22.1 函数的概念（第2课时）教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦函数概念的建立与理解，通过回顾上节课常量与变量知识，结合汽车行驶、电影票收入等四个实际问题，引导学生发现变量间的对应关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 此资料亮点在于以多实例（解析式、潮汐图象、存款利率表格）揭示函数“唯一确定”本质，培养抽象能力（数学眼光），例题中判断函数关系的步骤训练推理意识（数学思维），多表示方式体现模型意识（数学语言）。助力学生深化概念理解，为教师提供结构化教学方案。

22.1　函数的概念（第2课时） 教学目标 1．经历分析实际问题中变量之间对应关系的过程，从具体到抽象，概括并建立函数的概念，体会变化与对应的思想，发展抽象能力． 2．理解函数、自变量、函数值的概念，会结合具体问题，判断两个变量之间是否存在函数关系． 教学重点 函数的概念． 教学难点 判断两个变量之间是否存在函数关系． 教学过程 新课导入 【引导语】上节课我们学习了常量和变量的概念，了解到：在一个变化过程中，有的量数值始终不变，这样的量叫作常量；有的量数值会发生变化，这样的量叫作变量，一个变化过程中可能会涉及到多个变量． 下面这四个问题我们已经初步分析过，知道每个问题都包含两个变量．请同学们思考：这两个变量之间是否会互相影响？如果给定其中一个变量的值，另一个变量是不是也跟着被确定了？这种关系能否清晰地表示出来？ （1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km． （2）电影票的售价为40元/张．一场电影售出x张票，票房收入为y元． （3）圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，圆的半径为r cm，圆的面积为S cm2． （4）长方体的体积为1 000 cm³，长方体的底面积为S cm2，高为h cm． 【设计意图】通过回顾旧知与具体实例，引导学生去发现变量之间存在的对应关系，为后续抽象出函数的概念作铺垫． 新知探究 【问题1】下列变化过程中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ （1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km． （2）电影票的售价为40元/张．一场电影售出x张票，票房收入为y元． （3）圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，圆的半径为r cm，圆的面积为S cm2． （4）长方体的体积为1 000 cm³，长方体的底面积为S cm2， 高为h cm． 【师生活动】师生共同分析第（1）题，明确其中的两个变量t和s，s随着t的变化而变化，每当t取定一个值，s就有唯一确定的值与其对应．结合上节课填写的表格，师生得出s和t之间的关系s＝60t． 学生独立对第（2）（3）（4）题进行分析，共同口答两个变量之间的关系． 【答案】第（2）题，两个变量x和y，y随着x的变化而变化，每当x取定一个值，y就有唯一确定的值与其对应，x和y之间的关系是y＝40x． 第（3）题，两个变量r和S，S随着r的变化而变化，每当r取定一个值，S就有唯一确定的值与其对应，r和S之间的关系是s＝πr2． 第（4）题，两个变量h和S，h随着S的变化而变化，每当S取定一个值，h就有唯一确定的值与其对应，S和h之间的关系是h＝ ． 【追问】这四个变化过程有什么共同特征？ 【师生活动】学生组内讨论，小组代表发言，教师总结完善． 【归纳】上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应． 【强调】注意“唯一确定”这4个字的两重含义：①有对应值；②对应值只有一个． 【设计意图】通过四个具体的变化过程，引导学生经历“观察变量—列表取值—发现对应规律”的过程，直观感知一个变量随另一个变量变化并且存在“唯一确定”的对应关系，为后续概括函数的定义作铺垫． 【问题2】潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象．我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h．这两个变量之间有什么关系？ 【师生活动】教师引导学生观察潮汐变化图，发现：在横轴上任取一个时间点（例如，t＝6：00，24:00）在图象上能找到且只能找到一个对应的潮高（h＝200，300）．师生共同总结出对于每一个确定的时间t，都有唯一确定的潮高h与之对应． 【问题3】某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如下表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y．这两个变量之间有什么关系？ 【师生活动】学生自主观察表格，发现：对于每一个确定的存款期限x，都有唯一确定的一个年利率y的值与之对应． 【问题4】上述问题中，变量之间的对应关系虽然是用不同方法表示出来的（解析式、图象、表格），但是，两个变量之间都有着共同的特点，你能用一句话归纳吗？ 【师生活动】学生先独立思考，然后组内讨论，小组代表发言，教师总结完善：两个变量中，一个变量每取一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应． 【新知】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值． 【追问】上述问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？ 【师生活动】教师首先带领学生分析问题1中的第（1）题，明确时间t是自变量，路程s是t的函数，当自变量t＝1时，函数值s＝60；当自变量t＝2时，函数值s＝120．对于问题2，时间t是自变量，潮高h是t的函数，当自变量t＝6时，函数值h＝200；当自变量t＝24时，函数值h＝300．对于问题3，存款期限x是自变量，年利率y是x的函数，当自变量x＝6时，函数值y＝1.35；当自变量x＝24时，函数值y＝1.65． 学生自主分析问题1中的第（2）（3）（4）题，同桌之间互相说一说． 【问题5】函数与函数值之间有哪些区别与联系？ 【师生活动】学生组内讨论交流，学生代表发言，教师完善总结． 【答案】 【设计意图】通过解析法、图象法、列表法三种不同的表示方式，帮助学生全面了解变量之间的对应关系，感受函数的本质特征． 例题精讲 【例1】下列关系式中，y是x的函数的是______________． （1）y2＝x；（2）y＝；（3）＝x；（4） y＝x2；（5） y＝3x＋1． 【师生活动】教师带领学生回顾函数的定义，强调“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应”这个关键特征，师生共同分析（1）（2）： （1）举例分析，当x＝1时，y2＝1，所以y＝1或y＝－1，此时，自变量x取一个值时，y有两个值与之对应，不符合函数的定义； （2）举例分析，当x＝1时，y＝1；x＝－1时，y＝1；……，不管自变量x取哪一个值，y都有唯一确定的值之对应，符合函数的定义； 学生自主分析（3）（4）（5），学生代表分享想法，师生共同得出：（2）（4）（5）中的x和y满足函数关系． 【答案】（2）（4）（5）． 【归纳】判断函数关系的步骤： （1）是否在同一个变化过程中； （2）在这个变化过程中是否有两个变量； （3）其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应． 【例2】判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． （1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化； （2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化； （3）某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化； （4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化． 【师生活动】教师继续强调：判断两个变量之间是否存在函数关系，主要看其中一个变量取任意一个值时，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应．师生共同分析第（1）题：正方形的边长x是自变量，当x每取一个确定的值时，正方形的面积S＝x2都有唯一确定的值与之对应，因此S是x的函数；接着分析第（2）题：摩天轮的转动时间t是自变量，每一个确定的时间t都对应游客离地面的唯一高度h，因此h是t的函数．学生独立分析第（3）（4）题，完成后共同口答，教师点评． 【答案】解：（1）是函数关系，正方形的边长x是自变量，面积S是x的函数． （2）是函数关系，时间t是自变量，游客离地面的高度h是t的函数． （3）是函数关系，时间t是自变量，气温T是t的函数． （4）是函数关系，月份x是自变量，降水量y是x的函数． 【归纳】识别函数关系中自变量的方法： （1）从关系式上判断，在变化过程中居于主动地位的变量是自变量； （2）从图象上判断，一般情况，横轴（x轴）上的量是自变量； （3）从表格上判断，一般情况，上方的变量（例如表格里的月份x）是自变量． 【设计意图】通过例题，帮助学生构建判断函数关系以及识别自变量的清晰思路，深化对函数概念的理解． 课堂练习 1．判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． （1）小明带了30元钱去某商店购买练习本，练习本的单价为2元/本，小明购买了x本，剩余y元； （2）一个圆柱的体积为100π cm3，底面圆的半径为R cm，高h随着底面半径R的变化而变化． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，及时纠正错误． 【答案】解：（1）是函数关系，x是自变量，y是x的函数． （2）是函数关系，R是自变量，h是R的函数． 2．举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数． 【师生活动】教师组织全班交流． 【答案】解：答案不唯一，如圆的周长随圆的半径的变化而变化，圆的半径是自变量，圆的周长是圆的半径的函数． 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对函数概念、变量之间的关系以及自变量识别方法的理解，同时通过自主举例，提升应用能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．函数的概念是什么？什么是自变量？什么是函数？函数和函数值有什么区别？ 2．如何在具体问题中识别函数关系？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第95页习题22.1第2题． 学科网（北京）股份有限公司 $