已知函数的图象是抛物线，则______。 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案。 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：。 12.若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是_______。 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质。通过分析二次函数的开口方向及对称轴，结合点的横坐标位置，可以判断纵坐标的大小关系。 【详解】解：当时，二次函数随x的增大而增大， 点在二次函数的图象上， 。 13.二次函数的最大值为______。 【答案】0 【分析】根据二次函数的性质求解即可。 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴当时，函数有最大值0， 故答案为：0。 14．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围 ___________。（两相邻整数之间） … … … … 【答案】或 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系。据此解答即可。 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴根据函数的连续性，在之间，存在一个数，使， 根据抛物线的对称性，在之间，也存在一个数，使， ∴一元二次方程的一个近似解的范围是或。 故答案为：或。 15. 对于二次函数，下列是关于其性质的一些描述：①对称轴为；②顶点纵坐标为7；③该二次函数图象与轴有两个交点；④抛物线开口向上．其中说法错误的为_________。 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质，逐一分析判断即可。 【详解】解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为， 故说法①正确，说法②错误； 令，可得， ∵， ∴该方程无实数根， ∴该二次函数图象与轴有无交点，故说法③错误； ∵， ∴抛物线开口向上，故说法④正确； 综上所述，说法错误的是②③。 故答案为：②③。 16．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）。若四边形的周长为a，则的周长为___________（用含a的代数式表示）。 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质．此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形的周长转化为求（的周长）的值，从而可得答案。 【详解】解：∵对称轴为直线，抛物线经过原点、与轴负半轴交于点， ∴， ∵由抛物线的对称性知， ∴四边形的周长为的周长． ∴的周长为； 故答案为：。 17.已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是______。 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等等，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接，利用勾股定理求出，根据题意推出的周长，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案。 【详解】解：如图所示，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接， 由题意得，， ∵， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：5。 三、解答题 18. 已知二次函数（，b是实数），过，，这三个点， （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的顶点坐标和对称轴。 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数关系式，把抛物线的一般式化为顶点式，掌握“待定系数法与配方法”是解本题的关键。 （1）根据待定系数法求解即可； （2）将（1）中结果化为顶点式即可得出结果。 【详解】（1）解：∵二次函数（，b是实数），过，，这三个点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为： （2）由（1）得， ∴顶点坐标为，对称轴为。 19．已知抛物线，求： （1）这条抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当x取什么值时，？ （3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）或 （3） 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）求出抛物线与x轴的交点横坐标，再利用增减性求解即可； （3）根据（2）即可得到答案。 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，则， 解得或， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴当或时； （3）解：由（2）可得当时，y随x的增大而减小。 20. 一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高，跨度， （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出该抛物线表达式； （2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间隔离带宽度不计），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为多少米？ 【答案】（1） （2）3.84米 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设最外侧车道上的汽车位于点G处，汽车高度为，为并排行驶三辆宽的汽车的宽度，则，得出，设H坐标为，并代入得：，即可得出答案。 【详解】（1）解：由题意可得，、、， 将、代入， 得， 解得，， ∴； （2）解：如图所示，设最外侧车道上的汽车位于点G处，汽车高度为，为并排行驶三辆宽的汽车的宽度，则， ∴， 设H坐标为， ∴把代入得： ， ∵该抛物线开口向下，对称轴，在对称轴右侧y的值随x值的增大而减小， ∴在最右侧的车辆高度不能超过3.84米。 21. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点， （1） 请求出k的值，点A、点B的坐标； （2） 设抛物线的顶点为M，求四边形的面积。 【答案】（1）3；； （2）9 【分析】本题考查待定系数法求解析式，抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象及性质，三角形的面积，综合运用相关知识是解题的关键. （1）把点C的坐标代入函数解析式，然后求出k的值即可；令，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根据点A在点B的左边，写出坐标即可； （2）把抛物线解析式整理成顶点式，得到点M的坐标，连接，分别求出、、的面积，根据即可求解。 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴，． 故答案为：3；；； （2）解：∵抛物线的解析式， ∴抛物线顶点为， 连接， ∵，，， ∴， ， ， ∴。 22. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于抛物线的对称轴对称， （1）求抛物线的解析式； （2）若点为抛物线对称轴上一点，连接，以为边作平行四边形，是否存在这样的点，使得是矩形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）点在轴右侧抛物线上运动，当的面积与的面积相等时，请直接写出点的坐标. 【答案】（1）； （2）存在，或； （3）点坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）存在，设点，由余角性质得到，利用列方程即可求解； （）分点在轴上方和轴下方两种情况，分别求解即可。 【详解】（1）解：把点坐标、点的坐标为代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在。 ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴对称为直线， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称，点的坐标为， ∴点的坐标为， 设点， 设抛物线对称轴交轴于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得或； ∴点的坐标为或， ∴或，或， ∴或； （3）解：当点在轴上方时， 设点坐标为， ∵点关于直线对称，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴所在的直线方程为：， 如图所示，连接，过点作轴的垂线交轴于点， 当的面积与的面积相等时， 即， ∵， ， ， ， ∴， 整理得，， 解得（不合，舍去）或， ∴点坐标为； 当在轴下方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离相等，即，如图 设直线的函数解析式为， 把点的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∴的表达式为， 联立函数式得，， 解得或， ∴故点坐标为， 综上，点坐标为或。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数强化训练1 一、选择题 1. 下列函数中，二次函数是（    ）。 A． B． C． D． 2. 如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（     ）。 x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 …… y …… 0.24 0.89 1.56 …… A． B．2.2 C． D． 3. 下列对抛物线的描述不正确的是（      ）。 A．开口向下 B．y有最大值 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 4. 如图，已知抛物线的对称轴为，点、均在抛物线上，且与轴平行，其中点的坐标为，则点的坐标为（ ）。 A． B． C． D． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　）。 A． B． C． D． 6. 已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（     ）。 A． B． C． D． 7. 如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（    ）。 A． B．1 C． D． 8. 抛物线与x轴交于点，对称轴为． 下列结论：①②③，其中正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．0 9. 已知点均在二次函数图象上，若，则（　　）。 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10. 如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）。 A． B． C． D． 二、填空题 11. 已知函数的图象是抛物线，则______。 12. 若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是_______。 13. 二次函数的最大值为______。 14. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围 ___________。（两相邻整数之间） … … … … 15. 对于二次函数，下列是关于其性质的一些描述：①对称轴为；②顶点纵坐标为7；③该二次函数图象与轴有两个交点；④抛物线开口向上．其中说法错误的为_________。 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）。若四边形的周长为a，则的周长为___________（用含a的代数式表示）。 17. 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是______。 三、解答题 18. 已知二次函数（，b是实数），过，，这三个点， （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的顶点坐标和对称轴。 19．已知抛物线，求： （1）这条抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当x取什么值时，？ （3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 20. 一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高，跨度， （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出该抛物线表达式； （2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间隔离带宽度不计），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为多少米？ 21. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点， （1） 请求出k的值，点A、点B的坐标； （2） 设抛物线的顶点为M，求四边形的面积。 22. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于抛物线的对称轴对称， （1）求抛物线的解析式； （2）若点为抛物线对称轴上一点，连接，以为边作平行四边形，是否存在这样的点，使得是矩形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）点在轴右侧抛物线上运动，当的面积与的面积相等时，请直接写出点的坐标. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $