2025--2026学年人教版八年级数学下册 综合自测题（2）

**基本信息** 八年级下学期数学综合自测卷，通过10道单选、6道填空及9道解答题，以二次根式、直角三角形、函数图像等知识为载体，融入箱线图分析、动态几何旋转等情境，考查抽象能力、数据意识与推理能力，实现基础与创新的梯度覆盖。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式、直角三角形判断、函数图像、箱线图分析|第4题箱线图考查数据意识，第7题矩形内正方形面积问题体现几何直观| |填空题|6/18|二次根式计算、正多边形外角、方差、函数图像交点|第14题机器人障碍测试函数图像，结合科技情境考查模型意识| |解答题|9/72|统计分析、几何应用、函数综合、动态几何探究|第25题动态几何旋转探究，考查推理能力与创新意识；第19题手机使用时长统计，强化数据观念|

八年级数学下学期 综合自测题（2） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ） 1.下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（       ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 A 【解析】 最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 【解答】 解：，无法再开方，它们是最简二次根式； ，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式； 则最简二次根式共2个， 故选：A. 2.的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 结合三角形内角和定理、勾股定理逆定理、三角形三边关系逐一判断选项即可 【解答】 解：A、， 又， ，得， 是直角三角形，A符合要求； B、设，，， ，， ，不能构成直角三角形，B不符合要求； C、所有三角形的内角和都为180°，该条件无法判定是直角三角形，C不符合要求； D、设，，， ，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能构成三角形，D不符合要求。 故选：A. 3.已知点、、在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据题意可得当x=-1时的函数值与x=1时的函数值相等，且x=1时的函数值大于x=2时的函数值，据此结合函数图象可得答案. 【解答】 解：∵ 点A(-1,m)、B(1,m)、C(2,m-1)在同一个函数的图象上， ∴ 当x=-1时的函数值与x=1时的函数值相等，且x=1时的函数值大于x=2时的函数值， ∴ 四个函数图象中，只有B选项中的函数图象符合题意. 故选：B.  4.在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（        ） A.1班中位数班中位数 B.1班方差班方差 C.1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D.若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 【答案】 D 【解析】 根据箱线图读取两个班级的中位数、四分位数及极差等统计量，结合方差的定义及百分位数的概念逐项判断即可. 【解答】 解：由箱线图可知：1班的中位数大于120，2班的中位数小于120， ∴ 1班中位数＞2班中位数，故A错误； 由图可知，2班数据的极差（最大值减最小值）及四分位距（箱体长度）均大于1班，数据分布更分散， ∴ 1班方差＜2班方差，故B错误； 虽然2班得分低于105分的比例大于25%，1班得分低于105分的比例小于25%， 但两个班级的总人数未知，无法比较具体人数，故C错误； 若每班都有50个学生，将成绩从高到低排列， ∵ 50×25%=12.5 由图可知，1班的上四分位数小于2班的上四分位数， ∴ 2班的第13名分数高于1班的第13名，故D正确. 故选：D. 5.如图，在中，， 平分交 于点，则的度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由平行线的性质可得 ，再由角平分线的定义可得 ，然后结合平行分线的性质即可得到 的度数. 【解答】 解：在 中， ， ，则 ， 平分 交BC于点E， ，又 ， 故选：C.  6.已知点、在一次函数图象上，且，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查一次函数的增减性，先比较两点横坐标的大小，结合函数值的大小关系判断一次函数的增减性，再根据一次函数性质得到关于m的不等式求解即可. 【解答】 解： ，且 一次函数 中，y随x的增大而增大. 根据一次函数的性质，当y随x增大而增大时，一次项系数大于0， 可得m-1>0， 解得m>1. 故选：A.  7.如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为，和，则图中阴影部分的面积为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 将面积为和的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案. 【解答】 解：将面积为和的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示： 则阴影面积 故选. 8.哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（        ）． A.他们家与学校之间的距离为米 B.哥哥与弟弟相距的最大距离是米 C.点时弟弟的步行时间为分钟 D.的函数表达式为 【答案】 D 【解析】 根据在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断A选项；根据路程=速度差×时间求出A点时哥哥与弟弟相距的最大距离即可判断B；设坐标B(t,a)，利用弟弟在AB段和BC段的路程=速度×时间列关于t和a的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出BC的函数表达式即可判断D选项. 【解答】 解：∵ 哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴ 在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴ 点A表示哥哥已经到达学校，此时哥哥已经骑行了150×5=750(m)， ∴ 他们家与学校之间的距离为750m， ∴ A选项正确，不符合题意； 哥哥与弟弟相距的最大距离是(150-50)×5=500(m)， ∴ B选项正确，不符合题意； 设坐标B(t,a)， 根据题意，得 ，解得 ， ∴ B点时弟弟的步行时间为9分钟， ∴ C选项正确，不符合题意； 设BC的函数表达式为y=kx+b， 将坐标B(9,300)和C(12,0)分别代入y=kx+b， 得 ，解得 ， ∴ BC的函数表达式为y=-100x+1200， ∴ D选项错误，符合题意. 9.已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（       ） A.方程组的解为 B. C.为直角三角形 D.当的值最小时，点的坐标为 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称-最短路径问题，勾股定理及逆定理，正确地求得函数解析式是解题的关键．A、根据题意 得到方程组 的解为 ，故不符合题意；B、把 ， 代入 解方程组得到直线 ，求得直线 的解析式为 ，把 ，代入 得得到直线 ，解方程组得到 ，得到 ，根据三角形的面积公式得到 故符合题意；C、解方程得到 ，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到△AED为直角三角形；不符合题意；D、作点 故 轴的对称点 连接 交 轴于 此时， 的值最小，设直线 的解析式为 ，解方程组得到直线 的解析式为 ，当 时， 得到 ，不符合题意，据此解答即可. 【解答】 解：A、直线 与直线 都经过 方程组 的解为 ，故此选项正确，不符合题意； B、直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线 经过 解得， 直线 直线 直线 且经过原点， 直线 的解析式为 把 代入 得， 直线 解 得 , 在 中，令 ，则 ，解得 故此选项错误，符合题意； C、在 中，令 ，则 ∴ 为直角三角形，故此选项正确，不符合题意； D、 直线 交 轴于点 , 如图，过点 作 轴的对称点 连接 交 轴于 ，此时， 的值最小， 设直线 的解析式为 直线 的解析式为 当 时， 故此选项正确，不符合题意； 故选：B. 10.如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 连接PF，由四边形ABCD为矩形，则AD BC， ，故有 ，然后证明 ，则 OE=OF，从而得BD垂直平分EF，得到PE=PF，要使PA+PE有最小值，则需A、P、F三点共线，最后通过勾股定理即可求解. 【解答】 解：如图，连接PF， 四边形ABCD为矩形， 为BD中点， 垂直平分EF， 要使PA+PE有最小值，则需A、P、F三点共线， 如图， 矩形ABCD中， AB=4， CF=3， 过对角线BD的中点O作BD的垂线交AD于点E，交BC于点F， 垂直平分BD， 的最小值为 故选：B. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.计算：________． 【答案】 【解析】 本题考查了二次根式的运算,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键. 利用平方差公式，将原式转化为幂的乘积形式，结合指数运算法则简化计算. 【解答】 解；原式 故答案为: . 12.一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正___八_____边形． 【答案】 八 【解析】 利用外角和除以单个外角的度数，即可得到正多边形的边数 【解答】 解：由题意得，该正多边形的边数 因此这个正多边形是正八边形. 故答案为: .  13.已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差的和为_____49________． 【答案】 【解析】 根据平均数及方差知识，直接计算即可. 【解答】 数据，，，，的平均数是， ，即， ，，，，的平均数为： ， 数据，，，，的方差是， ， 即，， ，，，，的方差为： ， ， ， ， ， 平均数和方差的和为， 故答案为： 14.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是__40_____秒． 【答案】 40 【解析】 先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数 ；再分三段分析乙的运动，求出乙在 、 、 时三个时间段的分段距离函数；最后在 的阶段令 列方程求解，得到甲乙第二次相遇的时间. 【解答】 解：甲的函数关系： 由图可知：甲匀速走100m用时50s， 甲的速度 ， 甲距离起点的距离为： 乙的分段函数关系： 由图可得： 乙前10秒走25m， 乙原来的速度 ； 当 时，乙距离起点的距离为： ； 当 时（摔倒调整8秒，到 秒），乙静止，乙距离起点的距离为： ； 当 时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为： ； 第二次相遇： 时，令 ， 即： ， 解得 ，符合范围， 因此甲乙第二次相遇的时间是40秒. 故答案为:40 . 15.如图，直线与在第二象限交于点，交轴于点．若，，则方程组的解为____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，从而得到点的坐标为，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可解答． 【解答】 解：过点作于点， ， ， ， ， 又点在第二象限， 点的坐标为， 方程组的解为， 故答案为：．   17.如图，在菱形中，，与交于点O，点为延长线上的一点，与，分别交于点，，且，连接和，，则以下4个结论：①；②平分；③；④，正确的序号是________． 【答案】 【解析】 利用菱形的性质求出 ，得到 ，即可判断 ① ；求得 ，推出CB平分 ，即可判断 ② ；过E作EG AB于G，求得 ，得到 ，再根据BE=2EG，由菱形的轴对称得 ，即可判断 ④ ；利用同底等高三角形的面积相等得到 ，即可判断 出CB平分 ，即可判断 ②；过E作EG AB于G，求得 ，得轴对称得AE=CE，即可判断 ④。 【解答】解： 在菱形ABCD中， ，AC与BD交于点O， ，故 ①正确； 在菱形ABCD中， 平分 ，故 ②正确； 过E作EG AB于G， 即 四边形ABCD是菱形， 由轴对称得AE=CE, 故 ④正确； 故 ③错误. 三、解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.计算： （1） （2） 【答案】 7 【解析】 （1）根据二次根式的混合运算法则计算； （2）根据平方差公式和二次根式的运算法则计算即可. 【解答】 （1）解：原式 （2）解：原式 18.过n边形的一个顶点可以引出m条对角线． （1）当时，____4____； （2）小高计算出一个多边形的内角和为，通过计算说明小高的计算结果正确吗？ 【答案】 4 【解析】(1)根据 边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可得 ，求出 的值； (2)先根据多边形内角和定理求出 的值，然后进行判断即可. 【解答】(1)解：边形从一个顶点出发可引出 条对角线， 当 时，可引出 条对角线， 故 . (2)已知这个多边形的边数为n，依题意 ， 解得 ， 为不小于3的正整数， 小高的计算结果不正确. 19.某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                           b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 （1）表中的值为   17   ，的值为  16.5   ，   ＜    （填“”“”或“”）； （2）根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为      ． 【答案】 17，16.5，＜ 乙，丁，丙，甲 【解析】 （1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和15比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数. 【解答】 （1）解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 12、12、13、16、16、17、19、21、21、23， 共有10个数据，其中第5和第6个数据是16和17， ∵ 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为 ， ∴ ； （2）解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是17，乙和丁的平均数都是16， ∴ 乙和丁优先， ∵ 甲的方差是15，丙的方差是14， ∴ 丙比甲优先， ∵ 乙和丁的方差都是7.8， ∵ 乙的中位数是15，丁的中位数是16.5， ∴ 乙使用时长小于平均数的次数较多， ∴ 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲. 20.如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． （1）求梯子的底端距墙角多少米？ （2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 【答案】 0.7米 0.8米 【解析】 （1）在Rt 中，根据勾股定理直接求解即可； （2）在Rt 中，根据勾股定理，然后根据求解即可. 【解答】 （1）解：在Rt 中，，，， ， 答：梯子的底端到墙角的距离为0.7米； （2）解：根据题意，得，， ， 在Rt 中，， ， ， 答：的长为0.8米. 21.体育场跑道上，起点到终点的距离为1000米，小红沿跑道从跑到，停留5分钟后再原路返回，期间小红离开处的路程 (米)与离开处的时间(分)之间的函数关系如图中折线所示． （1）求去程时 关于的函数表达式，并写出取值范围； （2）已知返程的时间共15分钟，其中前10分钟内的平均速度与后5分钟内的平均速度之比为，试求点 的纵坐标． 【答案】 500 【解析】 （1）先求得小红沿跑道从S跑到T用时5分钟，再求出从S跑到T的速度，从而得解； （2）设返程时前10分钟内的平均速度为m米/分钟，则后5分钟内的平均速度为2m米/分钟，再返回路程是1000米列出方程求出m，可知BC段的解析式，再将x=20代入计算即可. 【解答】 （1）解： 停留5分钟后再原路返回，由图可知10分钟时原路返回， 小红沿跑道从S跑到T用时5分钟， 从S跑到T的速度是： （米/分钟） 去程时y关于x的函数表达式为： （2）解：设返程时前10分钟内的平均速度为m米/分钟，则后5分钟内的平均速度为2m米/分钟， ， 解得： BC段的解析式是： ， 当x=20时，y=1500-50\times20=500， 点C的纵坐标为500. 22.某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． （1）求，两款帆布袋的单价分别为多少元． （2）某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】 两款帆布袋的单价分别为8元和5元 当购买 款帆布袋4个， 款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【解析】 （1）设 ， 两款帆布袋的单价分别为 元， 元，根据题意列出方程组 ，解得即可； （2）设购买 款帆布袋 件，则购买 款帆布袋（ ）件，根据题意列不等式，求得 的取值范围，设总费用为 元，写出 与 的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答. 【解答】 （1）解：设 ， 两款帆布袋的单价分别为 元， 元， 由题意得： 解得： ， 两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买 款帆布袋 个，则购买 款帆布袋（ ）个，设总费用为 元， 随 的增大而增大． 购进 款帆布袋的数量不少于 款帆布袋数量的 且 为正整数， 当 时， 有最小值，最小值为 此时 购买 ， 两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元.  23.如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积） ，（是的面积） ，（是的面积） … （1）请用含有（为正整数）的式子填空：_____，_____； （2）在线段，，，，中，长度为正整数的线段共有___45__条； （3）求的值． 【答案】 ; 45; 88. 【解析】 本题考查了数字规律，二次根式的化简，解题的关键是： (1)根据已有的等式，抽象出相应的数字规律来求解； (2)通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数. 分析2025最接近哪个正整数的平方. (3)代入化简整理求值即可. 【解答】(1)解：观察所给式子： 以此类推，可得 . 对于 以此类推，可得 （为正整数）. 故答案为：. (2)解： 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 当 （为正整数）时， 1到2025有45个完全平方数， 线段 ，中，长度为正整数的线段共有45条. 故答案为：45. (3)解：原式 . 24.如图， 直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与交于点C．     (1)求的面积； (2)在平面直角坐标系中是否存在一点 D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点 是x轴上的动点， 过点P作x轴的垂线， 分别交直线， 于点 M， N． 当时，求m的值． 【答案】 5 【解析】 先分别求出A、B、C的坐标，再根据坐标与图形的性质，三角形的面积公式求解即可； (2)存在，点D的坐标（-1，-2）或（7，2）或（-3，2） (3) 或3 (2) 分三种情况： ①以AB为对角线，BC，AC为边的平行四边形ACBD， ②以BC为对角线，AB，AC为边的平行四边形ABDC， ③以AC为对角线，AB，BC为边的平行四边形ABCD，利用平行四边形的性质，平移的性质求解即可； 2. m分别代入直线 ，直线 ，求出点M、N的坐标，再根据PM=MN，建立关于m的方程求解即可. 【解答】 (1) 解：对于直线 令y=0，则 解得：x=-2， 对于直线 令y=0，则-2x+6=0， 解得：x=3， 联立，得 ，解得： (2) 解：分三种情况：如图， ①以AB为对角线，BC，AC为边的平行四边形ACBD，则AC沿CB平移可得DB， 点C向右平移1个单位，向下平移2个单位，与点B重合. 点A向右平移1个单位，向下平移2个单位，得到点D， ②以BC为对角线，AB，AC为边的平行四边形ABDC，同理可得点D（7，2） ③以AC为对角线，AB，BC为边的平行四边形ABCD，同理可得点D（-3，2）. 综上，存在，点D的坐标为（-1，-2）或（7，2）或（-3，2） （3）解： 过点P作x轴的垂线，分别交直线 于点M，N. P(m,0)， 的横坐标为m， 把x=m代入直线 得 代入直线 得 解得：m=或3. 25.已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． (1)如图1，为边上一点，当时，求线段的长； (2)如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； (3)如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 【答案】 【解析】 过点E作ET AD于点T，可得 是等腰直角三角形，AB=AE=1，可证 是等腰直角三角形，得到 在Rt 中， ，则EF=2ET ，即可求解； (2)延长AM到点A'，使AM=AM，连接AP， ，延长 交BA的延长线于点Q，先证明 ，得出AE=AB= ，AE ，再证明 ，可证明 ，得出AP=AP， ，再证明 是等腰直角三角形，即可证明； (3)取BC中点K，将AK绕点A逆时针旋转45°，得AK'，连接KK'，RK'，通过证明 ，得出 ，再求证 ，即点K、K'、R共线，证明KR ，得出点R的轨迹为过线段BC中点且平行于AB的直线KR上，过点D作直线KR的对称点D'，连接CD'，由对称得DR=D'R，则CR+DR=CR+D'R ，当且仅当C、R、D'依次共线时，CR+DR取得最小值CD'，此时，过点R作RL CD于点L，过点C作CV RK于点V，通过计算求出 ，再计算出 ，CH=KC-KH= ，作点R关于BC的对称点W，在AD上取点S，使AS=CH= ，设RH交AD于点I 是平行四边形，得出AH'=SC'，则 交AD于点J，过点C作 CX AD于点X，利用四边形AHCS是平行四边形，得出AH'=SC，则 由两点之间最短距离得 ，当且仅当S、C、W依次共线时 取得最小值SW，再进行计算即可. 【解答】 解：如图所示，过点E作 于点T. AB AE, ， 是等腰直角三角形， 四边形ABCD是平行四边形， .AD BC 是等腰直角三角形， . 在Rt 甲， EF=2ET= (2) 解： ，理由如下 如图，延长AM到点 ，使 ，连接 ， ，延长 交BA的延长线于点Q， 在 和 中 由旋转知 即 是等腰直角三角 ∴ （3）解：取BC中点K，将AK绕点A逆时针旋转 ，得 ，连接 由旋转得 平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，K为BC中点， (3) 解：取BC中点K，将AK绕点A逆时针旋转45°，得 由旋转得 平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，K为BC中点， 点K、 、R共线， 点R的轨迹为过线段BC中点且平行于AB的直线KR上 由对称得 ，当且仅当C、R、 依次共线时， 取得最小值 此时点R位置如图，过点R作RL CD于点L，过点C作CV RK于点V KR AB， 由对称得 四边形CLRV是矩形， 作点R关于BC的对称点W，在AD上取点S，使 ，设RH交AD于点J，过点C作CX AD于点X， 四边形AH'C'S是平行四边形， 由两点之间最短距离得 ，当且仅当S、C、W依次共线时 取得最小值SW， 由（1）知AD与BC间的距离为 ，平行四边形中 ，AD BC， 四边形CHJX是矩形， 的最小值为 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期 综合自测题（2） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（       ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（       ） A. B. C. D. 3.已知点、、在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（        ） A. B. C. D. 4.在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（        ） A.1班中位数班中位数 B.1班方差班方差 C.1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D.若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 5.如图，在中，， 平分交 于点，则的度数为（        ） A. B. C. D. 6.已知点、在一次函数图象上，且，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 7.如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为，和，则图中阴影部分的面积为（       ） A. B. C. D. 8.如图，在四边形中，，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止．设点的运动路程为，的面积为，得到如图所示的函数图象，则对角线的长为（        ）． A. B. C. D. 9.已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（       ） A.方程组的解为 B. C.为直角三角形 D.当的值最小时，点的坐标为 10.如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.计算：________．  12.一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正________边形． 13.已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差的和为_____________． 14.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是________秒． 15.如图，直线与在第二象限交于点，交轴于点．若，，则方程组的解为____________． 16.如图，在菱形中，，与交于点O，点为延长线上的一点，与，分别交于点，，且，连接和，，则以下4个结论：①；②平分；③；④，正确的序号是________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1） （2） 18.(6分) 过n边形的一个顶点可以引出m条对角线． （1）当时，________； （2）小高计算出一个多边形的内角和为，通过计算说明小高的计算结果正确吗？  19.(6分) 某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                           b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 （1）表中的值为      ，的值为      ，      （填“”“”或“”）； （2）根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为      ．  20.(7分) 如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． （1）求梯子的底端距墙角多少米？ （2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长．  21.(8分) 体育场跑道上，起点到终点的距离为1000米，小红沿跑道从跑到，停留5分钟后再原路返回，期间小红离开处的路程 (米)与离开处的时间(分)之间的函数关系如图中折线所示． （1）求去程时 关于的函数表达式，并写出取值范围； （2）已知返程的时间共15分钟，其中前10分钟内的平均速度与后5分钟内的平均速度之比为，试求点 的纵坐标．  22.(8分) 某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． （1）求，两款帆布袋的单价分别为多少元． （2）某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？  23.(9分) 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积） ，（是的面积） ，（是的面积） … （1）请用含有（为正整数）的式子填空：_____，_____； （2）在线段，，，，中，长度为正整数的线段共有_____条； （3）求的值． 24.（10分）如图， 直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与交于点C．     (1)求的面积； (2)在平面直角坐标系中是否存在一点 D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点 是x轴上的动点， 过点P作x轴的垂线， 分别交直线， 于点 M， N． 当时，求m的值． 25.（12分）已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． (1)如图1，为边上一点，当时，求线段的长； (2)如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； (3)如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $八年级数学下学期 综合自测题（2) 考试总分：120分考试时间：120分钟 卷I(选择题) 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 题号 2 6 7 8 9 10 答案 A A B D A D D B 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分) x=-4 1.3-2:12八；1349：1440：15y=3 16.①②④ 三、解答题（本题共计9小题，共计72分） 17.(1)解：原式=5只3-4V18+3 =5V3-12V2+V3 =6V3-12V2: (2)解：原式=23-12-2×8 =12-1-V16 =12-1-4 =7. 18.(1)解：，n边形从一个顶点出发可引出n-3条对角线， 、.当n=7时，可引出7-3=4条对角线， 故m=4 ②)已知这个多边形的边数为n,依题意n-2×180°=2010” 解将n=1后 :n为不小于3的正整数， “.小高的计算结果不正确。 19.(1)解：m= 1×12+3×14+15+16+19+20+21+25=17分钟： 10 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 12、12、13、16、16、17、19、21、21、23, 共有10个数据，其中第5和第6个数据是16和17， :丙同学使用手机时长的中位数为p=号×16+17=16.5： 丙同学使用手机的时长的方差为 n=0I2-17+12-17+13-17+16-17+17-17+19-17+21-17+21-17+23-171=14 .n<15: (2)解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是17，乙和丁的平均数都是16， .乙和丁优先， ,甲的方差是15，丙的方差是14， .丙比甲优先， ,乙和丁的方差都是7.8， 2 ,乙的中位数是15，丁的中位数是16.5， 乙使用时长小于平均数的次数较多， .乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲 20.(1)解：在Rt△AB0中，∠O=90°，AO=2.4,AB=2.5, .B0=VAB2-A02=0.7 答：梯子的底端B到墙角O的距离为0.7米： (2)解：根据题意，得AC=0.4,CD=2.5, ∴.OC=OA-AC=2 在Rt△CDO中，∠O=90°， .∴.0D=CD2-0C2=1.5 .BD=DO-BO=0.8' 答：BD的长为0.8米 21.(1)解：，∵停留5分钟后再原路返回，由图可知10分钟时原路返回， .小红沿跑道从S跑到T用时5分钟， :.从8跑到T的速度是：1000÷5=200（米/分钟） :去程时y关于x的函数表达式为：y=200x0≤X≤5 (2)解：设返程时前10分钟内的平均速度为m米/分钟，则后5分钟内的平均速度为2m米/分钟， .10m+5×2m=1000 解得：m=50 心 .BC段的解析式是： y=1000-50x-10=1500-50x10≤x≤20' 当x=20时，y=1500-50 times20=500, .:点C的纵坐标为500 22.(1)解：设A,B两款帆布袋的单价分别为x元，y元， 2x+3y=31 由题意得： 3x+2y=34 x=8 解得： y=5 A”B两款帆布袋的单价分别为8元和5元： (2)解：设购买A款帆布袋m个，则购买B款帆布袋(12-m)个，设总费用为w元， .∴.w=8m+512-m=3m+60, 3>0, w随m的增大而增大 :购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的2 m≥引2-m, m≥4且m为正整数 当 =4时，w有最小值，最小值为3×4+60=72， 此时12-m=12-4=8, :购买A'B两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元 23.(0解：观察所给式子：0A3=R/+1=2,0A=/2+1=3,0A=R32+1=4,… 4 以此类推，可得0A2=Vn-1+1=n 。3 以此类，可得S,=(n为正整数) n n 故答案为：n, 2)解：0A品=n, ∴.OAn=n 当n=1时，0A1=V1=1, 当n=4时，0A2=RV4=2, 当n=9时，0A3=/9=3, 当n=16时，0A4=P/16=4, 当n=k2k为正整数)时，0A,=F=k, .44=1936,452=2025, :.1到2025有45个完全平方数， .线段0A1,0A2,0A3,0A5中，长度为正整数的线段共有5条 故答案为：45. 1 1 3)解：原式1+9272+33+4“2024+2025 =十…十 5 2 2 2 2 1+2V2+93'V3+V4 +…+ 9V2024+只V2025 29V2-1 21V3-V2 24-3 29V2025-V2024 2+1V2-13+V23-2'V4+3/4-3 9V2025+V2024川V2025-9V2024 =2V2-1+23-V2+2V4-3+…+2V2025-V2024 =2×-1+45 =88 24①解：对于直线1：y=x+1 令y=0,则 x*1-0 解得：x=-2, .A-2,0 对于直线12：y=-2x+6 令y=0,则-2x+6=0, 解得：x=3, .B3,0 联立，得 2*+1 1 y ,解得： X=2 y=-2x+6 y=2 ∴.C2,2; Sax=×3+2×2=5 (2)解：分三种情况：如图， 6 VA ①以AB为对角线，BC,AC为边的平行四边形ACBD,则AC沿CB平移可得DB, .C2,2,B3,0 :.点C向右平移1个单位，向下平移2个单位，与点B重合 :.点A向右平移1个单位，向下平移2个单位，得到点D, .A-2,0 .D-1,-2 ②以BC为对角线，AB,AC为边的平行四边形ABDC,同理可得点D(7,2) ③以AC为对角线，AB,BC为边的平行四边形ABCD,同理可得点D(-3,2). 综上，存在，点D的坐标为(-1，-2)或(7,2)或(-3,2) (3)解：.过点P作x轴的垂线，分别交直线1,2于点M,N.Pm,O),.∴.M、N的横坐标为m, 1 把xm代入直线l1:y=2+1得y=2m+1, .MM.im+1 PM-m+1 代入直线l2:y=-2x+6得y=-2m+6, .∴.Nm,-2m+6 PM=MN 传m+n 4 解得：r2或3 25.解：如图所示，过点E作ET⊥AD于点T. E ∠B=45AB1A8 ,∠AEB=45,ABE是等腰直角三角形， 四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC 体告男 ∠AET=45°4AET是等腰直角三角形， .∠AEF=105°. .∠AEB=∠EAD=45 .∴.∠FET=AEF-∠AET=105°-45°=60°， :.在R AEFT甲， E EF=2ET=2 (2)解：AP=V2AM,理由如下 如图，延长AM到点A,使AM=AM,连接AP,AB,延长AB交BA的延长线于点Q, C B 在△AME和△AMB中 ME=MB ∠AME=∠AMB ME=MB ∴.△AMENAA MB. ∴.AE=AB=AB,∠EAM=∠BAM, .AE‖AB, 由旋转知BP=BP,∠BPB=90°。 ∴.∠Q=∠BAE=90°， ∠Q+∠BPB=180 ∴.∠QBP+∠QBP=180°， ∠QBP=∠ABP即∠ABP=∠ABP, PB=PB ∠ABP=∠ABP AB=AB .∴.AP=AP,∠APB=∠∠APB .AP=AP,∠APB=∠APB, ∴.∠APR+∠APR=∠BPR=90 44PA是等腰直角三角 ∴.∠APB+∠APB=∠APA 2AP=AA=2AM (3)解：取BC中点K,将AK绕点A逆时针旋转45°，得AK,连接KK,RK由旋转得 AK=AK,AG=AR,∠KAK=∠GAR=45°， ∴.∠GAK=∠RAK, ∴.△GAK=△RAK, ∴.∠AKG=∠AKR, .平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2,K为BC中点， :AP=2AM③)解：取BC中点，将K绕点A逆时针旋转45°，得AK由旋转得AK=AK, AG=AR,∠KAK=∠GAR=45, ∴.∠GAK=∠RAK, .∴△GAK≈△RAK, ∴.∠AKG=∠AKR, ·平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2,K为BC中点， .∴.AB=BK=1, .∠B=45, .∴.∠BKA=∠BAK=67.5°， .∴.∠AKG=180°-∠BKA=112.5, ∴.∠AKR=∠AKG=112.5°， .AK=AK,∠KAK=45°， ∠AKK=∠AKK=180-∠KAK=67.5, .∠AKR+∠AKK=180°， :点K、KR共线， 10 .∠AKK=∠BAK=67.5°， ∴.KRAB, ,点R的轨迹为过线段BC中点且平行于AB的直线KR上 D 由对称得DR=DR :CR+DR=CR+DR之CD,当且仅当CRD依次共线时，CR+DR取得最小值CD, 此时点R位置如图，过点R作RL上CD于点L,过点C作CV⊥K于点V :IAB,∠B=45 .∴.∠RKC=45 .∴.∠KCV=∠RKC=45 ..KV=CK_ 922 DR=D R .∠RDD=∠RDD 由对称得DD⊥KR .AB‖CD‖KR .∴.DD⊥CD .∴.90°-∠RDD=90°-∠RDD .∴.∠RDC=∠RCD ∴.RC=RD 11 u=c0=号 .'ABCDKR,RL⊥CD,CV⊥RK .∴.CV⊥CD 四边形CLRV是矩形， ..CL=VR-1 KR-KV+VR-921 22 .∠RKC=45°，RH⊥BC .∠KRH=∠RKC=45 ∴.RH=KH= -1+ V224 ,CH=KC-KH=是-2 24 作点R关于C的对称点元在知上取点S,使A5=CH号要，设陆交D于点过点C作上 AD于点X, HW=RH=1+2 2RC=WC,AS-CH'. .四边形AHC'S是平行四边形， ∴.AH=SC AH+HC+CR=SC+CW+是-2 24 12 由两点之间最短距离得SC+CW≥SW,当且仅当S、C、W依次共线时SC+CW取得最小值SW, 2 由(1)知AD与BC间的距离为之， .∴.CX=JH= 2 2 1.32 .WJ=JH+HW=+ 24 :CX⊥AD平行四边形中∠ADC=45,D!BC, .DX=CX=- 2,CX1 BC, .四边形CHX是矩形， 1V2 JX=CH=24’ .SJ=AD-AS-JX-XD=1, sw-+w--} 4 :AH+HC+CR的最小值为6+2+号2=2 424 13 八年级数学下学期 综合自测题（2） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（       ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（       ） A. B. C. D. 3.已知点、、在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（        ） A. B. C. D. 4.在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（        ） A.1班中位数班中位数 B.1班方差班方差 C.1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D.若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 5.如图，在中，， 平分交 于点，则的度数为（        ） A. B. C. D. 6.已知点、在一次函数图象上，且，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 7.如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为，和，则图中阴影部分的面积为（       ） A. B. C. D. 8.如图，在四边形中，，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止．设点的运动路程为，的面积为，得到如图所示的函数图象，则对角线的长为（        ）． A. B. C. D. 9.已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（       ） A.方程组的解为 B. C.为直角三角形 D.当的值最小时，点的坐标为 10.如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.计算：________．  12.一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正________边形． 13.已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差的和为_____________． 14.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是________秒． 15.如图，直线与在第二象限交于点，交轴于点．若，，则方程组的解为____________． 16.如图，在菱形中，，与交于点O，点为延长线上的一点，与，分别交于点，，且，连接和，，则以下4个结论：①；②平分；③；④，正确的序号是________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1） （2） 18.(6分) 过n边形的一个顶点可以引出m条对角线． （1）当时，________； （2）小高计算出一个多边形的内角和为，通过计算说明小高的计算结果正确吗？  19.(6分) 某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                           b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 （1）表中的值为      ，的值为      ，      （填“”“”或“”）； （2）根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为      ．  20.(7分) 如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． （1）求梯子的底端距墙角多少米？ （2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长．  21.(8分) 体育场跑道上，起点到终点的距离为1000米，小红沿跑道从跑到，停留5分钟后再原路返回，期间小红离开处的路程 (米)与离开处的时间(分)之间的函数关系如图中折线所示． （1）求去程时 关于的函数表达式，并写出取值范围； （2）已知返程的时间共15分钟，其中前10分钟内的平均速度与后5分钟内的平均速度之比为，试求点 的纵坐标．  22.(8分) 某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． （1）求，两款帆布袋的单价分别为多少元． （2）某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？  23.(9分) 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积） ，（是的面积） ，（是的面积） … （1）请用含有（为正整数）的式子填空：_____，_____； （2）在线段，，，，中，长度为正整数的线段共有_____条； （3）求的值． 24.（10分）如图， 直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与交于点C．     (1)求的面积； (2)在平面直角坐标系中是否存在一点 D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点 是x轴上的动点， 过点P作x轴的垂线， 分别交直线， 于点 M， N． 当时，求m的值． 25.（12分）已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． (1)如图1，为边上一点，当时，求线段的长； (2)如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； (3)如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $