精品解析：2026年山西长治市平顺县部分学校中考考前模拟数学试题

数学 注意事项： 1．本试卷共满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中比大3的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，计算结果后匹配选项即可． 【详解】解：根据题意，要求比大的数，可列式计算得到 ∴所求的数是． 2. 中国56个民族各自拥有独特且富有深意的图腾或文化象征，这些图腾深深植根于各民族的历史、信仰、生产生活方式和神话传说中，是民族文化的重要标识．下列四个民族的图腾中，文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意． 3. 为了解某校学生每天体育活动的情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A. 随机抽取某一个班的全体同学 B. 每个年级随机抽取15名女生 C. 课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学 D. 将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性．应用抽样调查的可靠性进行判定即可出答案． 【详解】解：A、随机抽取某一个班的全体学生，没有涉及其他班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； B、每个年级随机抽取15名女生，没有抽取男生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； C、课外活动时间，在操场上随机抽取20名学生，没有抽取到其他场所的学生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； D、将全校学生姓名输入程序，由电脑随机抽取150名学生，能很好地反映总体的情况，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，以及完全平方公式逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则和完全平方公式是解答本题的关键． 5. 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架 连接靠背 ，若靠背 垂直于地面，小桌板 平行于地面， ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算 ，根据平行线的性质得 ，解答即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 7. 如图，在中，，，以为直径的交于点E，与相切于点D，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，根据切线的性质，圆周角定理，求解即可； 【详解】解：，， ， ， ， 以为直径的交于点E，与相切于点D， ， ， ； 8. 某博物馆计划举办一场关于唐代石刻艺术的特别展览，策展人决定采用随机抽选的方式，从“昭陵六骏”这六件石刻中随机抽取两件作为本次展览的核心展品，则恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用画树状图法求解即可； 【详解】解：根据题意，记白蹄乌为A，特勤骠为B，什伐赤为C，拳毛騧为D，青骓为E，飒露紫为F，画树状图如下： 共有30种等可能的结果，恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的可能性有2种， 故恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的概率是． 9. 根据国际农业研究机构（）及中国农业科学院作物科学研究所的实测数据，在恒温（）、适宜光照和水肥条件下，水稻幼苗在播种后的第4天至第10天的株高增长速率恒定，株高y（）与生长时间x（天）满足一次函数关系，实验小组记录某水稻品种的生长数据如表： 生长时间x（天） 4 5 6 7 8 9 株高y（） 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 则株高y与生长时间x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目已知y与x满足一次函数关系，先设出一次函数的一般形式，再代入表格中的两组数据求解系数，验证后即可得到函数关系式． 【详解】解：设函数关系式为 （），从表格中选取两组点 和 代入解析式，得：， 解得， ∴函数关系式为，验证表格中其余点，均满足该关系式． 10. 如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果等于___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先运用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为 ：2． 12. 如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明即可求解． 【详解】解：由题意得，， 过点作轴于点，则， 由题意得，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 13. 山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【解析】 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 【详解】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 14. 如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【详解】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； 15. 如图，在中，，于点D，E是线段上一点，连接并延长交于点F．若 ， ，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，交的延长线于点M，证明，，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（边长不能为负，负的舍去） ， ， ， ， 过点A作，交的延长线于点M， ∴， ∴， ∴， 解得，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）根据解不等式的基本步骤求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 17. 如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． （1）尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． （2）请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）如图，为所作的图形． （2）与相切．理由如下： 如图，过点D作于点G． ∵ 是等边三角形， 是 边的中线， ∴平分． ∵与相切于点E， ∴于点E． 又∵于点G， ∴． ∴点G在上， ∴与相切于点G 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，以点D为圆心，以为半径作圆即可． （2）过点D作于点G．证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 小欣的妈妈从家到单位上班有两种交通方式可供选择：方式一私家车自驾前往，方式二搭乘公共交通工具（先乘坐地铁再骑共享单车）前往．为了解上班路上所用时间，小欣妈妈记录了一个月内20个工作日中上班路上所用时长，其中10个工作日自驾前往，另外10个工作日搭乘公共交通工具前往． 【数据整理】 小欣将两种出行方式收集的信息分别整理成如下的条形统计图和折线统计图． 【数据分析】小欣对这两组10个工作日的数据进行了如下的分析： 平均数 中位数 众数 方差 方式一 a 18 18 2.4 方式二 15.6 b c 18.04 请认真分析上述信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）小欣认为，由于方式一的方差小于方式二，因此建议妈妈选择私家车自驾上班．你认同小欣的观点吗？请结合上表中的信息，利用至少2个统计量说明理由． 【答案】（1）18；15；11 （2）我不认同小欣的观点．理由如下：从平均上班时间的角度看，方式二的平均时长小于方式一，从众数的角度看，方式二的时长小于方式一，都能说明方式二的出行方式用时更少，因此建议搭乘公共交通工具上班． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）可以从平均数和众数的角度分析即可． 【小问1详解】 解：． 将搭乘公共交通工具的时间按从小到大的顺序排列，依次是11，11，11，12，14，16，17，21，21，22， 那么中位数是第5和第6个数据的平均数，故， 数据11出现的次数最多，因此众数． 【小问2详解】 略 19. 项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： （1）求高椅的实际高度（结果保留整数）； （2）若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【答案】（1）高椅的实际高度为7米 （2）此时线段的长约为9米 【解析】 【分析】（1）先解，，求出和，即可求解高椅的实际高度； （2）在图1中，（米），解中，求出，解在，得到，由，求解即可． 【小问1详解】 解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）． ∵在中，米， ， ∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． 【小问2详解】 解：在图1中，（米） 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， 由， 解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． 20. 如图，某社区设立了一台便民自助打印机，已知每张纸的打印售价为0.5元，为吸引顾客，该社区打印店推出两种优惠方案： 方案一：顾客需先支付15元的办卡费，打印的纸按原价的4折收费． 方案二：顾客不需要支付办卡费，打印的纸数量在20张以内（包含20张）时按原价收费，超过20张后，超过部分按原价的5折收费． 设某顾客打印纸的数量为x张，按方案一所需总费用为元，按方案二所需总费用为元． （1）当打印纸的数量超过20张时，分别求出和关于x的函数表达式． （2）当打印多少张纸时，两种方案的总费用相同？ （3）直接写出当x在什么范围内时，选择方案一比选择方案二更合算． 【答案】（1）； （2）当打印200张纸时，两种方案的总费用相同 （3）当时，选择方案一比选择方案二更合算 【解析】 【分析】（1）根据方案一和方案二，当时，用含x的式子表示出，； （2）根据题意，令，根据x的范围，分两种情况讨论，分别列出方程，求解即可； （3）根据题意，令，根据x的范围，分两种情况讨论，分别列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，符合题意； 当时，，， ，解得（不符合题意，舍去）， 综上所述：当打印200张纸时，两种方案的总费用相同． 【小问3详解】 解：当时，选择方案一比选择方案二更合算． 当时，由题意，得，即， 解得，无解； 当时，由题意，得，即， 解得， 综上所述：当时，选择方案一比选择方案二更合算． 21. 阅读与思考 请阅读小明的数学日记，并完成相应的任务． 日期：3月16日星期一天气：晴 心情：愉悦 猜想、证明与拓广 今天的数学课热闹非凡，李老师提出了一个探究问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积均是已知正方形周长和面积的2倍？大家都觉得可以，李老师让同学们对猜想的结果进行证明，结果发现不存在这样的正方形． 此时李老师又提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积均是已知矩形周长和面积的2倍？经过一阵激烈地讨论，最后大家决定先从特殊的矩形开始探究：已知矩形的宽和长分别为1和2，那么是否存在满足条件的矩形？ 根据前面的经验，同学们都想到了先设大矩形的宽和长，并思考存在的数量关系： 假设存在这样的矩形，令倍增后矩形的宽和长分别为x和y． 根据题意可得二元二次方程组： 思路①：从“数”的角度，可将该方程消元转化成一元方程，再求解．若方程组有解，说明存在满足条件的矩形，若方程组无解，说明不存在满足条件的矩形． 思路②：从“形”的角度，可将该方程组变形为通过函数图象进行判断，若两个函数图象有交点，说明存在满足条件的矩形，若两个函数图象没有交点，说明不存在满足条件的矩形． 课后同学们积极讨论，是否所有的矩形都满足存在周长和面积倍增的矩形． 任务： （1）请按照思路①写出完整的证明过程，若存在，计算出满足条件的矩形宽和长；若不存在，请通过计算说明理由． （2）请按照思路②在下面的平面直角坐标系中画出满足条件的函数图象，给出相应的结论，并说明理由． 【答案】（1）解：化简得 由②得，，③ 将③代入①，，即， 去分母，得， 解得，． 将代入③，得．此时，不符合题意． 将代入③，得，符合题意． 答：存在满足条件的矩形，该矩形的宽为，长为． （2）描点、连线： 结论：存在满足条件矩形． 理由：由图可知，函数与的图象有交点，则存在满足条件的矩形 【解析】 【分析】（1）代入消元，转化为解一元二次方程即可； （2）描点、连线即可作出函数图象，再根据两函数图象得到有交点，即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 （1）根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 （2）若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． （3）若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】（1） 一次， （2） 日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 （3） 45 【解析】 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． 【小问3详解】 解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 23. 综合与探究 【问题情境】 综合实践小组以特殊的四边形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图，已知菱形 的边长为2，，P是射线上的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段（E，F分别是A，D的对应点）． 【特例分析】： （1）如图（1），当点P与点C重合时，连接 ，则线段与 的数量关系是________；与 位置关系是________． 【深入探究】：沿着上述思路继续探究，改变点P的位置，请你解决如下问题： （2）如图（2），当点P运动到线段上时，连接 ，猜想线段与 的数量关系和位置关系，并证明你的结论． （3）如图（3），在点P沿射线运动的过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2），， 证明：如图2，连接， ∵四边形 是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质以及已知可证明是等边三角形，则，再由旋转的性质可得，，则，再由平行线的判定证明即可； （2）连接，证明，再证明四边形是平行四边形即可； （3）先证明是等边三角形， ，，连接，然后分点在线段上和线段延长线上两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵菱形 的边长为2， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段 ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在满足的时刻，线段的长为或， 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵菱形 的边长为2，， ∴是等边三角形， ∴，， ①如图，当点 在线段上时，连接， ∵，， ∴， ∴； 如图3，当点在线段延长线上时，连接， ∵， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∵为等边三角形， ∴点为的中点， ∴ ∴， 综上：存在满足的时刻，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷共满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中比大3的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 中国56个民族各自拥有独特且富有深意的图腾或文化象征，这些图腾深深植根于各民族的历史、信仰、生产生活方式和神话传说中，是民族文化的重要标识．下列四个民族的图腾中，文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校学生每天体育活动的情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A. 随机抽取某一个班的全体同学 B. 每个年级随机抽取15名女生 C. 课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学 D. 将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架 连接靠背 ，若靠背 垂直于地面，小桌板 平行于地面， ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，以为直径的交于点E，与相切于点D，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某博物馆计划举办一场关于唐代石刻艺术的特别展览，策展人决定采用随机抽选的方式，从“昭陵六骏”这六件石刻中随机抽取两件作为本次展览的核心展品，则恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 根据国际农业研究机构（）及中国农业科学院作物科学研究所的实测数据，在恒温（）、适宜光照和水肥条件下，水稻幼苗在播种后的第4天至第10天的株高增长速率恒定，株高y（）与生长时间x（天）满足一次函数关系，实验小组记录某水稻品种的生长数据如表： 生长时间x（天） 4 5 6 7 8 9 株高y（） 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 则株高y与生长时间x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果等于___________． 12. 如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 13. 山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 14. 如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 15. 如图，在中，，于点D，E是线段上一点，连接并延长交于点F．若 ， ，，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解不等式： （1）； （2）． 17. 如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． （1）尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． （2）请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 18. 小欣的妈妈从家到单位上班有两种交通方式可供选择：方式一私家车自驾前往，方式二搭乘公共交通工具（先乘坐地铁再骑共享单车）前往．为了解上班路上所用时间，小欣妈妈记录了一个月内20个工作日中上班路上所用时长，其中10个工作日自驾前往，另外10个工作日搭乘公共交通工具前往． 【数据整理】 小欣将两种出行方式收集的信息分别整理成如下的条形统计图和折线统计图． 【数据分析】小欣对这两组10个工作日的数据进行了如下的分析： 平均数 中位数 众数 方差 方式一 a 18 18 2.4 方式二 15.6 b c 18.04 请认真分析上述信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）小欣认为，由于方式一的方差小于方式二，因此建议妈妈选择私家车自驾上班．你认同小欣的观点吗？请结合上表中的信息，利用至少2个统计量说明理由． 19. 项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： （1）求高椅的实际高度（结果保留整数）； （2）若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 20. 如图，某社区设立了一台便民自助打印机，已知每张纸的打印售价为0.5元，为吸引顾客，该社区打印店推出两种优惠方案： 方案一：顾客需先支付15元的办卡费，打印的纸按原价的4折收费． 方案二：顾客不需要支付办卡费，打印的纸数量在20张以内（包含20张）时按原价收费，超过20张后，超过部分按原价的5折收费． 设某顾客打印纸的数量为x张，按方案一所需总费用为元，按方案二所需总费用为元． （1）当打印纸的数量超过20张时，分别求出和关于x的函数表达式． （2）当打印多少张纸时，两种方案的总费用相同？ （3）直接写出当x在什么范围内时，选择方案一比选择方案二更合算． 21. 阅读与思考 请阅读小明的数学日记，并完成相应的任务． 日期：3月16日星期一天气：晴 心情：愉悦 猜想、证明与拓广 今天的数学课热闹非凡，李老师提出了一个探究问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积均是已知正方形周长和面积的2倍？大家都觉得可以，李老师让同学们对猜想的结果进行证明，结果发现不存在这样的正方形． 此时李老师又提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积均是已知矩形周长和面积的2倍？经过一阵激烈地讨论，最后大家决定先从特殊的矩形开始探究：已知矩形的宽和长分别为1和2，那么是否存在满足条件的矩形？ 根据前面的经验，同学们都想到了先设大矩形的宽和长，并思考存在的数量关系： 假设存在这样的矩形，令倍增后矩形的宽和长分别为x和y． 根据题意可得二元二次方程组： 思路①：从“数”的角度，可将该方程消元转化成一元方程，再求解．若方程组有解，说明存在满足条件的矩形，若方程组无解，说明不存在满足条件的矩形． 思路②：从“形”的角度，可将该方程组变形为通过函数图象进行判断，若两个函数图象有交点，说明存在满足条件的矩形，若两个函数图象没有交点，说明不存在满足条件的矩形． 课后同学们积极讨论，是否所有的矩形都满足存在周长和面积倍增的矩形． 任务： （1）请按照思路①写出完整的证明过程，若存在，计算出满足条件的矩形宽和长；若不存在，请通过计算说明理由． （2）请按照思路②在下面的平面直角坐标系中画出满足条件的函数图象，给出相应的结论，并说明理由． 22. 【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 （1）根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 （2）若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． （3）若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 23. 综合与探究 【问题情境】 综合实践小组以特殊的四边形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图，已知菱形 的边长为2，，P是射线上的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段（E，F分别是A，D的对应点）． 【特例分析】： （1）如图（1），当点P与点C重合时，连接 ，则线段与 的数量关系是________；与 位置关系是________． 【深入探究】：沿着上述思路继续探究，改变点P的位置，请你解决如下问题： （2）如图（2），当点P运动到线段上时，连接 ，猜想线段与 的数量关系和位置关系，并证明你的结论． （3）如图（3），在点P沿射线运动的过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出线段的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $