23.1 一次函数的概念 教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

23.1　一次函数的概念 教学目标 1．经历“将现实问题中的数量关系抽象为数学解析式，再归纳共同特征，得到一般形式”的一次函数概念形成过程，体会初中阶段定义函数的一般方法，提升抽象能力． 2．了解一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式，求出相应的函数值． 3．理解正比例函数是一次函数的特例，认识两者之间特殊与一般的关系． 教学重点 　　一次函数的概念；列一次函数解析式． 教学难点 列一次函数解析式． 教学过程 新课导入 【引导语】同学们，在上一章中，我们了解到为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念，通过研究函数及其性质，可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律．现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．其中，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在，你们能试着举几个这样的例子吗？ 【师生活动】学生结合自己的生活经验，尝试进行举例．如： （1）高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路程s随时间t的变化； （2）文具单价固定，购买总费用y随购买数量x的变化； （3）水龙头匀速流水，总出水量y随时间t的变化． 【引导语】这一章，我们将学习像这样，刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函数，通过具体问题体会它的意义，结合图象讨论它的性质，感受它在解决运动变化问题中的作用． 【设计意图】立足已有函数知识基础，衔接生活实际情境，引出本章学习内容，明确学习任务与研究方向，为新知探究作好铺垫． 新知探究 【问题1】某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃．登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃．用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2 km时，他们所在位置的气温． 【师生活动】教师组织学生分组讨论，探索y随x变化的规律．学生通过合作学习发现当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x ℃，得出y关于x的函数解析式为y＝5－6x．教师板书并说明这个函数也可以写为y＝－6x＋5．在此基础上，将x＝2代入函数解析式，得到y＝－6x＋5＝－6×2＋5＝－7（℃）． 【答案】y＝－6x＋5，当x＝2时，函数y＝－6×2＋5＝－7（℃）． 【过渡语】像y＝－6x＋5这样的函数，就是本章将要研究的主要内容．在实际问题中，我们经常会遇到这样的函数，请看以下问题． 【问题2】在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式． （1）铁的密度约为7.9 g/cm³，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm³）的变化而变化． （2）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化． （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化． （4）把一个长10 cm、宽5 cm的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm²）随x的变化而变化． 【师生活动】教师请学生回顾函数的定义，明确要判断两个变量之间的对应关系是不是函数关系，主要看对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应．第（1）题，师生共同找出常量和变量，并根据质量＝密度×体积写出解析式．学生在学习任务单上独立完成第（2）（3）（4）题，学生代表分享答案，教师点评． 【答案】解：在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别如下． （1）m＝7.9V； 　　 （2）h＝0.5n； （3）m＝h－105； （4）y＝－5x＋50． 【追问1】这些函数解析式有哪些共同特征？ 【师生活动】教师引导学生观察上述函数的解析式，发现：①自变量的次数都是一次，没有出现平方、立方或开方等运算；②等式的右边都可以看作“常数×变量＋常数”的形式．师生先用文字语言归纳出它们在形式上的共同点：这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式，再用数学语言表述为y＝kx＋b，得出一次函数的概念． 【新知】一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量． 【追问2】为什么k不能为0？ 【师生活动】学生明确如果k＝0，函数解析式中不再含有自变量，也就是说无论自变量取什么值，y的值都固定不变，不符合上述函数关系．教师强调一次函数y＝kx＋b对自变量系数的限制条件是k≠0． 【注意】对于一次函数y＝kx＋b，要弄清解析式中各字母的意义，知道哪些是常数，哪些是变量，变量中哪个是自变量，哪个是函数． 【设计意图】让学生从实际问题入手，将现实问题中的数量关系抽象为数学解析式，并通过对多个式子的观察，归纳出共同特征，得到一般形式，从而得出一次函数的概念，提升抽象能力． 【追问3】了解了一次函数的概念后，继续观察上述4个解析式，你能发现什么特点？ 【师生活动】教师请学生独立思考，交流想法．在学生感到困难时，教师可启发学生观察上述四个一次函数解析式中的常数b有什么不同，引导学生发现（1）（2）中的b＝0，而（3）（4）中的b≠0．教师指出b＝0时，函数的解析式为y＝kx，这样的函数叫作正比例函数． 【新知】特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx．形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 【追问4】正比例函数和一次函数之间有什么样的关系？ 【师生活动】教师组织学生讨论，归纳得出正比例函数和一次函数之间的关系． 归纳：正比例函数与一次函数之间是特殊与一般的关系．当一次函数y＝kx＋b中的常数项b＝0 时，就变成了正比例函数y＝kx．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 【设计意图】让学生进一步观察对比一次函数的解析式，发现部分解析式中常数项为0，从而得到正比例函数的概念，感悟正比例函数与一次函数之间特殊与一般的从属关系． 例题精讲 【例】一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2 cm． （1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 【师生活动】教师组织学生分析条件，明确：①弹簧挂x kg物体时，伸长2x cm；②弹簧不挂物体时长12 cm，弹簧的长度＝12＋伸长的长度，进而得出函数解析式y＝2x＋12．而第（2）题，当挂5 kg的物体时，x＝5，代入函数解析式即可得出此时弹簧的长度． 【答案】解：（1）由每挂1 kg的物体，弹簧伸长2 cm可知，挂x kg的物体时，弹簧伸长2x cm．因此，y关于x的函数解析式为y＝2x＋12． （2）把x＝5代入y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22． 因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm． 【设计意图】通过例题讲解，帮助学生加深对一次函数概念的理解，初步感受函数模型的应用价值． 课堂练习 　　1．下列函数中哪些是一次函数？哪些是正比例函数？如果是正比例函数，请指出比例系数． 　　（1）y＝－8x； （2）y＝－； （3）C＝2πr； 　　（4）y＝5x²＋6； （5）y＝2(x－4)． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）（3）（5）是一次函数；（1）（3）是正比例函数，其中，（1）的比例系数是－8，（3）的比例系数是2π． 2．用函数解析式表示下列问题中y与x的关系： （1）某人一年内的月平均收入为x元，他这一年（12个月）的总收入为y元； （2）某水池有水20 m³，现在打开进水管开始进水，进水速度为3 m³/h，则x h后水池有水y m³． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，及时纠正错误，并进行讲评． 【答案】解：（1）y＝12x；（2）y＝3x＋20． 　　【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对一次函数和正比例函数概念的理解，并能根据已知条件正确写出函数的解析式． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．什么是一次函数？什么是正比例函数？ 2．一次函数和正比例函数之间有什么关系？ 【思维导图】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第116页习题23.1第1，2，3，4，5题． 学科网（北京）股份有限公司 $