23.1 一次函数的概念 课件2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数概念及与正比例函数的关系，从现实运动变化现象（如登山气温、铁块质量）导入，通过具体问题分析变量关系，逐步抽象出y=kx+b形式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以现实情境问题驱动，结合数学眼光观察（如气温、弹簧长度实例），通过解析式变形对比培养推理意识（数学思维），用函数模型表达实际关系（数学语言）。采用问题探究与实例分析结合的教学方法，清晰总结一次函数与正比例函数的特殊与一般关系，帮助学生联系实际理解概念，教师可直接用于课堂教学提升效率。

一次函数的概念 数学人教版八年级下册 1 为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念，通过研究函数及其性质，可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律． 现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．其中，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在，你们能试着举几个这样的例子吗？ 这一章，我们将学习刻画这类现象的函数，通过具体问题体会它的意义，结合图象讨论它的性质，感受它在解决运动变化问题中的作用． 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃．登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃．用函数解析式表示 y 与 x 的关系，并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温． 分析 12 ℃ 6x ℃ 海拔升高 1 km 2 km x km 气温下降 6 ℃ ... ... 登山队员所在位置气温＝大本营气温－下降的气温 y＝－6x＋5 y＝5－6x 问题1 解：由题意得 y＝－6x＋5， 当 x＝2 时，函数 y＝－6x＋5＝－6×2＋5＝－7（℃）． 答：他们所在位置的气温为－7 ℃． 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃．登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃．用函数解析式表示 y 与 x 的关系，并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温． 问题1 像 y＝－6x＋5 这样的函数，就是本章将要研究的主要内容．在实际问题中，我们经常会遇到这样的函数． （1）铁的密度约为 7.9 g/cm³，铁块的质量 m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm³）的变化而变化． 函数解析式为____________． 本题的自变量是____，函数是____， 分析 质量＝密度×体积 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式． V m m＝7.9V 其中一个变量的每一个值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应． 问题2 （2）每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的个数 n 的变化而变化． （3）一种计算成年人标准体重 m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高 h，再减去常数 105，所得差是 m 的值，m 随 h 的变化而变化． （4）把一个长 10 cm、宽 5 cm 的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形的面积 y（单位：cm²）随 x 的变化而变化． 请你自己试一试吧！ h＝0.5n m＝h－105 y＝－5x＋50 问题2 解：在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别如下． （1）m＝7.9V； 　　 （2）h＝0.5n； （3）m＝h－105； （4）y＝－5x＋50． 这些函数解析式有哪些共同特征？ 问题2 （4）y＝－5x＋50 （1）m＝7.9V 　　 （2）h＝0.5n （3）m＝h－105 1 1 1 1 m＝7.9·V＋0 h＝0.5·n＋0 m＝1·h＋（－105） y＝－5·x＋50 特点：1．自变量的次数都是一次，没有出现平方、开方等运算； 2．等式的右边都可以看作“常数×变量＋常数”的形式． y＝kx＋b 思考 一般地，形如 y＝kx＋b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中 x 是自变量． 为什么k不能为0？ 新知 了解了一次函数的概念后，继续观察上述 4 个解析式，你能发现什么特点？ （4）y＝－5x＋50 （1）m＝7.9V 　　 （2）h＝0.5n （3）m＝h－105 m＝7.9·V＋0 h＝0.5·n＋0 m＝1·h＋（－105） y＝－5·x＋50 y＝kx＋b 常数项有什么不同？ 思考 特别地，当 b＝0 时，y＝kx＋b 即 y＝kx． 形如 y＝kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数． 新知 拓展：1．如果两个变量的比是一个常数，那么这两个变量之间的关系就是正比例关系； 2．一般情况下，正比例函数中自变量的取值范围是全体实数． 正比例函数和一次函数之间有什么样的关系？ 正比例函数与一次函数是特殊与一般的关系． 正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数． 一次函数 正比例函数 y＝kx＋b （k≠0） y＝kx（k≠0） 当 b＝0 时 区别 联系 不一定是 一定是 思考 每挂 1 kg 物体，弹簧伸长 2 cm，挂 x kg 物体时，弹簧伸长______． 例　一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm． （1）求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？ 分析 2x cm 弹簧的长度＝不挂物体时的长度＋伸长的长度 y＝2x＋12 解：（1）y＝2x＋12． （2）把 x＝5 代入 y＝2x＋12，得 y＝2×5＋12＝22． 因此，当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是 22 cm． 例　一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm． （1）求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？ 1．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？请指出其中正比例函数的比例系数． （1） y＝－8x； 　　 （2） y＝－ ； 　　 （3） C＝2πr； （4） y＝5x²＋6； （5） y＝2(x－4)． 函数类型 k b 一次函数 正比例函数 k 是常数，k≠0 k 是常数，k≠0 b 是常数 b＝0 分析 （1） y＝－8x； 　　 （2） y＝－ ； 　　 （3） C＝2πr； （4） y＝5x²＋6； （5） y＝2(x－4)． 1．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？请指出其中正比例函数的比例系数． 是一次函数也是正比例函数，比例系数为－8 是一次函数也是正比例函数，比例系数为2π 是一次函数 2．用函数解析式表示下列问题中 y 与 x 的关系： （1）某人一年内的月平均收入为 x 元，他这一年（12个月）的总收入为 y 元； （2）某水池有水 20 m³，现在打开进水管开始进水，进水速度为 3 m³/h，则 x h 后水池有水 y m³． 解：（1）y＝12x； （2）y＝3x＋20． 一次函数 概念 特殊的 一次函数 一般地，形如 y＝kx＋b（k, b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中 x 是自变量 当 b＝0 时，y＝kx＋b 即 y＝kx．形如 y＝kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数 再见 $