精品解析：山西省长治市平顺县部分学校2025年中考第三次模拟数学试卷

2025年初中学业水平考试考前预测模拟卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的关键信息填写在本试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若盈利元记作元，则亏损元应记作( ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：若盈利元记作元，则亏损元应记作元， 故选：D． 2. 下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的减法，分式的除法，求算术平方根，积的乘方计算即可. 【详解】A. ，错误； B. ，错误； C. ，正确； D. ，错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了分式的减法，分式的除法，求算术平方根，积的乘方，熟练掌握各知识点是解题的关键. 4. 动物的听觉范围通常与人的不同．一些动物对高频声波反应灵敏．一般情况下，猫能听到的频率范围是．数据65000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据65000用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 6. 如图，四边形是的内接四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，， ∴为直径，且， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 一个长方体模具去掉一角后的图形如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题关键是理解三视图的概念． 根据俯视图的概念求解． 【详解】解：俯视图是从上面看到的图形，从上面看到的图形如图所示： ， 故选：B． 8. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图1是某品牌共享单车，图2是其示意图．经测量，平分，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 先由平行线的性质得，，从而求得，再由角平分线的定义求得，然后由平行线的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 9. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质.根据反比例函数解析式为，，即可得到反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，由此即可判断． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴图象与轴无交点，故B选项不符合题意； ∴反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，故A选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意； ∴如果点和点均在该函数的图象上，那么， 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，，，，分别是，的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边大小关系，三角形的中位线定理，解题的关键是构造三角形的中位线． 取的中点，连接、，由三角形中位线定理得到，然后分类讨论，利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵分别为中点， ∴是的中位线，是的中位线， ， 当时，， 当、不平行时， ， 综上所述：， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个次数为3次的单项式：__________． 【答案】4x 【解析】 【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和;所以4x,xy,3y等都是三次单项式答案不唯 【详解】所写三次单项式只要单项式中含一个字母时,次数是3,或者含几个字母时,字母的指数和为3即可．如: 4x 【点睛】此题考查单项式，难度不大 12. 在“书香校园”活动中，王朋调查了他所在班级里包括自己在内的46名学生一周课外阅读的时间，并将结果制成如下统计表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数是______． 时间/小时 5 6 7 8 人数 6 8 9 10 13 【答案】 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 本题考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数． 【详解】解：由统计表可知：总人数为：， 统计表中是按从小到大的顺序排列的， 最中间两名学生一周课外阅读时间分别是6，7， 故中位数是， 故答案为． 13. 勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，《几何原本》第47个命题为：在直角三角形中，以直角所对的边为边的正方形的面积等于以在直角的两边为边的正方形的面积和，从而证明出了勾股定理．小明同学深受启发，作了如下探究：如图，过的顶点作的垂线与相交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，先证明，即可得到，，然后根据勾股定理计算比值解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由题可得，，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，正方形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，分别交于两点，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形面积求法，勾股定理，解直角三角形以及正方形的性质等知识．连接，根据题意可得，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，再求出，根据阴影部分的面积为即可解答． 【详解】解：连接， ∵正方形中，，点为的中点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，分别交于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∴阴影部分的面积为， ． 故答案为：． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，点在边上从点往点运动（点不与点，重合），将沿所在直线翻折到的位置，交或于点．当为等腰三角形时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，折叠问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键，根据题意分两种情况讨论，当在上和上时，分别画出图形，根据折叠的性质得出或两种情况，分别求解即可． 【详解】解：如图，当时，连接，过点作于点，过点作于点， ∵等腰直角三角形中，，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ 设，则 ∴， ∴ 解得： ∴ 当在上时，，如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点， ∵是的边上的中线， ∴平分 ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： ． （2）化简： ． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的混合运算，灵活运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可． （2）原式先将括号内的通分，再把除法转换为乘法，约分后即可得答案． 【详解】解：（1） ； ； （2） ． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，若，射线将的周长分为两部分，求的长． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，根据题意可得，据此代值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线将的周长分为两部分， ∴， ∴， ∴． 18. 消防安全对于保护人民生命财产安全、维护社会稳定、促进经济发展以及遵守法律法规等方面都具有重要意义．某校为了提升学生对消防安全的认识，随机从八、九年级各抽取了40名学生参加“消防安全”知识竞赛，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．（，，，，） b．八年级学生成绩在这一组的数据如下： 75，78，76，70，75，75，71，77，72． c．九年级抽取的40名学生成绩扇形统计图如下（，，，，） 根据信息，回答下列问题： （1）补全八年级学生成绩频数分布直方图． （2）求出八年级学生成绩的中位数． （3）已知在扇形统计图中，D组对应的圆心角度数为，求出九年级学生成绩在这一组的人数． （4）若竞赛成绩在80分及以上记为优秀，九年级抽取的学生中成绩优秀的人数为18，若该校八、九年级各有1200名学生参加竞赛，请估计八、九年级成绩优秀的学生总人数． 【答案】（1）八年级学生成绩频数分布直方图如下： ； （2）75.5 （3）14人 （4）1050人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图相关知识，解题的关键是理解统计图中数据的含义并运用相应公式计算． （1）先确定这一组频数，再补图． （2）求八年级中位数，要根据数据个数确定中位数位置，再结合频数分布找对应数值． （3）求九年级人数，利用圆心角度数与的比例关系和总人数计算． （4）估计八、九年级优秀学生总数，先分别算出八年级和九年级优秀率，再根据总人数计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 八年级共抽取40名学生，，中位数是第、个数据的平均数， 频数为频数为8，前两组共有个数据；频数为9，前个数据，所以第20，21个数据都在这一组， 将这组数据排序后， 第20、21个数据的平均数为， 即八年级学生成绩的中位数是75.5； 【小问3详解】 九年级学生成绩在这一组的人数为人； 【小问4详解】 八年级抽取40人，频数为频数为10， 则八年级优秀人数为人，八年级优秀率为， 九年级抽取40人，优秀人数为18人，九年级优秀率为， 该校八、九年级各有1200名学生参加竞赛， 则八、九年级成绩优秀的学生总人数约为： （人）． 19. 人工智能的发展改变了人们的工作与生活，某市农业局准备购买甲、乙两种型号的无人机在农田上空精准喷洒农药和肥料．已知购买1台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万元． （1）求甲、乙两种型号无人机的单价． （2）若计划购买甲、乙两种型号的无人机共12台，总费用不超过100万元，则最多能购买甲型无人机多少台？ 【答案】（1）甲、乙两种型号的无人机每台价格分别是10万元、5万元． （2）最多能购买甲型无人机8台． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用等知识点，分析题意、找到关键描述语、找到合适的关系列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据“购买1台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万”，列出方程组求解即可； （2）设购买甲型无人机a台，乙型无人机台，根据购买总费用不超过100万元列出不等式求出a的最大整数值即可． 【小问1详解】 解：甲、乙两种型号无人机的单价分别为x万元、y万元， 根据题意得： ，解得， 答：甲、乙两种型号的无人机每台价格分别是10万元、5万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型无人机a台，乙型无人机台， 根据题意得：，解得：， 所以a的最大值为5，即最多能购买甲型无人机8台． 答：最多能购买甲型无人机8台． 20. 图1是小明家安装在室外的可收缩式的遮阳棚，图2是它的侧面示意图，其中为可以伸缩的棚布，其最大长度为5m，是可以绕点C旋转的支撑杆，已知，，墙垂直于地面．若太阳光线与水平地面的夹角成照射到E处时，旋转，使得． （1）求此时伸缩棚布的长度； （2）求此时E到墙的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】（1） （2）E到墙的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，等边三角形的判定与性质，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）证明出为等边三角形，即可求解； （2）过点作于点，于点，可得四边形为矩形，则，解，求出，，则，解求得，再由即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，于点， 由题意得， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， 答：E到墙的距离约为． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应任务． “阶梯点”的研究总结 【一般概念】 若抛物线上存在一点，的横、纵坐标之和为，则称点为抛物线上的“阶梯点”． 例如：点就叫做抛物线的“阶梯1点”． 【求抛物线上的“阶梯点”的方法】 例如：求抛物线上的“阶梯9点”的点．设点的坐标为． ，，整理，得，解得， 点的坐标为▲____________或． 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________； （2）按照材料中的方法，求抛物线上的“阶梯1点”； （3）若抛物线上存在“阶梯2点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）将代入，求得值，即可求解； （2）设点的坐标为，根据题意建立方程求解即可； （3）设点的坐标为，根据题意建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， ， “▲”处空缺的内容为； 【小问2详解】 ， 设点的坐标为， ， ， ， 解得：或， 则或， 即或 【小问3详解】 抛物线上存在“阶梯2点”， 设点的坐标为， ， ， ， 即 ， 解得： 22. 抛物线与轴有两个交点，数学兴趣小组探究分别过这两个交点且互相垂直的两条直线的有关性质． 已知：在平面直角坐标系中，若直线和直线互相垂直，则． 特例感知 （1）抛物线交轴于点，，点在点左侧，过点，分别作直线和直线，且，直线与直线的交点在轴上方，点为轴上一动点，过点作轴的垂线分别交直线、直线和抛物线于点，，． ①如图1，若直线、直线的交点在轴上，则直线的解析式为______；在点的移动过程中，该数学兴趣小组对，和的长度进行多次测量，测得部分数据如下表所示： … 0 1 2 … PA … 1 0 1 2 3 … PB … 3 2 1 0 1 … PC … 3 0 1 0 3 … 试猜想，和之间的数量关系为______．（填选项） A． B． C． ②如图2，若直线的解析式为，猜想，和之间的数量关系是______． 类比发现 （2）当抛物线为时，其他条件同（1），如图3，若直线、直线的交点在轴上，猜想，和之间的数量关系并证明． 拓展探究 （3）抛物线交轴于点，，其他条件同（1），如图4．若，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②B；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①令，则，解得：，求出，设直线与直线的交点为，设直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，根据，得出，即，求出，则，即可得直线的解析式为．根据表格可得． ②根据①可得，代入求出直线的解析式为，根据，，得出，直线的解析式为，代入得出，即可得直线的解析式为，设，则，则，即可得； （2）令，则，得出，设直线与直线的交点为，设直线的解析式为，直线的解析式为，则，，根据，得出，则，，则直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，即可证出； （3）根据题意设直线和直线，则．令，则，，即，，根据抛物线交轴于点，，得出，，设，则，根据，得出，化简整理可得：，即可求出． 【详解】解：（1）①令，则，解得：， ∴， 设直线与直线的交点为， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， ∵， 则，即， 解得：或（舍去）， 则， 则直线的解析式为． 故答案为：． 根据表格可得， 故， 故选：B． ②根据①可得， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵，， 则，即， ∴直线的解析式为， 代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则， 则， ∵， ∴； （2）， 理由如下：令，则，解得：或， ∴， 设直线与直线的交点为， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， ∵， 则，即， 解得：或（舍去）， 则，， 则直线的解析式为， 直线的解析式为， 设， 则， 则， ∵， ， ∴； （3）根据题意设直线和直线，则． 令，则，， 即，， ∵抛物线交轴于点，， 则， ， 设， 则， 则， ∵， ∴， 化简整理可得：， 解得：． 【点睛】该题考查了二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，二次函数与一元二次方程的交点问题，一次函数与坐标轴交点等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 问题背景 如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 问题探究 （1）如图2，在正方形中，若，试证明． 知识迁移 （2）如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 知识运用 （3）如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：设与交于点，如图： 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证出，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）作于点，作于点，设与交于点，利用矩形的性质得到，再由和得到，推出四边形、都是矩形，则有，，再通过证明得到，代入数据即可求解； （3）在中利用正切的定义得到，设，通过证明得到，进而求出，再由得到，在中利用正切的定义求出，再利用平行线的性质即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，作于点，设与交于点，如图： 矩形， ， ，， ， 四边形、都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值为． 【小问3详解】 解：在中，， ， 设，则， 点是的中点， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试考前预测模拟卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的关键信息填写在本试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若盈利元记作元，则亏损元应记作( ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 动物的听觉范围通常与人的不同．一些动物对高频声波反应灵敏．一般情况下，猫能听到的频率范围是．数据65000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个长方体模具去掉一角后的图形如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 8. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图1是某品牌共享单车，图2是其示意图．经测量，平分，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 10. 如图，在四边形中，，，，，分别是，的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个次数为3次的单项式：__________． 12. 在“书香校园”活动中，王朋调查了他所在班级里包括自己在内的46名学生一周课外阅读的时间，并将结果制成如下统计表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数是______． 时间/小时 5 6 7 8 人数 6 8 9 10 13 13. 勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，《几何原本》第47个命题为：在直角三角形中，以直角所对的边为边的正方形的面积等于以在直角的两边为边的正方形的面积和，从而证明出了勾股定理．小明同学深受启发，作了如下探究：如图，过的顶点作的垂线与相交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若，则______． 14. 如图，正方形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，分别交于两点，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，点在边上从点往点运动（点不与点，重合），将沿所在直线翻折到的位置，交或于点．当为等腰三角形时，______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： ． （2）化简： ． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，若，射线将的周长分为两部分，求的长． 18. 消防安全对于保护人民生命财产安全、维护社会稳定、促进经济发展以及遵守法律法规等方面都具有重要意义．某校为了提升学生对消防安全的认识，随机从八、九年级各抽取了40名学生参加“消防安全”知识竞赛，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．（，，，，） b．八年级学生成绩在这一组的数据如下： 75，78，76，70，75，75，71，77，72． c．九年级抽取的40名学生成绩扇形统计图如下（，，，，） 根据信息，回答下列问题： （1）补全八年级学生成绩频数分布直方图． （2）求出八年级学生成绩的中位数． （3）已知在扇形统计图中，D组对应的圆心角度数为，求出九年级学生成绩在这一组的人数． （4）若竞赛成绩在80分及以上记为优秀，九年级抽取的学生中成绩优秀的人数为18，若该校八、九年级各有1200名学生参加竞赛，请估计八、九年级成绩优秀的学生总人数． 19. 人工智能的发展改变了人们的工作与生活，某市农业局准备购买甲、乙两种型号的无人机在农田上空精准喷洒农药和肥料．已知购买1台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万元． （1）求甲、乙两种型号无人机的单价． （2）若计划购买甲、乙两种型号的无人机共12台，总费用不超过100万元，则最多能购买甲型无人机多少台？ 20. 图1是小明家安装在室外的可收缩式的遮阳棚，图2是它的侧面示意图，其中为可以伸缩的棚布，其最大长度为5m，是可以绕点C旋转的支撑杆，已知，，墙垂直于地面．若太阳光线与水平地面的夹角成照射到E处时，旋转，使得． （1）求此时伸缩棚布的长度； （2）求此时E到墙的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：） 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应任务． “阶梯点”的研究总结 【一般概念】 若抛物线上存在一点，的横、纵坐标之和为，则称点为抛物线上的“阶梯点”． 例如：点就叫做抛物线的“阶梯1点”． 【求抛物线上的“阶梯点”的方法】 例如：求抛物线上的“阶梯9点”的点．设点的坐标为． ，，整理，得，解得， 点的坐标为▲____________或． 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________； （2）按照材料中的方法，求抛物线上的“阶梯1点”； （3）若抛物线上存在“阶梯2点”，直接写出的取值范围． 22. 抛物线与轴有两个交点，数学兴趣小组探究分别过这两个交点且互相垂直的两条直线的有关性质． 已知：在平面直角坐标系中，若直线和直线互相垂直，则． 特例感知 （1）抛物线交轴于点，，点在点左侧，过点，分别作直线和直线，且，直线与直线的交点在轴上方，点为轴上一动点，过点作轴的垂线分别交直线、直线和抛物线于点，，． ①如图1，若直线、直线的交点在轴上，则直线的解析式为______；在点的移动过程中，该数学兴趣小组对，和的长度进行多次测量，测得部分数据如下表所示： … 0 1 2 … PA … 1 0 1 2 3 … PB … 3 2 1 0 1 … PC … 3 0 1 0 3 … 试猜想，和之间的数量关系为______．（填选项） A． B． C． ②如图2，若直线的解析式为，猜想，和之间的数量关系是______． 类比发现 （2）当抛物线为时，其他条件同（1），如图3，若直线、直线的交点在轴上，猜想，和之间的数量关系并证明． 拓展探究 （3）抛物线交轴于点，，其他条件同（1），如图4．若，请直接写出的值． 23. 问题背景 如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 问题探究 （1）如图2，在正方形中，若，试证明． 知识迁移 （2）如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 知识运用 （3）如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $