22.2 函数的表示（第2课时）教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦函数图象的分析与应用，通过北京春季气温图象导入，回顾函数定义，衔接上节课描点法画图象，引出非解析式函数需通过图象分析的主题，搭建知识支架。 以真实情境与分层任务落实核心素养，如气温图象提取信息培养几何直观（数学眼光），构建小明散步情境发展模型意识（数学语言），例题与练习提升学生分析及逆向思维能力，为教师提供可操作的数形结合教学范例。

22.2　函数的表示（第2课时） 教学目标 1．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，提高分析问题的能力，体会数形结合的思想，发展几何直观． 2．能根据给定的函数图象，从函数模型出发，构建合理的现实情境，培养逆向思维，体会函数模型与现实世界的紧密联系． 教学重点 利用函数图象解决实际问题． 教学难点 根据函数图象构建合理的现实情境． 教学过程 新课导入 【问题】上节课我们学习了根据解析式画函数图象，明确了用描点法画函数图象的一般步骤，并能从函数图象中看出函数与自变量的关系．今天我们来看一张自动测温仪记录的北京春季某天的气温图象，请你判断一下，它是函数的图象吗？如果是，其中的自变量和函数分别是什么？你能写出相应的函数解析式吗？ 【师生活动】教师引导学生依据函数的定义进行辨析：由图象可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与之对应．因此，自变量是时间t，气温T是时间t的函数，上图是这个函数的图象．经过进一步分析，师生共同明确：该图象是不规则曲线，无法写出解析式． 【引导语】对于像这样不易求出解析式的函数，如果能得到它的图象，通过图象也能得到有用信息，从而分析函数的变化规律． 【设计意图】以真实气温变化情境切入，激活学生对函数定义的再思考，自然引入本节课的研究主题——函数图象的分析，渗透数形结合的思想． 新知探究 【问题1】观察下图，你能从这张气温图象中得到哪些信息？ 【师生活动】教师引导学生从以下几个问题出发观察图象： （1）这一天什么时刻气温最低？什么时刻气温最高？ （2）哪个时间段气温呈下降状态？哪个时间段气温呈上升状态？ 学生独立思考，从图象中找出最低点与最高点对应的时刻和温度，以及气温上升和下降的阶段，学生共同口答，教师进行记录． 【答案】由图象可知： （1）这一天中凌晨4时气温最低（－3 ℃），14时气温最高（8 ℃）； （2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态． 【追问】你能看出这一天中任一时刻的气温大约是多少吗？请大家同桌两两配合：一人随机说出一天里的某个具体时刻，另一人观察图象，说出对应时刻的大约气温． 【师生活动】学生两两配合，发现可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少． 【设计意图】帮助学生感受在具体情境中从图象提取信息的基本方法，初步体会函数图象直观反映函数变化规律的优势． 例题精讲 【例】 如图①，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上．李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．图②反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 根据图象回答下列问题： （1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？ （2）李明吃早餐用了多长时间？ （3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？ （4）李明查资料用了多长时间？ （5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？ 【师生活动】教师首先引导学生观察图象，明确横轴表示李明离家的时间x，纵轴表示他离家的距离y，然后以一系列追问引导学生逐步分析． 【追问1】图象一共由几条线段组成？每条线段分别表示什么？为什么有两条线段是水平的？ 【师生活动】师生共同观察图象特征，明确图象由五条线段组成，每条线段代表李明一个阶段的活动，其中，8 min～25 min和28 min～58 min这两条线段是水平的．教师引导学生在水平线段上随意取点，发现两条水平线段上点的纵坐标分别相同，即此时离家的距离不变．由此得出李明在这两段时间分别停留在两处（对应“在食堂吃早餐”和“在图书馆查资料”的状态）． 【追问2】对于另外3条线段（非水平线段），线段两端点的横坐标差的绝对值、纵坐标差的绝对值分别表示什么实际意义？ 【师生活动】教师引导学生明确线段两端点的横坐标之差的绝对值表示相应活动所需的时间，而两端点的纵坐标之差的绝对值表示的是相应活动行走的路程． 【追问3】结合图象及上述分析，你能说出李明从“家—食堂—图书馆—家”的完整过程吗？ 【师生活动】学生独立思考，组内交流讨论，小组代表发言，教师点评完善． 【答案】解：（1）由纵坐标看出，食堂离李明家0.6 km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8 min． （2）由横坐标看出，25－8＝17，李明吃早餐用了17 min． （3）由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2 km；由横坐标看出，28－25＝3，李明从食堂到图书馆用了3 min． （4）由横坐标看出，58－28＝30，李明查资料用了30 min． （5）由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8 km；由横坐标看出，68－58＝10，李明从图书馆回家用了10 min，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08 km/min． 【归纳】分析由多条线段组成的函数图象的一般方法： （1）明确坐标轴的意义：明晰横轴和纵轴所表示的实际量及其单位； （2）识别水平线段：水平线段表示函数值不变，对应实际情境中的停留或静止状态； （3）分析非水平线段：理解线段两端点的横、纵坐标之差的绝对值的含义； （4）联系实际情境：将各段图象与活动过程一一对应，从而解决实际问题． 【设计意图】通过层层递进的提问，引导学生掌握从函数图象中读取信息的基本方法，理解图象中线段的实际意义，为后续分析具体问题奠定基础． 新知探究 【问题2】构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用下图中的两个图象来表示． 图① 图② 【师生活动】教师先引导学生明确坐标轴代表的变量，纵坐标s的单位是m，横坐标t的单位是min，所以可以在“路程—时间”这个范畴内构建情境，再接着分析图象的走势，判断函数值的变化，最后提取最值、交点、时间等关键信息．学生根据教师的引导，发挥想象力，构建合适的问题情境．教师组织全班交流． 【答案】问题情境不唯一．例如，图①的情境：小明晚饭后从家出发，以45 m/min的速度散步，走了20 min到达离家900 m的社区公园，然后按同样的速度原路返回，用时 20 min回到家．小明离家的距离和散步时间之间的函数关系可以用图①表示． 图②的情境：小明晚饭后从家出发，以45 m/min的速度散步，走了20 min到达离家900 m的社区公园，在公园的躺椅上休息了10 min，然后按60 m/min的速度原路返回，用时15 min回到家．小明离家的距离和散步时间之间的函数关系可以用图②表示． 【设计意图】通过根据图象构建实际问题情境，巩固学生对函数概念的理解，培养学生的读图能力、提出问题的能力以及发散思维． 课堂练习 1．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S与工作时间t的函数关系如图所示． （1）休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？ （2）园林队中间休息了多长时间？ （3）休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？ 【师生活动】学生独立思考，在学习任务单上完成解答，教师讲评． 【答案】解：（1）休息前，园林队工作了1 h，绿化面积为60 m2． （2）园林队中间休息了1 h． （3）休息后，园林队每小时完成的绿化面积是(160－60)÷(4－2)＝50(m2)． 2．如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象． （1）这一天内，北京与上海何时气温相同？ （2）这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？ （3）你还能从函数图象中得到哪些信息？ 【师生活动】教师先引导学生识别两条曲线分别代表北京和上海的气温，再通过找交点、比高低的方法，带领学生分析气温相同的时刻、气温不同的时段，最后鼓励学生从图象中挖掘额外信息（例如变化趋势等）．学生在学习任务单上完成解答，教师讲评． 【答案】解：（1）这一天内，上海与北京在7时与12时气温相同． （2）由图象知，上海在0时至7时，12时至24时这两段时间内比北京气温高；在7 时至12时这段时间内比北京气温低． （3）答案不唯一，如：这一天内，上海最高气温比北京最高气温高． 3．如图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关系可以用图中的图象来表示． 【师生活动】学生先观察图象，明确横、纵坐标以及转折点表示的含义，再结合生活经验（例如离家距离等）自主构建情境，组内交流讨论，小组代表发言，教师讲评． 【答案】解：答案不唯一，如：小明跑步去离家1 000 m的公园用了6 min，然后走路回家用了12 min，那么他离公园的距离与所用时间之间的函数关系可以用图中的图象表示． 【设计意图】通过这三道练习题，由浅入深、层层递进，既巩固了从图象提取信息、分析问题的能力，又通过逆向构建情境深化了对函数图象本质的理解，全面落实了“数形结合”的核心思想． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．如何从图象中获取信息，解决实际问题？ 2．根据函数图象，如何构建问题情境？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第108～109页习题22.2第4，9题． 学科网（北京）股份有限公司 $