精品解析：山东济宁市嘉祥县第一中学2025-2026学年度6月份检测试题高二数学试题

嘉祥县第一中学2025-2026学年度6月份检测试题 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题为存在量词命题， 该命题的否定为：. 故选：D. 2. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据集合的表达式求出符合集合范围的元素，再计算两个集合的交集即可. 【详解】首先明确自然数集包含，由集合的定义，设，其中，变形得，， 已知集合，将非负整数依次代入计算： 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，超出集合的元素范围，不满足要求， 因此，故B正确. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】取 ，满足 ，但是不成立，所以充分性不成立. 当时，由，则一定成立，即必要性成立 ． 所以 “”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据： 4 5 6 7 标准煤 3.2 3.8 5.3 根据数据可得到的回归方程为，则（ ） A. 4.6 B. 4.55 C. 4.5 D. 4.35 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据回归直线必过样本中心点，代入求解即可. 【详解】依题意，，， 因为回归直线必过样本中心点， 所以，解得. 5. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 6. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 8. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类讨论，确定函数的最小值并建立的关系，再构造函数并利用导数求出最大值. 【详解】当时，的定义域为，值域为，不恒成立，不合题意； 当时，函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当时，，不合题意； 当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以的最大值为. 二、多选题 ：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C. 将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有360种 D. 7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：可以看作从7个人中取2个人的排列；对于B：先从男生中选1个，再从女生中选1人，进而可得；对于C：利用捆绑法，先把女生看成一个整体，再与男生排列；对于D：先排列再把男生的顺序排除. 【详解】对于选项A：从7个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 对于选项B：从7个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 对于选项C：排列3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与4个男生一起排列有种情况，共有种情况，故C错误； 对于选项D：7名学生排成一排，共有种情况，已知4名男生已排好，则需要把男生的顺序排除，共有种情况，故D正确. 10. 已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】已知正实数满足且先确定，A用基本不等式求得最大值为不等于4，B代入消元化为关于的二次函数求出最大值为不等于4，C利用完全平方公式结合最大值推出最小值为，D中表达式的值恒为负数，其最小值不可能为4，因此不正确的是ABD. 【详解】选项A：由，根据均值不等式，得，平方得，即.当且仅当时取等号，故最大值为，A错误. 选项B：由，且，得. ，这是开口向下的二次函数，对称轴. 代入得最大值为，B错误. 选项C：由，得.结合A知， 故，当且仅当取等号，C正确. 选项D：由，得， 则， 因此最小值不可能为，D错误. 11. 已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令可得，再由为奇函数可得，令可得，令，可得，可判断A；令，可得，可判断B；由，可得，从而，可判断C；计算、、、、和的值，结合函数的周期性计算可判断D. 【详解】由， 令，得，即，， 由为奇函数，可得， 即，即， 所以函数关于点对称，令可得， 令，得，可得，故A错误； 令，可得，即， 则，所以，或， 当 时，， 当时，用替换得 ，所以 ，解得 ，满足， 所以，，即，则为偶函数，故B正确； 由，，可得，即， 所以，则是以6为周期的周期函数，则，故C正确； 由，，，，为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得 ，，，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 【答案】64 【解析】 【详解】已知随机变量，且， 由正态分布的对称性可得与关于对称， 即，则，解得. 令，展开式中各项系数之和为. 13. 若，则（，）取得最大值时，________． 【答案】6或7 【解析】 【详解】由题意知，X服从二项分布，所以，且． 由不等式（且），得，解得． 所以当时，； 当时，， 因为当且仅当时，， 所以当或时，取得最大值． 14. 已知实数，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，构造函数 ，通过单调性得到，再构造函数，求导，确定值域，即可求解. 【详解】由对数定义域得，设， 原等式改写为： ， 整理得：， 设 ，其导数 ，故是R上的单调递增函数， 由 ，得，即 ， 设，求导得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的最大值为​， 且当时，，当时，， 即， 又，结合指数函数单调性， 可得的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【小问1详解】 由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 16. 某班数学兴趣小组为研究本班同学的锻炼频次与身体素质指标的关系，统计得到5名同学每周锻炼频次与身体素质指标的数据如下： 锻炼频次（） 2 4 5 6 8 身体素质指标（） 30 40 50 60 70 （1）若，之间具有线性相关关系，试建立，之间的经验回归方程，并预测每周锻炼频次为9次的同学的身体素质指标； （2）依据表中数据，在这5名同学中任取三人，记身体素质指标大于等于50的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：①参考数据：，； ②经验回归方程的斜率和截距最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）经验回归方程，预测身体素质指标为 （2）的分布列为： 数学期望为【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求解线性回归方程，代入自变量完成预测； （2）确定超几何分布模型，计算对应概率得到分布列，结合期望公式求解数学期望. 【小问1详解】 ，. ， ， 因此经验回归方程为 . 将代入方程，得， 即每周锻炼频次为9次的同学身体素质指标预测值为. 【小问2详解】 身体素质指标大于等于50的同学有3人，小于50的同学有2人. 随机变量表示抽取3人中身体素质指标大于等于50的人数，则的可能取值为. ， 的分布列为： . 17. 已知函数． （1）当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； （2）化简； （3）当时，定义：，化简：． 【答案】（1）或13； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用不等式法求系数最大的项即可求出； （2）把所求式提出，对，令，即可求解； （3）利用倒序相加以及二项式系数和的性质即可求解. 【小问1详解】 因为二项式展开式的通项为：， 又在中，唯一的最大的数是，由于， 所以，即，解得，即， 又，所以或； 【小问2详解】 ， 原式； 【小问3详解】 ①， ②， 在①、②添加，则得 ③， ④， ③+④得：， . 18. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【小问1详解】 甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； 【小问2详解】 甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 【小问3详解】 乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【小问1详解】 ， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． 【小问2详解】 不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； 【小问3详解】 要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥县第一中学2025-2026学年度6月份检测试题 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据： 4 5 6 7 标准煤 3.2 3.8 5.3 根据数据可得到的回归方程为，则（ ） A. 4.6 B. 4.55 C. 4.5 D. 4.35 5. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 6. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 ：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C. 将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有360种 D. 7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 10. 已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 11. 已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 13. 若，则（，）取得最大值时，________． 14. 已知实数，满足，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 16. 某班数学兴趣小组为研究本班同学的锻炼频次与身体素质指标的关系，统计得到5名同学每周锻炼频次与身体素质指标的数据如下： 锻炼频次（） 2 4 5 6 8 身体素质指标（） 30 40 50 60 70 （1）若，之间具有线性相关关系，试建立，之间的经验回归方程，并预测每周锻炼频次为9次的同学的身体素质指标； （2）依据表中数据，在这5名同学中任取三人，记身体素质指标大于等于50的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：①参考数据：，； ②经验回归方程的斜率和截距最小二乘估计公式分别为，． 17. 已知函数． （1）当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； （2）化简； （3）当时，定义：，化简：． 18. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $