22.2 函数的表示（第1课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

这是一份初中数学人教版八年级下册同步教学课件，共28页，聚焦函数的表示（第1课时）。通过新课导入呈现解析式、图像、表格三种表示方法，以问题链引导新知探究，结合正方形面积函数实例分解列表、描点、连线步骤，配套例题精讲与随堂练习，构建完整学习支架。 资料特色突出核心素养，以路程时间、潮水高度等生活实例培养数学眼光，通过画图步骤推理与运算强化数学思维，结合一次函数、反比例函数等实例发展数学语言。创新设计问题引导与规范画图要求，帮助八年级学生直观理解函数关系，提升几何直观与应用能力，为教师提供清晰教学流程与实例支撑，助力学生适应承上启下的学习阶段。

函数的表示（第1课时） 数学人教版八年级下册 1 函数与自变量之间的关系既可以用解析式表示，例如路程与时间的关系；也可以用图或表格表示，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期限的关系．表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法． S＝60t S＝60t 解析式：从数量关系的角度清晰反映自变量与函数的对应关系． 用图象表示函数有什么优势？        函数与自变量之间的关系既可以用解析式表示，例如路程与时间的关系；也可以用图或表格表示，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期限的关系．表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法． 函数与自变量之间的关系既可以用解析式表示，例如路程与时间的关系；也可以用图象或表格表示，例如潮水高度随时间的变化、年利率与存款期限的关系．表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法． S＝60t 图象：有些问题中的函数关系很难用解析式表示,但可以用图直观地反映；能用解析式表示的函数关系，画图也会使函数关系更直观． 解析式：从数量关系的角度清晰反映自变量与函数的对应关系． 问题1 我们知道正方形的面积 S 与边长 x 的函数解析式为 S＝x2．请你写出自变量 x 的取值范围，并利用在平面直角坐标系中画图的方法来表示 S 和 x 的函数关系． 自变量 x 的值 函数 S 的值 横坐标 纵坐标 因为正方形的边长一定是正数，所以 x＞0． 唯一确定的有序实数对 ( x，S ) 唯一确定的点 ( x，S ) 如何找到这些点？ 问题1 （1）列表表示点 ( x，S )． x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … S … 0.25 1 … 2.25 4 6.25 9 12.25 16 函数 S＝x2，在平面直角坐标系中画图表示 S 和 x 的函数关系． 问题1 S 1 1 2 3 4 O x 4 9 16 （2）在平面直角坐标系中画出这些点． 函数 S＝x2，在平面直角坐标系中画图表示 S 和 x 的函数关系． 问题1 S 1 1 2 3 4 O x 4 9 16 用空心圆圈表示不在函数图象上的点． 用平滑曲线依次连接画出的点,避免出现明显的拐弯． 点在函数图象上，画成实心点． （3）连接画出的这些点． 函数 S＝x2，在平面直角坐标系中画图表示 S 和 x 的函数关系． 点( 0，0 ) 在这条曲线上吗？ 由于 x＞0，所以 x＞0 不在 x 的取值范围内，所以点 ( 0，0 ) 不在这条曲线上． 问题1 结合填写的表格以及画出的图形，你知道表示 x 与 S 对应关系的点有多少个吗？能全部画出来吗？ 表示 x 与 S 的对应关系的点有无数个，但是实际上我们只能描出其中有限个点，因此其他点的位置需要根据描出的点来联想得出． 问题1 结合填写的表格以及画出的图象，你知道表示 x 与 S 对应关系的点有多少个吗？能全部画出来吗？ 所得曲线上每一个点都代表 x 的值与 S 的值的一种对应． 例如，点 (2，4) 表示当 x＝2 时，S＝4． 新知 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 一般函数的图象是一条曲线，图象上各点的横坐标是自变量的取值，纵坐标是相应的函数值．组成图象的所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围． 例 在下列式子中，y 是 x 的函数．画出这些函数的图象． （1）y＝x＋0.5； （2） 分析 ① 列表：取一些自变量的值，计算对应函数值； ② 描点：在平面直角坐标系中描出这些点； ③ 连线：用平滑曲线依次连接描出的各点． 例 在下列式子中，y 是 x 的函数．画出这些函数的图象． （1）y＝x＋0.5； 解：（1）从式子 y＝x＋0.5 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数． 从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表． x … －2 －1 0 1 2 … y … … －1.5 1.5 2.5 0.5 －0.5 根据表中数值，在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点． 例 在下列式子中，y 是 x 的函数．画出这些函数的图象． （1）y＝x＋0.5； x 3 y －1 1 2 O －2 －1 －2 1 2 y＝x＋0.5 例 在下列式子中，y 是 x 的函数．画出这些函数的图象． （2） 解：（2） 中 x 的取值范围是全体正实数． 从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表． x … 0.5 1 2 3 4 5 6 … y … 3 1.5 1 0.75 … 6 0.6 0.5 例 在下列式子中，y 是 x 的函数．画出这些函数的图象． （2） 根据表中数值，在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点． 3 y 1 2 O x 1 2 3 4 5 6 4 5 6 观察这两个函数的图象，当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？ 直线从左往右上升，说明随着 x 值的增大，y 的值也增大．即点的位置从左向右移动的同时，从下向上移动． 观察这两个函数的图象，当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？ 它位于y轴的哪一侧？图象是否与y轴相交？ 曲线从左往右下降，说明随着 x 值的增大，y 的值反而减小．即点的位置从左向右移动的同时，从上向下移动． 观察这两个函数的图象，当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？ 由于自变量 x 的取值范围是 x＞0，所以图象只能在 y 轴右侧，且不能与 y 轴相交． 画函数图象时，必须关注自变量的取值范围，图象的位置和形状受其制约． 用描点法画函数图象的一般步骤 第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值．自变量的取值要有代表性，要根据自变量的取值范围，从小到大或者从中间向两边取值．一般取 5 到 7 个值为宜； 第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描出的点大小要适中，位置要准确； 第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 注意：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线，还可以是一些不连续的点． 1. （1）画出函数 y＝2x－1的图象； （2）判断点 A(－2.5，－4)，B(1，3)，C(2.5，4) 是否在函数 y＝2x－1的图象上． 解：（1）从 x 的取值范围（全体实数）中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … －1 －3 －6 －2 －4 －5 －7 O －1 1. （1）画出函数 y＝2x－1的图象； 根据表中数值，在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点． y －4 －2 x 2 4 1 3 －3 2 4 6 1 3 5 1. （2）判断点 A(－2.5，－4)，B(1，3)，C(2.5，4) 是否在函数 y＝2x－1的图象上． 解：（2）∵ 当 x＝－2.5 时，y＝2×(－2.5)－1＝－6≠－4， ∴ 点 A(－2.5，－4) 不在函数 y＝2x－1的图象上． ∵ 当 x＝1 时，y＝2×1－1＝1≠3， ∴ 点 B(1，3) 不在函数 y＝2x－1的图象上． ∵ 当 x＝2.5 时，y＝2×2.5－1＝4， ∴ 点 C(2.5，4) 在函数 y＝2x－1的图象上． 归纳 判断一个点是否在函数图象上的两种方法 （1）将该点的横坐标代入函数解析式求函数值，若所求函数值等于该点的纵坐标，则该点在函数图象上，否则不在函数图象上． （2）将该点的纵坐标代入函数解析式求自变量的值，若所求自变量的值等于该点的横坐标，则该点在函数图象上，否则不在函数图象上． 2. （1）画出函数 y＝x²＋1 的图象． （2）观察函数 y＝x²＋1 的图象，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大还是 y 随 x 的增大而减小?当 x＞0 时呢？ 解：（1）从 x 的取值范围（全体实数）中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表． x … －2 －1 0 1 2 … y … 5 2 1 2 5 … 2. （1）画出函数 y＝x²＋1的图象． 根据表中数值，在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点． 1 3 6 7 2 5 4 8 9 10 x －3 －2 2 3 －1 1 O y －1 2. （2）观察函数 y＝x²＋1的图象，当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而增大还是 y 随 x 的增大而减小?当 x ＞0 时呢？ 当 x ＜ 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大. 函数的图象 画图象的步骤 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 列表 定义 描点 连线 画图象的注意事项 点之间的连线要光滑，不要出现明显的拐弯 图象上的点为实心，不在图象上的点为空心圆圈 $