23.1 一次函数的概念 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数的概念，通过复习函数的三种表示方法及买报纸总价、登山气温变化等实际问题导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从具体情境中抽象变量关系，为理解一次函数意义奠定基础。 其亮点在于以铁的密度、练习本厚度等实际情境为载体，培养学生用数学眼光观察数量关系的抽象能力，通过例1分类判断一次函数与正比例函数发展推理意识，分层作业（基础题与矩形运动问题）助力学生用数学语言表达现实问题，提升模型意识和应用能力。学生能深化概念理解，教师可依托清晰结构高效教学。

23.1一次函数的概念 第二十三章一次函数 1 学习目标 1. 结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的 数量关系写出一次函数的解析式． 2. 能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般 与特殊之间的关系． 3. 会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题． 1.函数的三种表示方法是什么? 复习回顾 列表法 解析式法 图象法 2.某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y. x/份 1 2 3 4 … y/元 … 0.8 0.4 1.2 1.6 y与x之间的函数解析式是___________. y=0.4x 3.某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. 用函数解析式表示 y 与 x 的关系，并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温. y=−6x+5 当x=2时，y=−6×2+5=−7(℃). 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式. （1）铁的密度约为 7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化. （2）每个练习本的厚度为 0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化. m=7.9V h=0.5n 探究新知 （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化. （4）把一个长10 cm、宽5 cm 的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形的面积 y（单位：cm2）随x 的变化而变化. m=h−105 y=−5x+50 在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别为： m=7.9V h=0.5n m=h−105 y=−5x+50 这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 归纳结论 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数. 一次函数解析式的特点： 1.结构上看：函数=常数×自变量+一个常数. 2.解析式中自变量x，函数y的指数都是“1”. 3.比例系数k≠0. 4.常数项b通常不为0，但也可以等于0. 特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠ 0）的函数，叫作正比例函数，其中 k叫作比例系数. 正比例函数时特殊的一次函数 典型例题 例1 下列函数中，哪些是一次函数?哪些是正比例函数? （1）y=−8x;（2）2y=8x;（3）3y=8x²;（4）4y=8x−4. (1)y=-8x是一次函数也是正比例函数. （2）y=8x既不是一次函数也不是正比例函数. 解： （3）y=8x²既不是一次函数也不是正比例函数. (4)y=8x-4是一次函数. 例2 仓库内原有粉笔400盒.如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t 之间的函数关系式.题中的函数是一次函数吗?为什么? 解:依题意,得Q=400-36t,Q是t 的一次函数. 例3 一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2cm. （1）求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：（1）y 关于 x 的函数解析式为 y=2x+12. （2）把x=5代入 y=2x+12，得y=2×5+12=22. 因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm. 变式训练 1.下列函数①y=-5x;②y=-2x+1;③y= 3x;④y= 12x-1;⑤y=x²-1中，是一次函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4 2.已知 y=k−1x|k|−k是x的一次函数，则k的值为_____. C -1 巩固练习 1. 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）y =－8x； （2）y =－； （3）C = 2πr； （4）y = 5x2 + 6； （5）y = 2(x－4). 一次函数 y = kx + b 正比例函数 y = kx （1）（3）（5） 一次函数 正比例函数 选自教材第115页 练习 第1题 2. 用函数解析式表示下列问题中 y 与 x 的关系： （1）某人一年内的月平均收入为 x 元，他这一年 （12 个月）的总收入为 y 元； （2）某水池有水 20 m3，现在打开进水管开始进水， 进水速度为 3 m3/h，则 x h 后水池有水 y m3 . y = 12x； y = 3x + 20. 选自教材第115页 练习 第2题 课堂小结 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数. 特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠ 0）的函数，叫作正比例函数. 一次函数 正比例函数 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 课堂检测 1.在一次函数 y=23x+2中,当x=9时,y的值为( ) A.-4 B.-2 C.6 D.8 2.下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是( ) A.路程一定时，时间y和速度x的关系 B.长10m的铁丝折成长为 ym，宽为 xm的长方形 C.圆的面积y与它的半径x D.斜边长为5的直角三角形的两条直角边长y和x D B 3.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）y=−8x； （2）y=−； （3）y=5x2+6； （4）y=−0.5x−1； （5）y=−1； （6）y=−13； （7）y=2(x−4)； （8）y=. 正比例函数：（1）； 一次函数：（1）（4）（5）（7）（8）. 4.在运动会的百米赛场上，小媛正以7 m/s的平均速度冲向终点，那么小媛与终点的距离s(m)关于她跑步的时间t(s)的函数解析式为________. 5.已知y与x之间成正比例关系，且当x=-1时，y=3. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x=2时,求y的值. 解(1)设y= kx(k≠0),把x=-1,y=3代入,得k=-3. ∴y=-3x. (2)把x=2代入y=-3x,得y=-3×2=-6. s=100-7t 6.已知函数y=(m−3)+3是一次函数，求m的值和这个函数的解析式. 解：由题意得m2−8=1，m−3≠0，所以m=−3. 所以一次函数的表达式为y=−6x+3. 注意：利用定义求一次函数y=kx+b表达式时，要保证k≠0，自变量x的指数是“1”. 7.已知关于x的函数y=(m－3)x｜m｜－2+n－2. （1）当m，n取何值时，它是一次函数？ （2）当m，n取何值时，它是正比例函数？ 解：（1）由题意，得｜m｜－2=1，m－3≠0，n－2为任意实数，所以当m=－3，n为任意实数时，它是一次函数. （2）由题意，得｜m｜－2=1，m－3≠0，n－2=0，所以当m=－3，n=2时，它是正比例函数. 课后分层作业 1.基础层：教材第116页习题23.1第1,2,3题. 2.提升层：如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动.设四边形APQD的面积为y cm2，运动时间为x s，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动.设四边形APQD的面积为y cm2，运动时间为x s，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 解：由题意，得AP=2x cm，CQ=x cm， CD=AB=8 cm， 所以DQ=CD－CQ=(8－x)cm． 所以y=(AP+DQ)·AD= (2x+8－x)×4， 即y=2x+16(0<x≤4)． $