（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦八年级下册核心考点，通过"考点汇总+分层训练"构建系统性方法体系，强化代数运算、几何推理与统计分析的逻辑链，渗透模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|4题|化简求值步骤/实际应用建模|从概念运算到阅读探究，衔接无理数表示| |勾股定理|4题|斜边中线性质/动态问题转化|基础计算→实际测量→滑动模型→定理推导| |四边形|4题|中位线/矩形判定/新定义应用|性质判定→菱形综合→勾股分割点→变式探究| |函数|4题|正反比例综合/实际问题建模|概念辨析→抽水问题→费用比较→行程图像| |一次函数|4题|解析式求解/不等式解集|待定系数法→方案优化→图像应用→动态平移| |数据的分析|4题|平均数/方差计算/统计决策|图表分析→数据特征→稳定性比较→品质估计|

（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 考点汇总 考点一：二次根式 考点二：勾股定理 考点三：四边形 考点四：函数 考点五：一次函数 考点六：数据的分析 跟踪训练 考点一：二次根式 1．计算： （1） （2） 2．先化简，再求值：其中 3．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 4．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分为_______，小数部分为_______； （2）设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 考点二：勾股定理 5．如图， 在 中， 点D是 外一点， 连接DC， DB， 且CD=4，BD=3. （1）求BC的长； （2）求证： 是直角三角形. 6．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． （1）求风筝的高度． （2）若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 7．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． （1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？ （2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由． 8．【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 考点三：四边形 9．如图，在 中， BD 为边AC的中线，E为BD 上一点，连接AE，CE，F为CE的中点，且DE平分 （1）求证：AE=AD； （2）若DF=2，求BD的长. 10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点 连接OE，交CD于点F. （1）求证：四边形DOCE是矩形； （2）若OE=2，∠ABC=120°，求菱形ABCD的面积. 11．定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． 请解决下列问题： （1）已知点是线段的勾股分割点，且．若，求的长； （2）如图2，若点、、、分别是、、、边上的中点，点是线段的勾股分割点，且，求证：点是线段的勾股分割点． 12．【问题情境】 如图 1，在矩形中，E是边上的一点，过点D作，过点D作，过点A作，且． 【基础探究】（1）如图1，求证：． 【深入探究】（2）如图2，当E在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明． 【拓展迁移】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，当E在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 考点四：函数 13．已知：与成正比例，与成反比例，，当时，，时，，求与的函数解析式． 14．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米． （1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式； （2）6小时后池中还有多少水？ （3）几小时后，池中还有200立方米的水？ 15．为响应教育局组织的三热爱教育活动，某学校要给每位学生印制一份宣传资料，甲印刷厂提出：每份收0.1元印刷费，另收100元制版费；乙印刷厂提出：每份收0.2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式； （2）当印制多少份资料时，两个印刷厂费用一样多？ （3）如果该校有800人，那么应选哪家印刷厂划算？ 16．已知小华同学的家离学校．根据以往经验，小华在平面直角坐标系中绘制了在学校和家之间的路上匀速行走时小华和小华妈妈离学校的距离（单位：）和出发的时间（单位：）的函数图象，分别如图中的线段OA，BC. （1）分别求出小华和小华妈妈步行的速度v1和v2； （2）一天放学后，小华从学校往家的方向行走，小华妈妈也同时从家里出发步行往学校方向走，两人汇合一同去参加一个志愿者活动，求小华和小华妈妈多少能汇合． 考点五：一次函数 17．一次函数的图象过M（3，2)， N（-1，-6)两点. （1）求函数的表达式. （2）试判断点P（2a，4a-4)是否在函数的图象上，并说明理由. 18．某校计划购买甲、乙两种树苗共2000株绿化校园，已知甲种树苗每株2元，乙种树苗每株3元. （1）若购买这批树苗共用了4500元，求甲、乙两种树苗各购买了多少株? （2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批树苗的成活率不低于96%且买树苗的总费用最小，问应选购甲、乙两种树苗各多少株?总费用最小是多少元? 19．如图，在平面直角坐标系中，一直线与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求直线的解析式． （2）直接写出的解集． 20．在平面直角坐标系中存在矩形，点、点，且、满足：（实数． （1）求点坐标； （2）如图1，作的角平分线交轴于，的中点为，作交轴于，求的值（用含式子表示）； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，将矩形向右推倒得到矩形，使与重合，落在轴上，现在将矩形沿射线以1个单位/秒平移，设平移时间为，用表示平移过程中矩形与矩形重合部分的面积． 考点六：数据的分析 21．某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了如下统计图： （1）根据上图提供的数据填空： 　 平均数 中位数 众数 方差 初中部 * 85 70 高中部 85 100 * 的值是 ，的值是 ； （2）结合两队的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩好； （3）根据题（1）中的数据，试通过计算说明，哪个代表队的成绩比较稳定？ 22．受疫情影响，某地无法按原计划正常开学．在延迟开学期间该地区组织了在线教学活动．开学后，某校针对各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙、丙三个班中推荐一个作为在线教学先进班级，右表是这三个班的五项指标的考评得分表（单位：分）根据统计表中的信息解答下列问题： 班级 课程设置 课程质量 在线答疑 作业情况 学生满意度 甲班 乙班 丙班 请确定如下的“五项指标的考评得分分析表”中的的值； 班级 平均分 众数 中位数 甲班 乙班 丙班 若学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五项指标得分按照的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？ 23．我市某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示根据图中数据解决下列问题： （1）根据图示求出表中的a、b、c． 平均数 中位数 众数 九（1）班 a 85 c 九（2）班 85 b 100 ， ， ； （2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：． 请你求出九（1）班复赛成绩的方差． 24．综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：原式 ​​​​​​​ （2）解：原式 ​​​​​​​ 2．【答案】解：原式 当时，原式 3．【答案】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）解：铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 4．【答案】（1）3； （2）解：， ，即， 的整数部分， 小数部分是． ， ， ， ． 5．【答案】（1）解：因为Rt△ABC中， ∠BCA=90°， AC=12， AB=13，所以 所以BC=5. （2）证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 6．【答案】（1）解：在中， 由勾股定理得， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米 （2）如图：由题意得，米，∴米， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米 7．【答案】解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，则AO=m， ∵AO=AC+OC， ∴OC=2m， ∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边， ∴OD==1.5m， ∴BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m； （2）不变． 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变． ． 8．【答案】（1）； 解：（2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为： 9．【答案】（1）证明：∵BD为边AC的中线， ∴D为AC的中点， ∵F为CE的中点， ∴DF是△CAE的中位线， ∴DF∥AE， ∴∠FDE =∠AED， ∵DE平分∠ADF， ∴∠ADE=∠FDE， ∴∠ADE=∠AED， ∴AE=AD； （2）解：由(1)知FD是△CAE的中位线， ∴AE=2DF=4， ∴AD=AE=4， ∵D是斜边AC中点，△ABC是直角三角形， 10．【答案】（1）∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形DOCE 是平行四边形， ∵在菱形ABCD 中，AC⊥BD， ∴∠DOC=90°， ∴四边形DOCE 是矩形. （2） 11．【答案】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且， ∴， ∴； （2）证明：∵点、、、分别是、、、边上的中点， ∴、、分别是、、的中位线， ∴， ∵点是线段的勾股分割点，且， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的勾股分割点． 12．【答案】解：（1）四边形是矩形， ， 又，，， ， ， ， ， 又，， ， ； （2），证明如下： ，，， 四边形是矩形， 同（1）理可得， ，， 四边形是正方形， ， ； （3）的大小没发生变化，理由如下： 过点作于点，在上截取，连接， ，， 由（2）得， ， 矩形是正方形， 又四边形是正方形形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， 又， ． 13．【答案】解：与成正比例，， 与成反比例，， ， ， 当时，，时，， ， ， 14．【答案】解：（1）Q=800﹣50t； （2）当t=6时，Q=800﹣50×6=500（立方米）． 答：6小时候，池中还剩500立方米； （3）当Q=200时，800﹣50t=200， 解得t=12． 答：12小时后，池中还有200立方米的水． 15．【答案】解：（1）y甲=0.1x+100，y乙=0.2x； （2）由题意得：y甲=y乙， ∴0.1x+100=0.2x 解之得：x=1000 答：当印刷1000份时，两个印刷厂费用一样多． （3）当x=800时，y甲=0.1×800+100=180；y乙=0.2×800=160； ∵180＞160 ∴选择乙印刷厂划算． 16．【答案】（1）解：根据图象可得， 答：小华步行的速度为，小华妈妈步行的； （2）解：设小华和小华妈妈min能汇合． 依题意得， 解得． 答：小华和小华妈妈能汇合． 17．【答案】（1）解：设函数的表达式为y= kx+b，将M(3，2)， N(-1，-6)代入表达式可得： 解得 即y=2x-4 （2）解：在函数的图象上， 理由如下：当x=2a时， y=2a-4， 即点P(2a，2a-4)在函数图象上. 18．【答案】（1）解：设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗(2000-x)株， 根据题意得：2x+3(2000-x)=4500， 解得，x=1500， 2000-x=2000-1500=500， 答：购买甲种树苗1500株，乙种树苗500株； （2）解：设购买这批树苗总费用为y元， 根据题意得，y=2x+3(2000-x)=-x+6000， 又由题意可得，94%x+99%(2000-x)≥2000×96%， 解得x≤1200， ∵k=-1<0， ∴一次函数的函数值y随x增大而减小， ∴当x=1200时，y最小=-1200+6000=4800， 此时，乙种树苗2000-1200=800株， 答：购买甲种树苗1200株，乙种树苗800株，总费用 y最小为4800元. 19．【答案】（1）解：将、代入，得到 ，解得：， 直线的解析式为． （2）解：观察函数图象，可知： 当时，直线在直线的上方， 的解集为．​​​​​​​ 20．【答案】（1） （2） （3） 21．【答案】解：（1）80，85 （2）（分） 因为初中代表队和高中代表队的平均数相同，但是初中代表队的中位数高于高中代表队，所以初中代表队的决赛成绩更好． (3)高中部方差为： ∴初中部的成绩比较稳定． 22．【答案】解：甲班的五项指标得分由小到大重新排列为∴甲班的中位数为分 乙班的五项指标得分为而分出现次数最多， ∴乙班的众数是：分 （分)， 丙班的平均分是分； ； 甲：（分) 乙：（分） 丙：（分） 推荐丙班级为网上教学先进班级 23．【答案】（1），， （2）解：根据题意可知，九(1)班复赛成绩的方差， 答： 九（1）班复赛成绩的方差 是70. 24．【答案】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①； 任务4：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为：， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 学科网（北京）股份有限公司 $