精品解析：山东枣庄市部分校2025-2026学年高二第二学期教学质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则，即正态曲线关于直线对称， 所以， 又， 所以. 2. 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 48种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，利用组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，一只蚂蚁从点 出发，沿木棍爬行到点， 要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步， 则爬行的路径共有：不同的路径. 故选：D. 3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由表格可得， 因样本中心点满足回归方程， 即，解得. 当时，， 此时残差为. 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和等于 建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为恒成立问题，然后参变分离，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 因为，所以必有，故转化为在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，即. 6. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件 ：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 8. 已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数在上为增函数，结合函数的奇偶性定义判断其为偶函数，将不等式化为，利用单调性即可求解. 【详解】设，求导得，因， 则当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递减. 又为偶函数，，则，即函数是偶函数， 又，则， 则（*）， 由可得，则， 将（*）两边同除以，可得，即， 由是偶函数可得，又因函数在上单调递增， 可得且，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项分布的均值和方差公式列式计算判断A，根据方差的含义判断B，根据正态分布的对称性求解概率判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】A选项：，，，正确； B选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，错误； C选项：随机变量服从正态分布，则， 若，则，则，错误； D选项：对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，正确. 故选：AD 10. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有128种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有72种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 【答案】AD 【解析】 【分析】四个球放四个盒子，全排列可得A正确；每个盒子有4种方法，相乘可得B错误；由分步乘法和简单排列可得C错误，D正确. 【详解】A：没有空盒子的方法为4个球放入4个盒子，共有种，故A正确； B：可以有空盒子的方法共有种，故B错误； C：恰有1个盒子不放球，选出一个空盒子，有4种， 再将四个球中的一个球与其他另一个球绑定，有种， 其余全排，有种， 所以共有种，故C错误； D：恰有一个小球放入自己编号的盒子，有4种， 另外三球三盒子不能对应，共有2种， 所以一共有8种，故D正确； 故选：AD. 11. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进行求解 【详解】由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为， ，所以为等比数列，C错误； 为首项是，公比是的等比数列， ，故A正确； 前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率， ∴传到乙手中共有11种传法，B正确； ，显然， ，D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】-220 【解析】 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 13. 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定的所有可能取值，分别计算取每个值的概率，再将的取值与对应概率代入公式计算即可. 【详解】为被参观的场馆个数，可能取值为， 甲乙各选 个场馆，总的选法为种， （两人选的场馆完全相同）：共种，故， （两人恰好有1个共同场馆）：甲选2个后，乙从甲的2个中选1个、从甲未选的2个中选1个，共种，故， （两人选的场馆完全不同）：共种，故， . 14. 已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先研究函数在上的单调性与最小值，再结合函数性质，分和两种情况讨论即可. 【详解】定义域为，求导得， 令得，因此，，单调递减； ，，单调递增， 因此的最小值为， 因为，当时；当时， 且时（从下方趋近于0），时， 所以，函数在上的图象大致如图： 因为等价于在上的最大值减去最小值的差小于等于， 若，则，最小值，最大值， 代入不等式得， 由得， 若，根据上述分析可知满足条件，但的取值大于，不是最小值， 综上，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2024年“元旦档”，某连锁购物中心在2023年12月31日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续8天的客流量（单位：百人），如下表： 日期 12月31日 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日 1月7日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 8 客流量 16.6 18.8 22 24.9 28.6 33.1 38.9 46.3 （1）由表中数据，知可用线性回归模型拟合与 之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到0.01） （2）求关于 的线性回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测1月9日的客流量．（预测结果精确到0.1） 参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据：，． 【答案】（1）与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与 之间的关系． （2），51.3百人． 【解析】 【分析】（1）先计算相关系数，再根据近似值判断说明即可； （2）先根据公式计算得出回归直线，再根据回归直线预测即得. 【小问1详解】 由题意，知， 所以相关系数． 因为与 的相关系数，接近于1， 所以与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与 之间的关系． 【小问2详解】 因为， ，所以关于 的线性回归方程为． 又1月9日对应的日期代码， 当时，，所以预测1月9日的客流量约为51.3百人． 16. 已知函数． （1）若函数在处有极小值，求实数a的值； （2）若，求函数在区间上的最值． 【答案】（1）4 （2）最小值为，最大值为32． 【解析】 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【小问1详解】 由，得． 因为为的极小值点，所以，解得或． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以为的极小值点． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以为的极大值点． 所以当时，在处取极大值，不符合题意， 综上：实数a的值为4． 【小问2详解】 当时，， 令得或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以为在区间上的极大值，也是最大值． 因为，，，所以最小值为． 综上，函数在区间上的最小值为，最大值为32． 17. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，求： （1）的值及展开式中的常数项； （2）展开式中含项的系数； （3）展开式中第几项系数绝对值最大，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的关系求解，然后根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （3）设第项的系数的绝对值最大，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍， 即，即，解得； 二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为. 【小问2详解】 由（1）的通项公式，令得， 故含的项为，其系数为. 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得且，则， 所以系数的绝对值最大值的项为第7项. 18. 某学校组织了网络安全知识竞赛，有A， 两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答 类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若且小明先回答 类问题，记为小明累计得分，求的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 【答案】（1）分布列见解析； （2）当时累计得分的期望最大. 【解析】 【分析】（1）由题设写出随机变量的取值并求出相应取值的概率即可得解； （2）先求出累计得分的期望表达式，再根据函数性质求最大值. 【小问1详解】 由题可得， 且，，，， 所以的分布列为 X 0 10 30 60 P 【小问2详解】 设累计得分为Y，则, 且，，，， 所以累计得分的期望为 ， 因为，， 所以当时，累计得分的期望最大为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【小问1详解】 的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. 【小问3详解】 ，. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 2. 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 48种 D. 60种 3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 5 B. C. 4 D. 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 10. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有128种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有72种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 11. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 13. 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________． 14. 已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2024年“元旦档”，某连锁购物中心在2023年12月31日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续8天的客流量（单位：百人），如下表： 日期 12月31日 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日 1月7日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 8 客流量 16.6 18.8 22 24.9 28.6 33.1 38.9 46.3 （1）由表中数据，知可用线性回归模型拟合与 之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到0.01） （2）求关于 的线性回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测1月9日的客流量．（预测结果精确到0.1） 参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据：，． 16. 已知函数． （1）若函数在处有极小值，求实数a的值； （2）若，求函数在区间上的最值． 17. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，求： （1）的值及展开式中的常数项； （2）展开式中含项的系数； （3）展开式中第几项系数绝对值最大，请说明理由． 18. 某学校组织了网络安全知识竞赛，有A， 两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答 类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若且小明先回答 类问题，记为小明累计得分，求的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $