22.1 函数的概念（第3课时）教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦“函数的概念（第3课时）”，核心为函数解析式及自变量取值范围。课堂导入通过购买铅笔、步行上学等实际问题复习函数定义，引导学生用数学式子表示变量关系，搭建从函数定义到解析式的学习支架。 此资料特色在于以汽车耗油、水箱漏水等生活情境为载体，引导学生抽象函数解析式，培养用数学眼光观察现实世界的抽象能力。通过分析自变量取值范围（兼顾实际意义与数学意义）发展数学思维的推理意识，用解析式表达变量关系强化数学语言的模型意识。帮助学生建立函数应用观念，为教师提供清晰教学流程与实例，提升课堂效率。

22.1　函数的概念（第3课时） 教学目标 1．通过解决实际问题，理解现实世界中的运动变化现象可以用函数来刻画，并抽象出函数的解析式，体会数学的应用价值，激发学习数学的兴趣． 2．理解函数解析式的概念，能根据实际问题列出函数解析式，确定自变量的取值范围，求出函数值，体会变化与对应的思想，发展抽象能力． 教学重点 函数的解析式；自变量的取值范围． 教学难点 函数的解析式． 教学过程 新课导入 【问题】判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． （1）小明带了20元钱到某商店购买铅笔，铅笔每支2元，小明买了x支，剩余y元； （2）小华从家出发去学校，已知家与学校相距3 000 m，他步行的速度为100 m/min．记小华出发了t min，他与学校之间的距离为s m． 【师生活动】学生根据函数的定义一起口答：（1）中的两个变量之间是函数关系，x是自变量，y是x的函数；（2）中的两个变量之间是函数关系，t是自变量，s是t的函数． 【追问】你能用数学式子来表示上述函数关系吗？ 【师生活动】学生独立思考，尝试列出问题（1）和（2）中表示变量关系的式子并一起口答：（1）y＝20－2x；（2）s＝3000－100t． 【设计意图】通过复习函数的定义，引导学生从实际问题中抽象出两个变量之间的关系，为引出函数解析式的概念作铺垫，同时感受数学与生活的联系． 新知探究 【问题】汽车油箱中有汽油50 L．如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油0.1 L． （1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）指出自变量x的取值范围； （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 【师生活动】对于（1），教师引导学生分析：油箱里的油随着行驶路程的增加会慢慢消耗，所以剩余油量＝原有油量－耗油量，而耗油量＝行驶路程×每千米耗油量，即0.1x．学生根据教师引导自主写出函数解析式：y＝50－0.1x． 对于（2），教师提问：x有没有取值范围限制？是否可以取全体实数呢？学生分组讨论，明确行驶路程x不能为负数，行驶中的耗油量不能超过油箱中现有汽油量，师生共同列出不等式组： 教师强调：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义． 对于（3），教师提问：要求的是什么？学生明确要求的是当自变量x＝200时的函数值．教师强调：由（2）我们知道自变量x是有取值范围限制的，在代入计算之前要先检查x＝200是否在自变量的取值范围之内，只有数值在自变量的取值范围内，代入计算函数值才有意义． 【答案】解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中剩余的油量y是x的函数，它们的关系为y＝50－0.1x． （2）仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数．但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数．行驶中的耗油量为0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量50 L，即0.1x≤50． 因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500． （3）汽车行驶200 km时，油箱中剩余的汽油量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30． 因此，汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油． 【新知】像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式． 【设计意图】结合汽车耗油量这一真实生活情境，引导学生从“剩余油量＝原有油量－耗油量”的数量关系中抽象出函数解析式，并结合实际背景，确定自变量的取值范围，通过代入求值解决具体问题，让学生直观感受用函数解析式表达变化关系的意义，初步建立用函数模型解决实际问题的意识． 例题精讲 【例1】判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系，如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式． （1）水箱中原有水10 L，漏水速度为0.05 L/h，水箱中剩余的水量V（单位：L）随时间t（单位：h）的变化而变化； （2）绿水村的耕地面积是106 m²，这个村的人均耕地面积y（单位：m²）随人数n的变化而变化． 【师生活动】教师首先引导学生分析问题（1），明确哪两个量是变量．学生再独立思考，判断两个变量之间是否是函数关系，指出其中的自变量与函数．最后师生共同写出函数解析式．学生独立分析问题（2），尝试在学习任务单上完成解答，教师讲解． 【答案】解：（1）是函数关系，t是自变量，V是t的函数，V＝10－0.05t． （2）是函数关系，n是自变量，y是n的函数，y＝． 【归纳】写函数解析式的步骤： （1）明确自变量与函数； （2）找出数量关系，列等式； （3）将等式变形为用关于自变量的式子表示函数的形式． 【例2】求下列函数中自变量x的取值范围： 　　（1）y＝3x－2； （2）y＝； 　　（3）y＝； （4）y＝(x＋2)0． 【师生活动】教师引导学生分析不同形式的函数解析式对自变量的限制条件（分式的分母不为0，二次根号下的被开方数为非负数等），学生尝试求出自变量的取值范围，教师讲解并带领学生归纳不同类型函数自变量取值范围的确定方法． 【答案】解：（1）自变量x取全体实数． 　　（2）要使y＝有意义，分母1－x≠0，解得x≠1． 　　（3）要使y＝有意义，被开方数x＋3≥0，解得x≥－3． 　　（4）要使y＝(x＋2)0有意义，底数x＋2≠0，解得x≠－2． 【归纳】不同类型函数自变量取值范围的确定方法． 　　（1）分式型：函数解析式中含分式时，要注意分母不为0． 例如y＝，x＋2≠0． 　　（2）根式型：函数解析式中含有二次根式时，要注意被开方数大于等于0． 例如y＝，x－5≥0． 　　（3）零次幂型：函数解析式中含有零次幂时，要注意幂的底数不为0． 例如y＝(x－1)0，x－1≠0． 【设计意图】通过例题讲解，引导学生逐步掌握函数解析式的书写步骤，归纳自变量取值范围的确定方法，进而深化对函数概念的理解，提升数学分析与应用能力． 课堂练习 1．梯形的上底长为2 cm，高为3 cm，下底长x（单位：cm）大于上底长但不超过5 cm，写出梯形面积S（单位：cm²）关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，及时纠正错误并进行讲评． 【答案】解：S＝，即S＝＋3，2＜x≤5． 2．举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变量的取值范围． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】答案不唯一，如：甲、乙两地相距300 km，一辆汽车以60 km/h的速度从甲地出发匀速驶向乙地，那么汽车距乙地的距离s（单位：km）是时间t（单位：h）的函数，s＝300－60t，0≤t≤5． 【设计意图】通过实际问题以及让学生自主举例，深化学生对函数解析式以及自变量取值范围的理解与应用． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．你能根据实际问题列出函数解析式吗？ 2．如何确定函数自变量的取值范围？ 3．如何求函数值？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第96页习题22.1第3，4，5，6，7题． 学科网（北京）股份有限公司 $