22.1 第3课时 函数的解析式 教学设计 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第3课时 用函数解析式表示函数关系一、学习目标 1. 理解函数解析式（解析法）的定义，明确其在表示函数关系中的作用； 2. 3. 掌握用函数解析式表示函数关系的方法和步骤，能结合实际情境列出函数解析式； 4. 5. 能根据函数解析式分析自变量与因变量的关系，会根据自变量取值求因变量的值； 6. 7. 结合常量、变量和函数的概念，提升抽象概括和数学建模能力，体会解析式在描述变化规律中的简洁性。 8. 二、情境引入（衔接旧知，铺垫新知） 我们已经学习了常量、变量和函数的概念，也知道解析法是函数的三种表示方法之一。在实际生活中，很多函数关系都可以用简洁的数学式子来表示，例如： 1. 汽车匀速行驶，速度为60千米/小时，行驶时间$$t$$（小时）与路程$$s$$（千米）的关系的可以表示为$$s=60t$$； 2. 3. 购买单价3元的笔记本，购买数量$$n$$（本）与总花费$$y$$（元）的关系可以表示为$$y=3n$$； 4. 5. 正方形的边长为$$a$$（cm），边长与面积$$S$$（$$cm^2$$）的关系可以表示为$$S=a^2$$。 6. 思考：这些数学式子有什么共同特点？它们如何清晰地体现自变量、因变量和常量之间的关系？我们如何根据实际情境，列出这样的函数解析式？ 三、核心概念（重点掌握） 1. 函数解析式的定义 文字语言：用含有自变量的数学式子（等式）表示两个变量之间的函数关系，这种式子叫做函数解析式，也叫函数表达式，是解析法的核心形式。 关键解读： ① 解析式的核心是“等式”，等式的一边是因变量（单独出现），另一边是含有自变量的代数式； ② 解析式中，通常用$$x$$表示自变量，$$y$$表示因变量，也可根据实际情境用其他字母（如$$t$$、$$s$$、$$n$$等）表示； ③ 解析式中一定包含自变量和因变量，往往还包含常量，常量是连接二者的固定数值。 举例： - 路程与时间：$$s=60t$$，其中$$t$$（自变量）、$$s$$（因变量）、60（常量）； - 总花费与数量：$$y=3n$$，其中$$n$$（自变量）、$$y$$（因变量）、3（常量）； - 一次函数：$$y=2x+5$$，其中$$x$$（自变量）、$$y$$（因变量）、2和5（常量）。 2. 函数解析式的书写要求（易错点） 1. 格式规范：因变量单独写在等式左边，自变量的代数式写在右边，等式两边必须是等量关系； 2. 3. 化简要求：解析式需化简为最简形式（不含同类项、括号展开），如$$y=2x+3x$$需化简为$$y=5x$$； 4. 5. 符号规范：数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号可省略（如$$3\times n$$写作$$3n$$）；字母与字母相乘时，乘号也可省略（如$$x\times y$$写作$$xy$$）； 6. 7. 分母要求：解析式中，自变量不能出现在分母（初中阶段，后续将学习例外情况），如$$y=\frac{5}{x}$$暂不要求掌握； 8. 9. 实际意义：结合实际情境，解析式需符合现实逻辑，如购买数量、边长等不能为负数，因此自变量取值范围需合理。 10. 关键提醒：函数解析式是“唯一对应”关系的体现，对于解析式中自变量的每一个合理取值，因变量都能通过解析式计算出唯一确定的值。 四、用函数解析式表示函数关系的步骤（核心方法） 结合实际情境，列出函数解析式通常分为4个步骤，简单记为“找、设、列、化”： 1. 找关系（找等量） 分析题目中的实际情境，找出因变量与自变量之间的等量关系（这是列解析式的核心）。 举例：“剩余钱数=总钱数-总花费”“路程=速度×时间”“面积=长×宽”。 2. 设变量（设字母） 明确哪个量是自变量，哪个量是因变量，用合适的字母表示出来（通常自变量用$$x$$，因变量用$$y$$，也可结合情境用其他字母，如时间用$$t$$，路程用$$s$$）。 举例：设购买数量为$$n$$（本）（自变量），总花费为$$y$$（元）（因变量）。 3. 列等式（列解析式） 根据找出的等量关系，将常量、自变量代入，列出等式，确保因变量单独在等式左边。 举例：总钱数100元，单价8元，等量关系“剩余钱数=总钱数-总花费”，总花费=8$$n$$，列等式为$$w=100-8n$$（$$w$$为剩余钱数）。 4. 化最简（验规范） 将列出的等式化简为最简形式，检查书写格式是否规范，是否符合实际情境的逻辑。 举例：$$y=2x+3x-1$$化简为$$y=5x-1$$，检查数字与字母的书写规范。 五、典型例题（巩固应用，深化理解） 例1（基础应用：简单实际情境列解析式） 根据下列情境，列出函数解析式，并说明自变量、因变量和常量。 教学设计 教学目标 课题 22.1 第3课时用函数解析式表示函数关系 授课人 素养目标 1.能根据实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制，增强数学建模意识. 2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法. 教学重点 列函数解析式，确定自变量的取值范围. 教学难点 较复杂问题中函数解析式的确定及代值求解. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：设问引导，新课导入 【问题引入】 已知一个正方形，其边长为5cm，若边长增加 xcm，设相应的周长增加 ycm，则y是x的函数吗?如果是，它们之间的函数关系应该怎么表示呢? 答：y是x的函数.理由：y随x的变化而变化，每当x 取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数. 正方形边长增加前，其周长为5×4=20(cm)；边长增加后，其周长为4(5+x)=(20+4x) cm,所以y=(20+4x)-20=4x,即它们之间的关系可以用等式y=4x表示. 根据题意，我们不难得到y=4x这一相等关系，用到的则是上一节课求函数关系式的方法.可以发现，变量x与y集中在一个用等号连接的式子中，且对于每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，这样就用函数把变量之间的关系表示出来了.这节课我们将进一步学习用这种方法表示函数关系. 【教学建议】 学生自主作答，在潜移默化中完成列函数解析式这一过程，教师进行总结，顺势完成铺垫新课这一教学目的. 设计意图 设问引导学生列函数关系式表示变量之间的关系，从而引入新课. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 用函数表示数量之间的关系 例1 (教材P94例2)汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L/ km. (1)写出表示 y与x 的函数关系的式子； (2)指出自变量x的取值范围； (3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油? 解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中剩余的油量y 是x的函数.它们的关系为y=50-0.1x. (2)仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数.但是考虑到x 代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量 50L,即0.1x≤50. 因此,自变量 x 的取值范围是0≤x≤500. (3)汽车行驶200km时,油箱中剩余的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.将x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1×200=30. 因此，汽车行驶200km时，油箱中还有 30L 汽油. 概念引入：像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一点评并提醒学生注意以下几点： ①对于函数解析式，可列出实际问题中的等量关系或结合相关公式，将各个量用常数或含变量的式子表示，经过适当变形即可得到函数的解析式(注意不要用错公式)； ②对于自变量的取值范围，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义； ③求函数值时，要确认自变量的取值是否在它的取值范围内. 设计意图 由已知条件，结合等量关系列出函数的解析式，根据实际意义确定自变量的取值范围，并进一步考查通过解析式求函数值. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 例2 写出下列函数中自变量x 的取值范围. (1)y=2x-3; 解:(1)x 为任意实数;(2)x≥1;(3)x≠-0.5. 【对应训练】 1.写出下列函数中自变量x的取值范围. 解:(1)x 为任意实数;(2)x≠2. 2.教材P95 练习. 活动三：重点突破，提升探究 例3 如图，在一个长为15cm、宽为10cm的矩形纸板的四个角上，都剪去大小相同的小正方形，剩余部分为一个十字形纸板(图中阴影部分).当小正方形的边长x(单位：cm)由小到大变化时，剩余部分的面积S(单位：cm²)也随之发生变化. (1)哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出题中存在的函数解析式及自变量的取值范围. (2)当小正方形的边长为3cm时，求阴影部分的面积. 解：(1)x是自变量，S是自变量的函数.由剩余部分的面积=矩形的面积-4个小正方形的面积，得S=15×10-4x²,即 因为剩余部分为十字形纸板， 所以小正方形的边长x 应满足x>0且 10-2x>0. 因此，自变量 x 的取值范围是0<x<5. 所以 S关于x 的函数解析式为 (2)将x=3代入 S=150-4x²,得 所以当小正方形的边长为3cm时，阴影部分的面积为114 cm². 【教学建议】 学生独立思考完 成，教师公布答案.并提醒学生注意：①不要将常用公式混淆，导致 解 析 式 错 误；②在求自变量的取值范围时，应结合剩余部分为十字形考虑. 设计意图 结合常用公式解决几何图形中的函数问题. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你能根据实际问题列函数解析式吗?举例说明. 2.确定函数中自变量的取值范围时应注意哪些问题?你会求函数的值吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P96习题22.1第3,4,7题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 22.1 函数的概念 第 3课时用函数解析式表示函数关系 1.函数解析式. 2.函数自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②满足问题的实际意义. 3.求函数值. 教学反思 列函数解析式是函数学习的基础，初学时不应过度拔高，应以理解为主，辅以简单的实际背景可使学生感受数学来源于生活.实际教学时应从符号抽象度、建模准确度、实际应用度这三个维度进行展开，使学生理解解析式作为函数关系“压缩包”的高效性，从而增强主动学习的意愿. 学科网（北京）股份有限公司 备课素材 解题大招 解题大招一 求函数自变量的取值范围 ①要使函数的解析式有意义： a.函数的解析式是整式时，自变量可取任意实数； b.函数的解析式中含有分式时，自变量的取值应使分式的分母不为0； c.函数的解析式中含有二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于等于0； d.函数的解析式中含有零次幂时，自变量的取值应使零次幂的底数不为0； e.函数的解析式中含有负整数指数幂时，自变量的取值应使负整数指数幂的底数不为0. ②对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义. 注意：(1)函数的概念中包含三个要素： ①自变量的取值范围； ②两个变量之间的对应关系； ③后一个变量被唯一确定. (2)自变量与函数用什么字母表示无关紧要. (3)已知函数解析式，当自变量确定时，函数值也唯一确定；当函数值确定时，自变量不一定唯一确定.例1 下列函数中，自变量的取值范围错误的是(D) 中,x为任意实数 中,x≠-1 中,x≥2 中,x≥-3 解析：D选项中自变量的取值范围应是x>-3，故此选项错误.故选 D. 解题大招二 利用函数解析式求值 例2 按如图所示的程序计算函数y的值，若输入x 的值为-3，则输出y的值为 18 . 分析：根据-3<-1确定出应代入 中，再计算出y的值. 解析:因为-3<-1,所以将x=-3代入 得 故答案为 18. 培优计划 培优点 列函数解析式解决规律探究题 例 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放. (1)第5个图形有多少枚黑色棋子? (2)记第n个图形的黑色棋子枚数为y，试写出y关于n的函数解析式. (3)第几个图形有2025枚黑色棋子? 解：(1)因为第1个图形有6枚黑色棋子，第2个图形有9枚黑色棋子，第3个图形有12枚黑色棋子，第4个图形有15枚黑色棋子，所以第5个图形有18枚黑色棋子. (2)y=3n+3. (3)将y=2025代入y=3n+3,得3n+3=2025,解得n=674. 所以第674个图形有2025枚黑色棋子. 学科网（北京）股份有限公司 $