22.1 第2课时 函数的定义及解析式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦函数的定义及解析式核心知识点，通过回顾上节课“水滴波纹面积随半径变化”的实例创设情境，提出问题搭建学习支架，引导学生从具体变量关系分析过渡到函数概念的抽象。 该资料特色在于以多情境实例（汽车行驶、潮高图像等）引导学生抽象函数本质，培养数学眼光；通过辨析“单值对应”深化概念理解，发展数学思维；结合油箱油量等实际问题构建解析式，提升数学语言表达能力。助力学生建立知识联系，帮助教师高效开展概念教学。

22.1 函数的概念 第2课时 函数的定义及解析式 课题 函数的定义及解析式 课型 新授课 教学内容 教材第92-94页的内容 教学目标 1.理解函数的概念，能准确判断具体问题中的自变量和函数. 2.能结合具体实例概括函数的概念. 3.在函数概念的形成过程中体会运动变化与对应的思想. 教学重难点 教学重点：函数的概念. 教学难点：对函数的概念中的“单值对应”含义的理解. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，提出问题 【引言】回顾上节课的知识：如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．通过上节课的学习，我们体会到万物皆变，变化过程中的两个变量，当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 研究变量之间的关系是把握变化规律的关键. 2.合作探究，形成概念 【问题1】下面各题的变化过程中，各有几个变量？其中一个变量的变化是怎样影响另一个量的变化的？ (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h. (2)电影票的售价为40元/张，设一场电影售出x张票，票房收入为y元.(3)水中涟漪(圆形水波)慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r，面积为S. (4)长方体的体积为1 000cm²，当长方体的底面积S分别为50 cm²，100 cm²，125 cm²时，高h分别为多少？h的值随S的值的变化而变化吗？ 师生活动:教师与学生一起分析变化过程(1)中变量之间的关系.在变化过程(1)的分析中，首先引导学生得出有两个变量t，s，然后是s随着t的变化而变化. 教师追问:s是怎样随着t的具体变化而变化呢?能用数值加以说明吗? 师生活动:教师引导学生取定t的一些值，计算s的对应值并列表: 行驶时间t/h 1 2 3 4 5 行驶里程s/(km/h) 60 120 180 240 300 当t的值取定后，s的值有一个且只有一个．也就是说，当t取定一个值时，s的值由t的值完全确定，而且唯一确定， 师生活动:引导学生对变化过程(2)(3)(4)进行类似于变化过程(1)的变量关系分析，并得到如下结论: 变化过程(1)有两个变量t，s，当t取定一个值时，s有唯一确定的值与之对应; 变化过程(2）有两个变量x，y，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与之对应; 变化过程（3)有两个变量r，S，当r取定一个值时，S有唯一确定的值与之对应; 变化过程（4）有两个变量s，h，当h取定一个值时，s有唯一确定的值与之对应. 【问题2】你能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗? 师生活动:教师引导学生归纳，变化过程中有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应，如由s =60t，当t=1，2，3时能分别求出唯一的s的值. 【问题3】潮沙是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象，我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h，这两个变量之间有什么关系? 师生活动：小组活动，合作讨论，然后进行交流． 学生分析：h和t两个变量之间是互相关联，互相影响的，对于t的每一个确定的值，变量h都有唯一确定的值和它对应，如t＝6:00时，h＝200；t＝24:00时，h＝300等． 【问题4】某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y，这两个变量之间有什么关系？ 师生活动：引导学生说出届数与金牌数的对应关系，体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值设计意图: 【问题5】综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？ 师生活动：上述每个实例中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有一个确定的值与之对应．师生共同总结函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 教师追问：请结合问题1(2)说说函数定义中“变化”“对应”“唯一确定”的含义. 师生活动:学生交流，教师引导学生进行点评，并顺势带出函数值的概念:设y是x的函数，如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为x时的函数值. 3.学以致用，应用新知 考点 函数的概念 【例1】下列变量之间不是函数关系的是 ( ) A.长方形的长一定，其面积与宽 B.正方形的面积与周长 C.等腰三角形的面积与底边的长 D.圆的面积与直径的长 答案：C 【例2】汽车油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)指出自变量x的取值范围； (3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为y＝50－0.1x. (2)仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数．行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有油量50，即0.1x≤50. 因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500. (3)汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30. 答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油． 像y=50一0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式， 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各式中，y是x的函数的是 ( ) A.y=4x-3　　　　　B.x-4=8 C.x2+2y=6y2 D.x+4y 答案：A （2）下列问题中，一个变量是不是另一个变量的函数?请说明理由. ①改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化; ②每分向一水池注水0.1 m3，注水量y(单位:m3)随注水时间x(单位:min)的变化而变化; ③秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积y(单位:m2)随这个村人数n的变化而变化; ④水池中有水10 L，此后每小时漏水0.05 L，水池中的水量V(单位:L)随时间t(单位:h)的变化而变化. （3）等腰三角形ABC的周长为10 cm，底边BC长为y cm，腰AB长为x cm. ①写出y关于x的函数解析式； ②求自变量x的取值范围． 解：①∵等腰三角形ABC的两腰相等，周长为10，∴2x＋y＝10. ∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋10. ②∵两边之和大于第三边，∴2x＞y.∴2x＞－2x＋10，即x＞2.5.∵y＞0，∴－2x＋10＞0，即x＜5. ∴自变量x的取值范围是2.5＜x＜5. （4）人心跳速度通常和人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数.经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a). ①上述关系中的常量和变量各是什么？ ②一个15岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多少？ 解：①变量是b，a，常量是0.8，220. ②把a=15代入b=0.8(220-a)，得b=0.8×(220-15)=164. 5.课堂小结，自我完善 (1)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. (2)函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义，还要注意问题的实际意义. (3)求函数值. 6.布置作业 教材P93练习第1,2题； 教材P5练习第1，2，3题. 通过引言教学，复习上一节课所学内容，提出本节课需要研究的问题，引起合理的选择性注意，起先行组织者作用. 在上节课问题的基础上提出新的问题，让学生在解决旧知的基础上再次认识变化过程中量之间的联系，初步概括变量的联动性. 通过师生共同讨论，分析问题1(1)中一个变量的变化对另一个变量变化的影响.在此基础上，学生独立进行问题1(2)(3)(4)变量之间对应关系的分析，为发现这些对应关系的共同特征，为实现函数概念的第一次概括提供归纳的样例. 对能用关系式表示的变量之间的对应关系的共同特征进行初步概括. 问题3让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图象也可以唯一确定另一个变量的值，突出函数的本质属性. 问题4让学生感受到当一个变量取定一个值时，可以通过查表唯一确定出另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性. 在前面分步概括的基础上，概括出三类不同表现形式的变量对应关系的共同特征，形成函数概念. 形成函数概念后，通过例题及时进行概念辨析，深化对函数概念的理解. 通过随堂训练，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.第（1）（2）题考查函数的概念；第（3）题考查函数解析式及自变量的取值范围；第（4）题考查对函数值. 学生相互交流，回顾函数的概念，共同发展提高. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 函数的概念 1．函数的概念 2．函数自变量的取值范围 3．函数值 例题 练习 教学反思 本节课的重点是让学生理解函数的概念.教学中先让学生体会实际问题中变量间用不同方式呈现出来的联系，再通过这些联系的共同点指出具有这种特点的关系叫作函数，并由此对函数概念进行辨析，达到深刻理解概念的目的.课堂教学思路清晰，详略安排得当，练习合理. 学科网（北京）股份有限公司 $