专题05 期末真题百练通关（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦期末压轴突破，以131道真题构建四边形与一次函数两大模块8类题型训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填小压轴|66题|四边形折叠/最值/多结论、函数图象信息/规律探究|从图形变换到动态问题，衔接几何性质与函数建模| |解答压轴|65题|四边形综合、一次函数与几何综合/新定义|递进式整合知识，突出代数推理与几何论证的融合应用|

专题05 期末真题百练通关（131题8大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 四边形的折叠问题 题型6 四边形的综合问题 题型2 四边形中的线段最值问题 题型7 一次函数与几何综合 题型3 四边形的多结论问题 题型8 一次函数的新定义问题 题型4 从函数的图象获取信息 题型5 一次函数的规律探究问题 题型一 四边形的折叠问题（共16小题） 1．（25-26八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连接、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好落在对角线上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，利用勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，，利用勾股定理求出，，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴，，，，，， ∴，，， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 2．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到 ，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，计算解答． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（2026·重庆·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，已知正方形边长为2，点E，F分别在边上，将四边形沿着翻折，点C的对应点恰好落在边上．若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，过点F作于G；可证明四边形是矩形，则；由得；设，则，，从而；再证明，则；在中利用勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点F作于G； 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴； 设，则，， ∴； 由折叠知，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 即， 整理得：，即， ∴； 在中，，由勾股定理得． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 8．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，为对角线，，．点、分别在边，上， 连接，．作点关于的对称点，点关于的对称点、，恰好落在对角线上，连接，，则四边形的周长为_____________． 【答案】 【分析】先求对角线，再利用对称性求，，在中利用勾股定理求（即），同理求进而得，最后通过作高利用面积法和勾股定理求． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由轴对称的性质可知：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 过点作于点，如图： ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴四边形的周长：． 10．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．当为等腰三角形时，线段的长为________． 【答案】或 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，过点作于点，如图： 则四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点在上， 设，则， ∴， 由勾股定理得， ∴，此方程无解，故此情形不存在； 当时， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当时，过点作于点， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 【答案】 【分析】先证出，然后在中，利用勾股定理，列方程即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某中学数学社团开展折纸活动，如图在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点，将沿折叠得．记与的交点为，在折纸过程中，当点平分线段时，恰好平分，且，则长度应取________． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，推出，，根据折叠可得，，，结合角平分线的定义可证明，得出，，结合题意可得，证明，得出，，则，设，则，由勾股定理得，列方程求出，进而得到，，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作于点， ， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，， 根据折叠可得，，， 平分， ， 又 ， ， ，， 点平分线段， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 14．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵纸片沿、折叠，点、重合于点， ∴，， ∴，，，，， ∴，且、、三点共线． 设，则，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得． 在中，由勾股定理得． 过点作于点， ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得． ∴． 在中，由勾股定理得． 15．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形纸片的边长为，点P是线段上一动点，连接，将这张正方形纸片沿所在直线折叠，点B的对应点为，延长交边于点E，当点P为线段的三等分点时，的长为________． 【答案】3或 【分析】根据折叠的性质可得，，，再根据证明，则可得．设，则，．然后分两种情况：①当时，②当时，在中根据勾股定理列方程求出x的值即可． 本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，注意分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵沿所在直线折叠后得到， ∴，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则，． ①当时，， 则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． ②当时，， 则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，当点P为线段的三等分点时，的长为3或． 故答案为：为3或． 16．（24-25八年级下·山东临沂·期末）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中、为折痕，若正方形与五边形的面积之比为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，直线与交于P点，由题意设正方形的面积为，五边形的面积为，则可得，由折叠可得正方形面积为，则可求得，最后即可求得结果． 【详解】解：如图，连接，直线与交于P点， 正方形与五边形的面积之比为， 设正方形的面积为，五边形的面积为， ， ， 由勾股定理得，， 由折叠得，正方形面积为，四边形是长方形， ， ∴， 即， ， 即， ． 故答案为：． 题型二 四边形中的线段最值问题（共12小题） 17．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 18．（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点O，可证明，得到，则点O为菱形对角线的交点；连接，取中点M，连接，，证明是等边三角形，得到，则，，根据，得到当A，M，G三点共线时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O为菱形对角线的交点； 连接，则过点O，取中点M，连接，， ∵菱形的边长为4，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在中，， 在中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，有最小值，最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是求出，的值． 19．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 20．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图正方形的边长为8，E为边上一定点，且，P为边上一动点，连接． （1）若当P是中点时，则的长度为_________； （2）若将绕点P逆时针旋转至，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理求解即可； （2）过点Q作于H，证明，设，根据勾股定理求出，再根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∵P是中点， ∴ ∴； （2）如图，过点Q作于H， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴. 设，则,，， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴的最小值为． 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 24．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 25．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理的应用．关键是通过矩形的性质将的长度转化为的长度，将求最小值的问题转化为求点到直线的最短距离，再利用面积法求解该垂线段长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 根据垂线段最短的性质，当时，的长度最小，此时的长度即为点到的距离； 设点到的距离为， ∵，又， ∴，解得， ∴的最小值为； 故答案为：． 26．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，两点之间线段最短，通过平移转化线段是解题关键． 先通过条件得出是等边三角形且垂直平分，再将向左平移个单位转化为，把转化为，最后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理算出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将向左平移两个单位得到，则，， ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，最小，最小值为， ，， ， ，， ． 故答案为：． 27．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 28．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 根据题意，对点M在和上的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上时， ∵，且， ∴点到的距离为定值5， 即； 当点在上时， 过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 连接，则， ∵点在上， ∴， 则当时，的值最小为3． 综上所述，的最小值为3． 故答案为：3． 题型三 四边形的多结论问题（共20小题） 29．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 30．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形． 31．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①直接根据旋转的性质，中垂线的性质，得到； ②由平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得出结论； ③根据旋转的性质，中垂线的性质，推出，平行线的性质，得到，进而得到，得到，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，即可得出结论； ④勾股定理求出的长，设，在中，勾股定理求出x的值，再利用勾股定理求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故②正确，符合题意； ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故③正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 故④错误，不符合题意． 综上，共有3个正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，中垂线的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 32．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理得出，即可判断①；再由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定与性质可推出，，则四边形是平行四边形，即可判断③；然后由平行四边形的性质得，即可判断②；过作于，根据含角的直角三角形的性质和平行四边形的性质求出，进而得到，即可判断④；即可得出答案． 【详解】解： ，，， ， 是直角三角形，且， ，故①正确； ，，都是等边三角形， ，，，， ，， 即，， 在与中， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ，故②正确； 过作于，则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 33．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③，共3个． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 34．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④⑤不符合题意． 【详解】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， ∴， 如图，过作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， 而，， ∴， ∴；故⑤不符合题意， 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 35．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质， 本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点F与点C重合时，， ∵， ∴线段的最小值为； 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵都是定值， ∴是定值， ∴是定值， 故①错误，②正确， 故选：D． 36．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】作于点M，取的中点P，连接，由折叠的性质和矩形的性质得，，进而推出是锐角，结合G为的中点，可得，假设平分结合角平分线性质定理可得，从而推出可判断①；根据折叠性质得，结合平行线的性质推得进而得到可判断②；取的中点P，连接，结合已知条件推出点F是的中点得是的中位线，从而得，再根据矩形的性质结合已知条件证进而得可判断③． 【详解】解：如图，作于点M，取的中点P，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可知：，， ∴，是锐角， ∴点M与点E不重合， ∴， ∵G为的中点， ∴，假设平分 ， ∵，， ∴， ∴，与 相矛盾， ∴不能平分，故①错误； 由折叠可知，， ， ， ， ， ∴点H在的垂直平分线上，故②正确； ∵平分，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴点F是的中点，点P是的中点， ∴是的中位线， ， ∵四边形是矩形，， ， ， ∵点G是的中点， ∴， 又∵ ， ，故③正确． 综上所述：结论正确的是②和③． 37．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④． 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又， ， ，故②正确； ， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③正确； 如图，延长交于点H， ， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 38．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． ①连接构造全等三角形，得到，，进而可得，是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形的面积等于，则当时，可取得最小值，取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的，，进而求出． 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ， ， 可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ， 此时，，， ，④正确． 综上，正确的个数有个． 故选：． 39．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定以及三角形面积的计算．解题的关键在于利用矩形性质和已知条件得出是等边三角形，进而得到相关边和角的关系；通过证明三角形全等来得到边和角的等量关系；根据角的度数判断三角形的形状(如、是等边三角形)；利用线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理证明四边形是菱形；根据三角形面积公式和等高三角形面积比等于底之比来计算面积比． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 为的中点， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ，，， 在等边中，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 由条件可知，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形，故结论①正确； 和是等边三角形， ， 四边形是菱形，故结论③正确； ，， ， 是等边三角形， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ，故结论②正确； 在和中， ， ， ， ， ， 故结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④共4个． 故选． 40．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键．根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故②正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，, ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； 当过点时，如图所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 当点与点重合时，如图，最长，四边形的面积最大， ∴， ∴， 即的面积的最小值为4． 故④错误； 正确的项为②③，共两个， 故选：B． 41．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，③错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，②正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 42．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出，且，是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，，，而、分别为边、的中点，则，，则四边形是平行四边形，所以，可判断①正确；由，得，则，所以四边形是菱形，可判断②正确；由，交的延长线于点，得，则四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，可判断③正确；设，，则，求得，则，所以，则四边形：：：，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 43．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 44．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，平分交于点E，过点D作于点O，延长交于点F，连接，，若点M是的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，，，则四边形的面积是，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】先证明，，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论①正确；证明四边形是平行四边形，可得是的中位线，可得结论②正确；过点D作于点N，求解菱形的面积，可得的面积 菱形ADEF的面积，求解的面积，可得的面积的面积，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，结论①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，结论②正确； 过点D作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积， ∴的面积 菱形ADEF的面积， ∵， ∴的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积，结论③错误． 故选：A 【点睛】本题考查的平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 45．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，再由，，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ∴故③符合题意； 在和中， ， ， ， ，， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 46．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，以三边向外分别作等边、、，下列结论 ① ②若，则四边形为平行四边形 ③若，则四边形是菱形 ④若四边形是正方形，则． ⑤若，，，则四边形的面积是60 其中正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．逐个分析判断，即可解答． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 故①正确． ∵， ∴， ∴， 同理可证，得， 由，，即可得出四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是平行四边形． 故②正确． 由②知，四边形是平行四边形， ∴当时，， ∴平行四边形是菱形， 故结论③正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 故④正确． 过点E作，交的延长线于点M，如图 ∴， ∵，，， ∴，， 即， ∴是直角三角形，且． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误， 综上所述，①②③④正确， 故选：C． 47．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；无法证明②正确，综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据四边形内角和为得到， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 无法证明；故②错误， 综上所述，①③正确， 故选：B． 【点睛】本题综合性强、难度较大，考查较为综合，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 48．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是边上的一点，点在对角线上，，的延长线交的延长线于点，连接．下列结论中正确的个数是（   ） （友情提示：正方形四条边都相等，四个角都是直角．） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据正方形性质得，再根据点在的延长线上得，据此可对结论①进行判断；②证明和全等得，进而得，再根据得，则，据此可对结论②进行判断；③设，则，在中，由三角形内角和定理得，根据三角形外角性质得，，由此得，据此可对结论③进行判断；④过点作于点，则，由结论②正确得，进而得，由此得是的中位线，则，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，进而得，再根据得，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵点在的延长线上， ∴，故结论①正确； ②∵四边形是正方形，点在对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论②正确； ③设， ∴， 在正方形中，， 在中，， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④过点作于点，如图所示： ∴， ∴， 由结论②正确得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴．故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共个． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 题型四 从函数的图象获取信息（共13小题） 49．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，在矩形中，点E是上一点，，连接，点F从点A出发，以每秒1个单位长度的速度依次沿着、边匀速运动到点C停止，连接，的面积为y，点F运动的时间为t，y随t变化的图象如图2所示，当时，t的值为（     ） A．3或6 B．或6 C．或5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据题意，得，，，得到，结合，利用分割法表示面积解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 当点F在上运动时，根据题意，得， 根据图象，得当时，面积为6， ∴， ∴，此时点F运动到点B处， ∴矩形的长为，宽为， ∴， 当时，得， 解得； 当点F在上运动时， 根据题意，得，， 根据题意，得，故， ∴ ， 当时，得， 解得； 综上所述，当运动时间为或6时，． 50．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， 甲乙两地相距米，故选项A错误，不符合题意； 李师傅的速度为：（米/分钟），故选项B错误，不符合题意； 设李师傅出发分钟后追上陈师傅， 陈师傅的速度为：（米/分钟）， ∴， 解得，故选项C正确，符合题意； 李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地： ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 51．（25-26九年级上·河南郑州·期末）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．当时，甲、乙物质的溶解度相同 B．在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小 C．当时，用等质量的甲、乙物质分别配制成饱和溶液，甲物质需要的水的质量更多 D．当时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的分析与应用，结合曲线的横纵坐标含义，曲线走势，分析出温度、溶解度、溶液状态之间的关系，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：A项：当温度等于时，甲种物质的溶解度和乙种物质的溶解度相等，故该选项说法正确，不符合题意； B项：温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小，故该选项说法正确，不符合题意； C项：当温度高于，低于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，因为乙的溶解度比甲大，所以甲需要水的质量更多，故该选项说法正确，不符合题意； D项：在中，甲物质的溶解度明显大于乙物质的溶解度，故该选项说法错误，符合题意， 故选：D． 52．（25-26九年级上·江西宜春·期末）图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）电流I）（    ） A．电阻的初始阻值为0 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为40 【答案】B 【分析】本题考查函数图像的认识，准确从函数图像得出相关信息是解题的关键． 根据时的取值可判断选项A的正误，根据图像的变化形式可判断选项B、C的正误，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，判断选项D的正误． 【详解】解：当时，，故电阻的初始阻值不为0，故选项A错误； 当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时的阻值为， 随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故当的阻值为时，， 报警器会报警，故选项B正确，选项C错误； 当时，， ， ∴， 故选项D错误； 故选B． 53．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，本学期在学习二次函数时，小明借助＂GeoGebra＂软件绘制了函数的图象．下列说法错误的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．有三个不相等的实数根 C．该函数图象关于点成中心对称 D．当时，函数取得最大值为4 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的应用、中心对称，能从函数图象获取信息是解答的关键．从函数图象特征结合选项逐个分析可得答案． 【详解】解：A、由图象，当时，随的增大而减小，选项A正确，不符合题意； B、由图象，函数的图象与直线有3个交点，则有三个不相等的实数根，选项B正确，不符合题意； C、根据图象，该函数关于某点成中心对称，设中心对称点坐标为， 由图象，点和点是对应点，和是对应点， ∴，，则，满足 故该函数图象关于点成中心对称，选项C正确，不符合题意； D、由图象，该函数没有最大值和最小值，选项D错误，符合题意， 故选：D． 54．（25-26九年级上·山东淄博·期末）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项不正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，读懂函数图象． 过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，，由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，，求出，再由勾股定理求解，即可判断A；当，设此时点Q运动到点，即，由勾股定理求解，即可求解，即可判断B；当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，再由勾股定理求解，即可判断C；设点Q运动到点K时，此时，可求，再由勾股定理求解，即可判断D． 【详解】解：过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，， 由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，， ∴， ∴，故A正确； 当，设此时点Q运动到点，即， ∴， ∴，故B错误； 当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，故C正确； 设点Q运动到点K时，此时 ∴， ∴此时， ∴点在该函数图象上，故D正确， 故选：B． 55．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）一辆货车从地去往地，一辆轿车从地去往地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离（单位：）与货车行驶的时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的运用，正确读取函数图象上的信息，结合题意进行分析是解题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以逐一判断各个小题中的结论是否成立，从而可以求解． 【详解】解：A、根据函数图象可知，货车行驶与轿车相遇，未到达B地，故该选项错误，不符合题意； B、∵轿车用了从B地到达了A地，两地相距， ∴轿车的速度为：， ∵两车相遇时间为， ∴货车的速度为：，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵货车速度为， 又∵， ∴货车到达目的地用时， 轿车到达目的地用时， ， ， 即轿车比货车早到达目的地，故该选项说法正确，符合题意； D、相遇前两车相距时，货车行驶的时间是： ， ， 根据图象可得：当相遇后两车相距时，轿车到达目的地， ∴两车相遇后两车相距时，货车行驶的时间是： ，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 56．（25-26八年级上·陕西西安·期末）甲、乙从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙在跑步全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数图象．下列说法错误的是（   ） A．乙出发140秒后与甲第一次相遇 B．图中 C．乙比甲晚100秒出发 D．乙休息前的跑步速度为2.5米/秒 【答案】A 【分析】本题主要考查从函数的图象中获取信息和解一元一次方程．根据图象可得直线代表甲运动，由图象信息即可求得甲的速度；根据甲的图象信息可求得，结合乙运动直线可求得，即可求得；首先求得乙的速度，设乙出发a秒后与甲第一次相遇，列方程即可求得相遇时间． 【详解】解：由图象可得，乙比甲晚100秒出发，选项C正确，不符合题意； 直线为甲图象，甲的速度为：（米/秒）， 由图象可得，根据甲的速度和时间得，， 由题意知直线为乙运动图象，则， 那么，选项B正确，不符合题意； 乙刚开始的速度为：（米/秒）， 选项D正确，不符合题意； 设乙出发a秒后与甲第一次相遇， ，解得， 即乙出发150秒后与甲第一次相遇，选项A不正确，符合题意； 故选：A． 57．（25-26八年级上·广东深圳·期末）校运动会前夕，甲、乙两位同学在直道上练习往返跑．甲、乙分别从两端同时出发，匀速跑到另一端点处掉头（掉头时间不计），他们离端的距离（单位：）与运动时间（单位：）之间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（    ） A．甲的速度为 B．当运动时间为时，甲、乙两人相距 C．甲、乙第5次相遇时，两人所跑路程之和为 D．甲、乙第8次相遇时，所花的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 先根据甲经过运动了，可得甲的速度判断A；再根据最后甲，乙回到了原地，解答B；然后求出乙的速度，可得第5次相遇两人所跑的路程之和说明C；最后求出8次相遇的时间解答D即可． 【详解】解：观察图像可知A，B两地相距，甲从0秒出发，经过，运动了，所以甲的速度是，则A正确； 经过，甲，乙回到了原地，相距，则B正确； 根据图象可知乙的速度是，则第5次相遇两人所跑的路程之和为，则C正确； 第1次相遇的时间为，则，解得；第8次相遇的时间为，则，解得，则D不正确． 故选：D． 58．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，以下说法中正确的个数为（   ） ①小明步行的速度是；②爸爸的速度是；③的值为12； ④当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键．根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a的值；即判断①②③；④分三种情况，然后分别计算出相应的时间，即可求解． 【详解】解：由图象可得，小明的速度为：，故①不正确； 爸爸的速度为：，故②正确； ，故③正确； 当小明与爸爸相距时，设小明出发后的时间为， 爸爸出发前：，解得； 爸爸出发后与小明相遇之前：，解得； 小明与爸爸相遇之后：，解得； 综上所述，当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或，故④正确． 故选：C． 59．（25-26七年级上·山东威海·期末）某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 【答案】10 【分析】先求得调入水果的速度是4吨/天，销售水果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：调入水果的速度是吨/天， 当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨， 所以销售水果的速度是（吨/天）， 所以剩余的16吨完全调出需要（天）， 故该水果市场这次水果销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是（天）． 60．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）小明爸爸从家出发骑车去接小明，小明放学准时匀速步行回家，途中两人相遇，小明告诉爸爸数学书落在学校，于是爸爸让小明继续步行回家，他骑车去学校取书（取书与对话时间忽略不计），然后原路骑车回家（爸爸往返骑车速度不变），爸爸与小明之间的距离与爸爸出发的时间之间的函数图象如图所示，则爸爸回家途中再次遇到小明时他们离家的距离为________m． 【答案】1300 【分析】本题考查一次函数及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，求出小明和爸爸的速度，再找等量关系列方程． 由图象求出小明和爸爸的速度，再根据小明爸爸先出发2分钟，找等量列方程，即可解得答案． 【详解】解：由图可知，小明爸爸速度为， 小明速度为， 设爸爸回家途中再次遇到小明时他们离家的距离为， 根据题意可得：， 解得， ∴爸爸回家途中再次遇到小明时他们离家的距离为， 故答案为：1300． 61．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】 （1）小明游玩行走速度为______米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少______分钟． 【答案】 60 45 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． （1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，求出的值，再利用路程除以时间求出速度即可； （2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”求出，进而求出路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为，利用路程除以速度再加上停留时间求出游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间，即可． 【详解】解：（1）由图象可知：小明游玩行走的时间为（分钟）， 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴小明游玩行走的速度为（米/分钟）； 故答案为：60． （2）由题意，得：小亮游玩行走的时间为（分钟）；由于游玩行走速度恒定，则小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所用时间为（分钟）， ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少（分钟）； 故答案为：45． 题型五 一次函数的规律探究问题（共15小题） 62．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，正方形，正方形，正方形，按如图方式排列，点在直线上，点在x轴上，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，， 即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点， ∴，， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， …， ∴， 即正方形的边长为． 63．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 64．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及规律探究与指数运算．根据直线的表达式为可得，直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，由点的坐标为，可得，由作图过程可知，是等腰直角三角形，，同理可得，，， ， (为正整数)，将代入即可解答． 【详解】解：直线的表达式为， 直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为， 点的坐标为， ， 由作图过程可知，， 又， 是等腰直角三角形， ， 同理可得，，，， 所以 (为正整数)， 当时，， 点的横坐标为， 故选：． 65．（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵直线与轴的夹角为，， ∴直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为， 代入点，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ∴，把代入，得， ∴的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得的坐标为， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故选：A． 66．（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 67．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】 轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 68．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，点，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，，，结论可得． 【详解】解：∵直线与轴负半轴交于点， ∴， ∴， 是等边三角形， 过作轴，如图所示： 垂直平分，即， ，进而由勾股定理可得， ∴， 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 按照以上求解过程，可得，，， ∴的横坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标的特征，等边三角形的性质，含的直角三角形性质，勾股定理，特殊图形点的坐标的规律，本题是规律探索型，准确找到坐标的变化规律是解题的关键． 69．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 【答案】64 【分析】根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 70．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，， 都在轴上，点，， 都在同一条直线上，，，，， 都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得点的纵坐标为，再求出直线的解析式，可得点的横坐标为，即得点的坐标是，进而即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理可得点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 71．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是__________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，等边三角形的性质，点的坐标规律．由已知结合等边三角形的性质和一次函数的性质可分别求出，，，…，，由此即可求解． 【详解】解：如图， ，…都是边长为4的等边三角形， ∴， …，， ∵在y轴上， 轴，轴，… 延长交x轴于点C， ∵点在直线上， ∴设， 是等边三角形，且边长为4， ． ∴的坐标为， 同理、， ， ∴的坐标为， 故答案为：． 72．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据题意，得，且，， 且，， 且，发现其中的规律，解答即可． 本题考查了根据解析式求函数值，自变量的值，数字的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当时，，此时， 当时，，解得此时且， 当时，，此时， 当时，，解得此时且， 当时，，此时， 当时，，解得，此时且， 由此不难发现规律如下： 当角码中的m是奇数时，； 当角码中的n是偶数时，； 由于，是奇数， 故， 故答案为：． 73．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____________． 【答案】 【分析】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质，找到坐标规律进行求解． 根据题意求出的坐标，发现规律即可求解． 【详解】解：，在直线上 ； 过点作x轴的平行线交直线b于点，在直线上 ， 同理求出，，，，， 可得（，为整数）， 令， 解得， ， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 74．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键． 依据题意，观察横坐标变化规律，即偶数下标点的横坐标为，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上，轴， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线， ． ， ，即点的横坐标为， 同理可得： 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 偶数下标点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 75．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、、，按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、、、、均在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的横坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：由条件可知，，则． 是等腰直角三角形，， ． 点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，，则． 点，均在一次函数的图象上， ，解得， 该直线方程是． 当时，，即，则， ． ， ， 当时，， 即点的坐标为 的坐标为 故答案为： 76．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【详解】解：平面直角坐标系中的直线过点，， 函数表达式为． ，，，，……都是等腰直角三角形，且， ∴的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …… 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为： 题型六 四边形的综合问题（共25小题） 77．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形的边长为1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a，证明，则，这样，可实现四边形的面积向面积的转化； 小丽：如图b，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 （填一个数值）； （2）【类比探究】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“含的菱形”，即，当绕点O旋转时，的边交边于点M，交边于点N． 请猜想： ①线段与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ； （3）【拓展应用】 ①对上面的问题进行进一步的探究，如图3，将图2中的沿方向平移至如图所示位置，若（m为常数）请描述与的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由； ②在①的条件下，若，试说明点P恰为的重心． 【答案】（1）；1；（2）①；②；（3）①，理由见解析；②见解析 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，根据三角形中位线定理可得，可得到是等边三角形，再证明，可得，即可解答； ②根据，可得，即可解答； （3）①过点P作交于点F，交于点G，延长至点H，使，则，先证明，可得，再证明，可得，即可解答； ②连接，延长交于点Q，根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，，再由菱形的性质可得到是边的中线，是等边三角形，，然后在中，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，再结合等边三角形的性质可得是的中线，即可解答． 【详解】解：（1）小明：∵四边形是正方形，，边长为1， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，； 小丽：过点O分别作于点G，于点H， ∴， ∵四边形是正方形，边长为1， ∴，，，， ∴四边形为矩形，，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：；1； （2）①如图，取的中点E，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①，理由如下： 如图，过点P作交于点F，交于点G，延长至点H，使，则， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，连接，延长交于点Q， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 是边的中线， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴点P恰为的重心． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 78．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F． 如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】 （1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形． 【深入探究】 （2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式． 【答案】（1）直角，30；等腰； （2）且， 理由如下： 由（1）得，，， ，，即， 且． （3）． 【分析】（1）在如图1中，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质，可得，，进而由所对的直角边为斜边的一半得出；在如图2中，由正方形和折叠的性质可得，，，进而得，，再根据三角形内角和可得，，，由等边对等角可得，即△是等腰三角形． （2）由（1）得，，，根据平行线的性质，即可得出且． （3）过点作的垂线，垂足为，设交于点，由矩形的判定和性质可得，，再根据折叠的性质可得，，进而得出，再由可证，，进而证明，由，，可得，证明，，故，即可证明． 【详解】解：（1）在图1中，四边形是矩形， ，， 由折叠可得， ， ， ， ， 矩形纸片折叠，使点的对应点恰好落在点处，折痕是对称轴， ，即是直角三角形， 在图2中，四边形是正方形， ， ，分别平分和，， ，， 由折叠可得， ， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， 是等腰三角形． 故答案为：直角，30；等腰； （2）略 （3）．理由如下： 过点作的垂线，垂足为，设交于点，如图3， ， 四边形为矩形， ， 正方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为对称轴， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，所对的直角边为斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 79．（24-25九年级上·山东·期末）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，画出等腰，使得． 第二步，作出关于对称的． 第三步，过点作的平行线，交直线于点． 第四步，分别以，为边作． 根据以上操作，甲，乙，丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题． (1)直接写出图1中的度数； (2)图2，图3中均有．请就图2给出证明； (3)图3中．求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，则，，根据对称的性质，等边对等角，则，根据平行线的性质，即可； （2）根据平行四边形的性质，则，，根据对称的性质，可得，，等量代换，则，，最后根据全等三角形的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为点，根据勾股定理，求出，根据平行四边形的性质，对称的性质，可得，，根据等边对等角，求出，根据矩形的判定和性质，可得四边形是矩形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，四边形是平行四边形， ，， ，， ，关于对称的， ，， ， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， 由对称可得，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：过点作，垂足为点， ，， ，， ， 由对称可得，，， ， ， ， ， 过点作交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 设， ，， ， ， ， 即． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形，等腰三角形，勾股定理，矩形，全等三角形，对称的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，对称的性质． 80．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形； 【性质探究】，； 【问题解决】（1）13，40； （2）； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）略 81．（2024·山东临沂·二模）综合与实践 【提出问题】 由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． （1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得在和中 ∴ ∴ 请补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上． ①求证：； ②当，时，请求出线段的长． 【答案】（1）或； （2）①证明：在上截取，连接， ∵ 则， ∵是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ， ∴， ∴； ② 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定条件行填补即可； （2）在上截取，连接，证明，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，横线处应或． 故答案为：或； （2）略 （3）∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 82．（23-24八年级下·天津·期末）在中，M，N分别是的中点，连接． (1)如图①，求证：四边形是平行四边形； (2)如图②，连接，若，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点C作于点E，交于点P，，且，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合M，N分别是的中点，即可证明； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合M，N分别是的中点即可证明； （3）先判定四边形是平行四边形，再判断其为菱形，利用菱形的性质，判断为等边三角形，从而求得，在中，利用特殊角，求出，进而求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， 四边形是平行四边形； （2）证明：∵，M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 由（2）知 ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∵， ， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定与性质、直角三角形的斜边中线与斜边的关系、等边三角形的性质和判定，利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半是求解的关键． 83．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）线段的长为4或12 【分析】（1）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上截取，连接，同理，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质证明，再分当在线段上和当在延长线上时两种情况讨论，同上的方法即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：在上截取，连接． 则， 是等腰直角三角形， ，则，，， ， ； （3），则是等腰直角三角形， ， ， ， ； 当在线段上时， ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ； 综上，线段的长为4或12． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 84．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；（3）四边形为菱形；理由见解析 【分析】分析问题：（1）过点A作于点E，过点D作于点F，得出，根据，，得出，即，得出，证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①根据平行四边形的判定和性质，进行证明即可； ②根据四边形为平行四边形时，，即可说明此命题是假命题； ③根据四边形为等腰梯形时，，说明此命题为假命题； （3）根据解析（1）可得：，，证明四边形为平行四边形，再证明，，得出，说明四边形为菱形． 【详解】解：分析问题：（1）；理由如下： 过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示：    ∵，， ∴， ∵为四边形的“对中平分线”， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即； （2）①∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故①是真命题；    ②当四边形为平行四边形时，，， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴当四边形为平行四边形，而不是菱形时，，故②是假命题； ③当四边形为等腰梯形时，延长、交于点E，如图所示：    ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴四边形为等腰梯形，， ∴时，四边形不一定是矩形，故③是假命题； 综上分析可知：真命题为①． （3）四边形为菱形；理由如下： ∵四边形有两条对中平分线，分别是，， ∴根据解析（1）可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握特殊四边形的判定方法． 85．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图1，在菱形中，点E、F分别是、上的点，连接、，过点D作交的延长线于点N，过点C作于点M，若，试探究与的数量关系，并写出证明过程； 【问题解决】 (2)如图2，正方形是李叔叔家的菜地示意图，对角线为菜地中间的原有走道．在边上设有灌溉水龙头F，从水龙头F到点C拉设引水绳，便于灌溉．李叔叔在边、上分别打入固定桩M、N，两桩之间牵设畦线绳，且垂直平分引水绳，垂足为G．畦线绳与原有走道交于点H，连接作为新走道，经测量，．李叔叔计划给走道铺设石砖，为了合理规划并明确所需石砖数量，现需确定与之间的数量关系．请你判断线段与的数量关系，并说明理由．（走道、引水绳、畦线绳的宽度和灌溉水龙头、固定桩的大小均忽略不计） 【答案】(1)，证明如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； (2)，理由如下： 如图，过点H作于点P，交于点Q，于点K，连接，， ∵四边形为正方形， ∴平分，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）先证明，可得，再证明，即可解答； （2）过点H作于点P，交于点Q，于点K，连接，，根据正方形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，再由垂直平分，可得，可得，从而得到，进而得到为等腰直角三角形，继而得到，可得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 86．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)， 证明：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①； ②， 证明：取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点为T，的中点为O， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）通过证明，得出，再由各角之间的关系即可求解； （2）①根据题意补全图形即可； ②取的中点，连接，过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由正方形的判定和性质得出四边形为正方形，确定，再由勾股定理确定，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 87．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）（校园平面建模动点探究项目） 【项目背景】为美化校园环境，学校后勤部门对教学楼前矩形休闲区域进行规划建模． 在平面直角坐标系中，轴、轴分别代表校园的东西向、南北向主干道，点、 分别在轴、轴正半轴上，已知线段垂直于轴， ， ， ，且．构成如图基础休闲区域． 【项目运动规则】为测试区域动线规划合理性，设置两个动态运动点：点从点出发，以的速度向终点匀速运动；点从 点同时出发，以的速度向终点匀速运动．两点同时开始运动，任意一点到达终点时，所有运动立即终止，设运动时间为 秒（）． 请结合项目场景，完成以下探究任务： (1)【基础建模：面积动态表示】运动秒后，请用含的代数式表示四边形的面积； (2)【参数求解：相等位置探究】在运动过程中，若，求此时运动时间的值； (3)【最值探究：周长最优规划】已知点是线段的中点，点是线段上的动点（始终在点左侧），且运动全过程中线段的长度恒为保持不变．请探究运动过程中四边形的周长最小值，直接写出结果即可． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据梯形面积公式求解即可； （2）分情况讨论四边形为平行四边形或梯形时满足条件的值； （3）在上取点使，过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，当点，，共线时，设与轴交于点，即在时，此时四边形周长最小． 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 又， ， ， 四边形 的面积； （2）解：当四边形是平行四边形时， ， ， ，解得； 当四边形是等腰梯形时， ， 如图 ，过点，作， 于点，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 解得， 综上所述：的值为或； （3）解：如图，在上取点，使， 过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交于点， 轴， ， ， 点是线段中点， ， 点是线段中点， 过点作交于，如图， ∵， ， ∴同理是的中点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ∵， ∴， ， ∴， ∵在中，， 四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 根据两点之间线段最短，当点，，共线时，设与轴交于点， ∴， 即在时，此时最小， 四边形周长最小值． 88．（25-26八年级下·河南安阳·期末）解答下列各题： (1)如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形 绕点 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的，试说明理由； (2)如图2，已知 和 都是等腰直角三角形， ，， 的顶点 在 的斜边 上．求证：； (3)如图3，等腰三角形 中，， 是斜边 的中点，点 又是 的直角顶点， ， 绕点 转动， ， 分别与 ， 交于点 ， ．若 ，请直接写出两个三角形重叠部分的面积． 【答案】(1)理由： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即无论正方形 绕点 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的； (2)证明：如图①，连接 ． ， ， 即 ， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理，得，即， 是等腰直角三角形， ， ； (3) 【分析】（1）证明，推出，根据，即可求解； （2）证明，推出，得到，利用勾股定理求解即可； （3）证明，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：重叠部分的面积为1 如图②，连接 ． 在等腰三角形 中， 是斜边 的中点， ， ， ， ， ， ， 两个三角形重叠部分的面积 ． 89．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 【答案】(1) (2)①如图所示，过点作于点， ∴， ∵折叠， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ② 【分析】（1）过点作，交于点，证明，由勾股定理可得，即可得出结果； （2）①过点作于点，证明，再证明，从而，再证明即可； ②设，则，，求得，则，得出，设，得出，整理得，解得，，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在正方形中，， ∵折叠， ∴，垂足为点， ∴，垂足为点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为： （2）解：①略 ②根据上述证明得到， ∴， 设，则， ∴， ∵的面积为， ∴，则， 在中，， ∴，整理得，， 设， ∴，整理得，， 解得，， ∴． 90．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，已知四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，延长与相交于点，连接， ． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ (2)证明：①过点A作，垂足为，作，垂足为，过点C作，垂足为，连接， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴四边形是矩形， 又∵，，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵在正方形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． ②1． 【分析】（1）根据正方形性质和，利用即可证明， （2）①过点A作，垂足为，作，垂足为，过点C作，垂足为，连接，由可得，进而证明， 四边形是正方形，得出，，再证明，可得，，由此得，得出，从而证明，再利用勾股定理得出． ②连接，利用、都是等腰直角三角形得出，，从而可得，进而得出，结合①得结论，可得，根据，整体代入可得，再代入已知条件即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②连接， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵在正方形中，， ∴， 由①得， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 91．（25-26八年级下·上海虹口·期末）已知：点 、、 、 分别是四边形 的边 、 、 、 上的点，且点 、、 、 不与四边形 的顶点重合． (1)如图，如果四边形与四边形都是平行四边形，求证：； (2)如图，如果四边形与四边形都是矩形，且 ，求的值； (3)如图，如果四边形与四边形都是正方形，且 、 、 、 所在直线为对称轴，作 、 、 、的对称点、、、，如果，，求的面积（简要写出主要的解题思路即可）． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】连接，证明即可求证； 连接，可证四边形和四边形都是矩形，即得，，进而得到，即可求解； 连接，由轴对称的性质可得，，，，进而可证三点共线，设，则，得到，即得，得到，，再由得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 同理可得， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接 ， 由轴对称的性质可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 三点共线， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 92．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【问题情景】 如图1，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是、的中点，连接，． (1)如图1，点、分别在正方形的边、上，连接．求证：， 【变式探究】 (2)如图2，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转，当点落在线段上时，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图3，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转（），其他条件不变，若，，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ∵M是的中点， ∴， 又∵N是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)结论仍然成立，证明如下： 如图2，延长交的延长线于H， ∵点E落在线段上， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，即， ∵点M与N分别是、的中点，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，再由三角形中位线定理得：，则；再证明得； （2）由三角形中位线定理可得，，，，由等腰直角三角形的性质可得，，即可求解； （3）由可证，可得，由三角形中位线定理可得，，，，可得，则，即当有最小值时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，连接，，延长至H，使，连接，， ∵点M与N分别是、中点，， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当点E在上时，的最小值为， ∴的最小值为． 93．（25-26八年级下·河南周口·期末）【问题背景】如图，正方形的边长为10，，分别为边，上的点． (1)【问题发现】如图1，若，则与的数量关系为__________． (2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，若是的中点，连接，求证：． (3)【问题拓展】如图3，若，，点在边上，且满足，请直接写出的长． 【答案】(1)（或相等） (2)证明：如图1，延长，，交于点． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ∴点是线段的中点， 又， ． (3)的长为8或2 【分析】（1）由正方形的性质易得，则有； （2），延长，，交于点．由正方形的性质可证明，再证明，则可得点是线段的中点，进而可证明结论成立； （3）分两种情况：当点靠近点时；当点靠近点时，利用平行四边形的判定与性质及全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴（或相等）． （2）证明：略； （3）解：的长为8或2． ①如图2，当点靠近点时，过点作，交于点． ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ． ，，， ， ， ， ； ②如图3，当点靠近点时，过点作．同理，可得． 综上所述，的长为8或2． 94．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师引领同学们在探究与正方形有关的动点问题时，给出一个问题情境：如图2，在正方形内取一点，使，将点E绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 探究过程： 启航小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1．发现点在对角线中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． (1)志远小组发现，如图2，如果．四边形的形状都不会变，请你判断四边形的形状，并说明理由； (2)博学小组进一步深入探究，如图3，取中点，连接，，，又发现：在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： (3)在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 【答案】(1)四边形是正方形， 理由：∵四边形是正方形， ，， ∵点E绕点逆时针旋转得到点， ，． ， ，， ， ， ， 又∵， ∴四边形是矩形． ， ∴四边形是正方形． (2)， 理由：如图，连接，， ∵四边形是正方形，是的中点， 是的中点，，，，． ∵四边形是正方形， ， ． ． 是的中点， ，． ， ∴． (3) 【分析】（1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （3）取的中点，取的中点，连接，，，，利用三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点， ，． ， ． 由（2）得，， ，，， ，，． ∵四边形是正方形，是的中点，， ，，， ∴， ，， ． ， ， ， ， ， ． 95．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形性质，以及轴对称性质推出，再结合平行线性质求解，即可解题； （2）根据矩形性质，以及垂直平分线性质推出，由折叠的性质得到，取的中点H，连接，证明是等边三角形，结合等边三角形性质，等腰三角形性质，以及直角三角形性质求解，即可解题； （3）连接，由折叠的性质可知：，推出，为等边三角形，进而证明四边形是菱形，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，推出，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 96．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3)设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 【答案】(1)45，等腰直角三角形 (2)证明：连接， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 又， ， 又， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 由翻折知， ， ， 四边形是菱形； (3) 【分析】（1）由正方形的性质和翻折可证得，又有，则，而，可知是等腰直角三角形； （2）由，，可知四边形CFPH是平行四边形，又，于是得到四边形CFPH是菱形； （3），，即可得到． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， 由翻折的性质可知， ， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵是正方形的对角线， ∴，，， ∴， 而, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）略 （3）解：由（1）可知， ∵是正方形， ∴， ∴，即． 97．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）【问题背景】：张老师在讲解完“中位线定理”，提出了一个问题：如图1，在中，D为的中点，，求证：E为的中点．小睿给出分析思路：如图2，过点E作交于点F，则四边形的形状为____，通过证明与全等，可得． (1)【尝试证明】：请填空，并参照小睿的思路，利用图2完成证明过程； (2)【拓展应用】：如图3，正方形中，于点M，点H在上，，过点H作交于点G， ①证明：； ②若，，则的长为______． 【答案】(1)平行四边形； 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即E为的中点． (2)①证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴点为的中点， ∵，， ∴， 由（1）知，点为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和全等三角形的判定定理解题即可； （2）①结合（1）中的结论，证明，进而证明； ②设正方形的边长为，则，可求出正方形的边长，根据计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：①略； ②设正方形的边长为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知为的中位线， ∴， ∴． 98．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）数学社团的同学们对课本上一道数学题进行了深入的探究． 教材：“拓广探索”第16题 如图1，四边形是正方形，G是边上的任意一点，，垂足为E，，交于点F．求证：． (1)如图1，小明提出可以证明，从而，，因此，小明证明的理由可能是___________ A． B． C． D． (2)如图1，若，，则___________； 【问题探索】 (3)如图2，小强提出，如果点G在的延长线上，于点F，交的延长线于点E．线段，与之间的数量也有关系，三条线段的数量关系是：___________； (4)如图3，小颖提出，在教材：“拓广探索”第16题的条件下，连接，取的中点O，连接，，那么，之间也存在一定的关系．请写出它们的关系并证明． 【答案】(1)B (2) (3) (4)，理由如下： 如图3中，延长交于， ， ， ∵点O是的中点， ∴， ， ， ， 由（1）， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ∴． 【分析】（1）由得，进而证得，从而，进一步得出结论； （2）由，可得，再由勾股定理得出，再由全等三角形性质得，最后再求解即可； （3）由得，，进而证得，从而，进一步得出结果； （4）延长交于，先证明，可得，由（1），得出，可得是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形，从而得出结论； 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 故证明的理由可能是； （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （4）略 99．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明，得到，再根据菱形，得到，又，即可证得，从而得出结论； （2）①先证明，得到，，再根据菱形，得到，，从而得，然后证明，得到，从而得到，整理即可得出答案； ②延长至点，使得，连接．先由①求得，过点A作交延长线于G，过点H作于Q，设，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求得，，根据，求得，，，从面得到，再证明，得到，然后利用等腰三角形与直角三角形性质，勾股定理求得，，，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．此题属四边形综合题目，难较大．熟练掌握相关知识和正确作出辅助线是解题的关键． 100．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【问题背景】在几何学习中，我们常研究共顶点的两个正方形构成的图形．如图，已知正方形和正方形有一个公共顶点C，点E在正方形外部，连接，取的中点P，连接，． 【特殊位置探究】 (1)如图①，将正方形绕点C旋转，使得点G落在边的延长线上，延长交于点Q，证．则是________三角形，和的数量关系是________，和的位置关系是________． 【一般情形拓展】 (2)如图②，将正方形绕点C旋转任意角度（点E、F不与正方形的边重合），点P仍为的中点．问：线段和是否仍然保持（1）中的数量关系与位置关系？请证明你的结论． 【迁移运用】 (3)若将正方形绕点C顺时针旋转时，边恰好平分线段，请求出的值． 【答案】(1)等腰直角；； (2)保持，见解析 (3)的值为 【分析】（1）由正方形性质得，为中点，证，得、；结合正方形边长相等推得，又，故是等腰直角三角形，即可得解； （2）延长至使，连接，先证得；再证，结合证，得、，进而即可得解； （3）设，，旋转得，平分即为中点，证得，进而根据正方形的性质可得其对角线，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形，为正方形， ，，，，， 顶点落在正方形的边的延长线上， ， ，， 为线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ， ，； （2）解：线段和仍然保持（1）中的数量关系与位置关系，证明如下： 延长至点，使，连接并延长交的延长线于点，如图： 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在正方形中，，，， ，， 在正方形中，，， 在四边形中，，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 又， ； （3）解：设正方形的边长，正方形的边长， ∵正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∵边平分线段， ∴与的交点是的中点， ∴， 连接，如图， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴ ， 又∵，，且， ∴， ∴， 在正方形中，其边长为a， ∴对角线， ∴， ∴． 【点睛】本题以共顶点正方形的旋转为核心载体，融合全等三角形判定、等腰直角三角形性质与正方形性质，体现了几何变换、转化化归与逻辑推理的核心数学思想． 101．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G． (1)若点M在对角线上，则 度； (2)如图，若E是的中点，试用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若点E在边的延长线上，且，在备用图上画出示意图，并求的长． 【答案】(1)67.5 (2)，证明见解析 (3)见解析， 【分析】（1）由对称的性质可得，再根据正方形的性质即可求解； （2）连接，证明和，得出即可解答； （3）先证明，则，再证明，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：如图： ∵点D关于直线的对称点为M， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 连接， ∵点D关于直线的对称点为M， ∴， 而 ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； （3）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七 一次函数与几何综合（共20小题） 102．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数图象的性质和坐标轴点坐标的特征求解即可； （2）先求出直线的解析式为，再根据三角形面积列方程即求解； （3）分两种情况．①在点左侧，根据，构造等腰直角三角形得，从而可，再根据直线与轴交点坐标即可；②在点右侧，构造与情况①中直线关于的对称直线可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交点：当，得，故， 当时，得，故， （2）解：∵，且， ∴，故， 设直线的解析式为：， ∴，解得， 直线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵P在线段上， ∴，解得：， 故点P坐标为． （3）解：如图，作，使，，，则，连接交轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：点坐标为， ∵过、的直线解析式为， ∴直线与轴点坐标为，即：坐标为， ∴， 在平面坐标系中取点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵过点过、的直线解析式为， ∴直线与轴交点坐标为，即：坐标为， 综上所述：点坐标为或． 103．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，轴于A，两点．分别过A、B两点作轴与x轴的平行线相交于点C，动点P在线段上运动（不与点O、A重合），为线段的中点，连接，并延长交于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若点P的坐标为，的面积记为S，求S关于的函数关系式； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：根据题意得， ∴， ∵为线段的中点 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）证明，得到，然后结合即可证明； （2）首先求出，，然后表示出，，然后利用平行四边形的性质得到； （3）首先表示出，得到，然后分两种情况讨论，分别根据勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线分别交x，轴于A，两点 ∴当时， ∴，即 当时， 解得 ∴，即 ∵点P的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴的面积； （3）解：∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ 当时， ∴ 解得 ∴； 当时，过点P作于点F ∴ 根据题意得， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点P的坐标为或． 104．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【分析】1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据得出，即可求解； （3）当点Q在点B下方时，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形，则直线为的交点，证明，求出，求出直线与直线的交点坐标即可；当点Q在点B上方时，将绕点顺时针旋转得到，连接，同理求出点的坐标，再求出直线与直线的交点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴ 将代入得，， 解得； （2）解：由（1）可得直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴； 如图，设直线交轴于点， 在中，当时，， ∴， ∴； 中，当时，，则， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ 解得， ∴点的纵坐标为或点的纵坐标为， ∴点的坐标为或； （3）解：如图所示，当点Q在点B下方时，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点Q，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴，， ∴为直线的交点， 在中，当时，， ∴， ， ∵， ∴， ，， ， ，， ， ，， ； 设直线的解析式为，则 解得 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立 解得； ； 如图所示，当点Q在点B上方时，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同理可得，且为直线的交点， 同理可得直线的解析式为， 联立 解得 ∴； 综上所述，点的坐标为或． 105．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）阅读材料：我们知道正比例函数的图像经过定点．进一步研究一次函数 的图像，将它整理成后，当含字母系数 的项为0即 ， 时， ，因此该函数的图像经过定点． 解决问题： 已知一次函数（）的图像经过定点P． (1)求定点P的坐标； (2)在平面直角坐标系中，如图，该一次函数的图像上有一点Q，当点Q横坐标增加2时，其纵坐标增加3． ①求此时该一次函数的表达式； ②设一次函数（）的图像与y轴交于点A，点M在x轴正半轴上，直线 与y轴正半轴交于点N，以 、 为邻边作平行四边形，如果P恰好是平行四边形两条对角线的交点，求点N的坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）把原函数解析式变形为，根据题干中的方法即可求出答案； （2）①设该一次函数的表达式为，根据图像经过定点P解得，设点Q的坐标为，则变化后的点的坐标为，代入函数解析式得到方程组，解得，，即可求出一次函数的表达式；②求出，四边形是平行四边形，且是对角线的交点，是线段的中点，设,,根据中点坐标公式解得,即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解：， 当，即时，， ∴定点P的坐标为； （2）解：设该一次函数的表达式为， ∵图像经过定点P． ∴， 解得， 设点Q的坐标为，则变化后的点的坐标为，代入函数解析式可得， ， 两式相减得到， 解得， ∴， ∴该一次函数的表达式为； ②由①可知，一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∵四边形是平行四边形，且是对角线的交点， ∴是线段的中点， 设,, ∴， 解得, ∴ 106．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标以及的面积； (2)若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 【答案】(1)，，的面积为 (2)①，；②存在，，或 【分析】（1）分别令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式，求得的面积； ①根据题意过点作于点，利用全等三角形的判定先证，可求出、的长，进而即可得出点和点的坐标； ②根据题意设点的坐标为，分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点，的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点 当时，，当时， ∴，， ∴ ∴的面积为 （2）①过点作于点， ，， ．又， ， ，． 设，则点的坐标为， 点在直线上， ， ， 点的坐标为，点的坐标为． ②存在点的坐标为，或． 理由如下： 设点的坐标为． 分两种情况考虑，如图2所示： 当为边时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， 或， 或， 点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为． 综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，或． 107．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）综合与探究 如图所示，在直角坐标系中，直线l与x轴y轴交于A、B两点，已知点A的坐标是，B的坐标是． (1)求直线l的解析式； (2)若点是线段上一定点，点是第一象限内直线l上一动点，试求出点P在运动过程中的面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）问的条件下，若，此时在坐标平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（） (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】（1）设的解析式为：，把代入解析式可得答案； （2）如图，由，因为，得，结合三角形的面积公式可得函数解析式，根据点是第一象限内直线上一动点，可得的范围； （3）由先求解的坐标，分三种情况讨论，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，利用中点坐标公式与平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：设直线l函数解析式为， 由题意可得：， 解得， ∴直线l函数解析式为； （2）解：如图， 由，因为， ， ， ， （）． （3）当 则 解得： 当四边形为平行四边形时，如图， 设 则的中点坐标为： 即 的中点坐标为： 由平行四边形的性质得： ，解得 当四边形为平行四边形时， 由平移的性质得： 当四边形为平行四边形时， 由平移的性质得： 综上：的坐标为或或． 108．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键． （1）根据题意易得，，从而可求出，由于点是直线与线段的交点，则，根据待定系数法求解即可； （2）根据题意可求得，设，根据割补法求三角形的面积即可求解； （3）根据待定系数法求出的解析式为，从而推得，，为等腰直角三角形，由推得，连接交于点，作关于的对称角，交于点，通过角度计算得此时，为所求，通过计算直线和直线的交点即可求出点的坐标，利用中点公式即可求解． 【详解】（1）解：令得，，解得，则， 令得，，则， ∵， ∴， ∵点是直线与线段的交点， ∴， ∴， 将，代入得， ，解得， 则直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 令得，，则， ∵，，， ∴， ∴， 设， 当在直线下方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，则， 当时，同理可得（舍去）， 当在直线上方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，即， 当时，同理可得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为，； （3）解：存在， 由（2）可知，，， 将其代入得， ，解得， 则的解析式为， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 连接交于点，作关于的对称角，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点，为所求， 设的解析式为 将，代入得， ，解得， 则的解析式为， 则，解得， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, 综上，点的坐标为，． 109．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．或． 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法进行解答即可； （2）过点D作轴于点E，根据面积关系、等腰直角三角形的判定和性质解得．证明是等腰直角三角形，得到，即可求出答案； （3）分两种情况根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为，把， 代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点H， 在中，令，得， ， ． ，， ，， ． ， ，． ， ． ， ，解得． ，， ．轴， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）理由如下：D由（2）知，． ①四边形为平行四边形时，，即轴，， ，在中，令得． ， ， ， ； ②四边形为平行四边形时，由①可得，． 综上，以点C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，或． 110．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，或 【分析】（1）根据直线的表达式得到点的坐标，进而得出点、点的坐标，即可求解； （2）根据题意得出点的坐标，，，设，根据点在直线下方和在直线上方时分情况讨论，列出关于的表达式，根据的取值范围分情况讨论，即可求解； （3）过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接，通过证明四边形是平行四边形，得到点即为所求，再通过证明直线垂直平分，得到，继而得到点的两种情况下的坐标. 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，则， ∵点是直线与线段的交点， ∴当时，， ∴， 设直线的表达式为：， ∴代入点，，得，解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：由（1）可知直线的表达式为：， ∴当时，，则， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一动点，且直线的表达式为， ∴设， 当点在直线下方时，此时，如图所示，连接，，， ∴， ， ， ， 当时，，此时，解得，， ∴， 当时，此时，解得，（不合题意，舍去）， 当点在直线上时，点与点重合，不存在，不符合题意， 当点（）在直线上方时，如图所示，连接，，， ， ， 当时，，，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，，解得：， ， 综上所述，点的坐标或； （3）解：存在， 设直线的表达式为：， 代入点、得，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴直线沿轴向下平移个单位后，直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求， ∵， ∴设直线的表达式为：， 代入点到直线的表达式，得：，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵,， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵，， ∴点的横坐标为：， ∴点的纵坐标为：， ∴点， 综上所述，满足条件的点的坐标为或. 111．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． (1)求点B和点C的坐标； (2)M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,． ①求的最小值； ②在点M移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (2) ；点M移动过程中，能等于，点 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、平行四边形的性质、轴对称求最短路径、等腰直角三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是利用平行四边形性质转化线段，通过轴对称构造最短路径，结合等腰直角三角形构造全等三角形求解点的坐标． （1）将点代入一次函数解析式求参数，再联立两直线方程求交点的坐标； （2）①由平行四边形性质将转化为，作点关于轴的对称点，利用两点之间线段最短求的最小值；②构造等腰直角三角形，通过证明，求出点的坐标，再结合直线的方程求解点的坐标，验证存在． 【详解】（1）解：由直线过点，得，解得， 则点的坐标为， 由，解得，则点的坐标为． （2）解：①由（1）得点是线段的中点，即， 由，得，，连接，则四边形是平行四边形， 于是，令点关于轴对称点为，连接，， 因此，当且仅当点，，三点共线时取等号，而，过点作轴于点，则，，， 所以的最小值为． ②在点移动过程中，能等于，理由如下： 当时，过点作交的延长线于点，过点作直线轴，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则为等腰直角三角形，， 由，，得， 则，，设，则， 则点，由，得直线的方程为， 因此，解得，点， 所以在点移动过程中，能等于，点． 112．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过两点，且a，b满足，的平分线交x轴于点E． (1)求直线的表达式； (2)求直线的表达式； (3)点B关于x轴的对称点为点C，过点A作y轴的平行线交直线于点D，点M是线段上一动点，点P是直线上一动点，则能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点P的坐标为：或或 【分析】（1）求出点A与点B的坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （2）过点E作于点H，求出点E的坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）由题意可分当时，P点在C点下，当，P点在C点上时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即， ∴， ∵一次函数经过点， ∴， ∴， ∴直线的表达式； （2）解：∵， ∴， ∴， 过点E作于点H， ∵的平分线交x轴于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （3）解：由点B关于x轴的对称点为点C，可知：， 设， ①如图1，当时，P点在C点下， 过点P作轴交于点G，交y轴于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当，P点在C点上时， 由①得，， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，过点M作轴交y轴于点L，过P点作交于K， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点P的坐标为：或或． 113．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，直线：经过点，且与轴交于点． (1)直接写出、的坐标及直线的解析式； (2)已知点在直线上，若，求点的坐标； (3)如图，将绕点顺时针旋转，分别交线段、于、两点，若四边形内部恰好有个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，直线的解析式为 (2)点坐标为或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）通过直线方程与坐标轴的交点特征求出 A、B 坐标，再利用待定系数法求直线l 的解析式； （2）需要根据已知角度关系，结合直线方程求出点 H 的坐标； （3）找到整点，再画出图形，最后根据旋转的性质以及整数点的分布来确定点F 的坐标． 【详解】（1）解：在直线中， 当时，， 解得， ， 当时，， ， 因为直线：经过点和， 将代入得， 把和代入，得到， 解得， 故直线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， 取点，连接， ∴， ∴， 在直线上取，过M作于N，如图： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：或， ∴直线的解析式为：或， 联立直线和直线解析式： 或， 解得或， ∴或； （3）解：在内部共有、、三个整数点， 在内部共有、、三个整数点， 当绕O点旋转后，四边形区域内必有、、三个整数点， 若上一点，则旋转后在上的对应点为， 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 综上所述：点F坐标为或或． 114．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先求得点E坐标，C点坐标，从而得出B点坐标，设直线l1的解析式为：，将点E和点B坐标代入，进一步得出结果； （2）作轴于G，交于H，设，则，从而得出，可求得，，进一步得出结果； （3）先求得直线的解析式为： ，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，，从而得出，当时，可求得的解析式，将点Q坐标代入的解析式，从而得出t，进而得出点Q坐标；同样得出当时的结果． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为： ， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴ ， 综上所述：或． 115．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若直线与轴相交于点， ①若平分，且交轴于点，求直线的表达式； ②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①直线的表达式为；②点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据点C在直线上，先求得点C的坐标，再代入直线，即可求得b值； （2）①设直线交y轴于点F，过点E作于点G，先求得D、F的坐标，根据勾股定理求得，然后根据角平分线的性质定理可知，由可求得，得到点E的坐标，进而根据待定系数法即可求解； ②先求得点A的坐标，从而根据勾股定理求得的长度，然后设，分四种情况：当点P在点A的左侧，且时；当点P在点A的右侧，且时或时或时；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，把点代入直线，得； ∴，代入直线，得， ∴； （2）解：①由（1）可知直线， 设该直线交y轴于点F，过点E作于点G，如图所示， 令，得，则；令，则， ∴，，即，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴，则， 设直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； ②对于直线，令，则， ∴， 由（1）可知， ∴， 设， 当点P在点A的左侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 综上所述，点P的坐标为或或或． 116．（25-26八年级上·江苏南京·期末）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点和，用以下方式定义两点间距离：已知点，点 【初步理解】 （1）___________． （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，___________定值，___________定值两空均选填“是”或“不是” 【深入理解】 （3）在图②中画出使的所有点围成的图形． （4）函数（为常数）； ①当时，若点是这个函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为___________； ②若这个函数的图象上存在点使，直接写出k的取值范围． 【实际运用】 （5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 【答案】（1）5；（2）不是，是；（3）图见解析；（4）①，②或，（5）见解析 【分析】依据定义求解即可； 设，且，再依据定义求解即可； 根据新定义并结合可知：使的所有点围成的图形为正方形，据此画图即可； ①易得，设，则，再分类讨论，求出t的范围，即可得解； ②由知使的所有点围成的图形为正方形，则只要有满足的图象与正方形有交点，即存在点N使，据此求解即可； 以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到E处，可由证明结论即可． 【详解】解：（1）； 设，且， 则， 当时，， 当时，，不是定值； ；是定值； 根据新定义并结合可知：使的所有点围成的图形为正方形，如图所示；     ①当时，则， 设， 则， 当时，则， 解得， 此时； 当时，则， 解得， 此时； 当时，则， 解得，此时无解； 综上，当时，满足， 此时两个端点分别为、， 线段长度； ②， 这个函数的图象经过定点， 由图可知，只要满足的图象与正方形有交点，即存在点使， 代入点，得， 此时由图象可知当，均符合题意， ； 代入点得，， 解得， 此时由图象可知当，均符合题意； 综上，或； 如图，以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止， 设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到E处． 理由：设过点E的直线与x轴相交于点在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线，与x轴相交于点 ， ，， 同理， ， ， 上述方案修建的道路最短． 117．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接，设点的横坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、勾股定理、全等三角形的判定和性质，三角形的面积．当是以为直角边的等腰直角三角形时，要分两种情况考虑． （1）根据一次函数的解析式求出点、的坐标； （2）根据点是线段上的一个动点，设点的坐标为其中，根据三角形的面积公式得到与之间的函数关系式； （3）①根据点、的坐标求出的长度，根据的面积，可得方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标，利用勾股定理求出的长度，根据、的长度即可得到线段与的数量关系； ②当是以为直角边的等腰直角三角形时，要分两种情况解答，第一种情况是当时，第二种情况是当时． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为； 当时， 可得：， 点的坐标为； （2）解：点是线段上的一个动点， 设点的坐标为其中， 的面积为， ； （3）①解：， 理由如下： 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为， ， ； ②解：当时，如下图所示， 过点作轴，过点作， 点的坐标为， 点的坐标是， 点的坐标为， ，， ， ， 轴，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标是； 当时，如下图所示， 过点作，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 118．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若点正好落在线段上，求点的坐标； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即，即可求解； （3）若，即，则，进而求解； 【详解】（1）解：将、代入直线得：， 解得， ∴； （2）解：如图， ∵、， ∴， ∴， 由折叠得：． ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点， 由翻折可得：≌，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线的表达式为：， 延长到，使，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 同理，直线的表达式为：， 联立： 解得：， ∴， ∵， ∴． 119．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，点在一次函数图象上，垂直轴于点，点为线段上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)求，的值； (2)是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当、、或者、、不共线时，请直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)存在，或或 (3)或或 【分析】本题主要考查一次函数，图形折叠以及直角三角形的相关知识． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将点的横坐标代入解析式求出的值即可解答； （2）分三种情况讨论为直角三角形时的情况，即，（点在点上方）和（点在点下方），通过构建直角三角形，利用勾股定理求出点的坐标即可解答； （3）分三种情况讨论：点落在直线和直线之间，点落在直线的上方和点落在直线的下方，通过作辅助线，利用平行线的性质和折叠的性质得出，和之间的数量关系． 【详解】（1）解：把点代入函数得：， 解得， 所以一次函数关系式为， 把代入得， 所以； （2）解：由（1）可知， ∴， ①当时，如图1， 轴，， ， ，， ， 设，则，， 在中，，即， 解得， ， ； ②当且点在点上方时，如图2， 由题易知， 在中，，即，解得， ． 设，则，， 在中，，即， 解得， ， ； ③当且点在点下方时，如图3， 同②可得， ， 为的垂直平分线， 点与原点重合， ， 综上可知，或或； （3）解：当、、或者、、不共线时， ，和之间的数量关系为：或或，理由如下： ①当点落在直线和直线之间时，如图4， 过点作平行于轴， 易知， ，． ； ②当点落在直线的上方时，如图5， 过点作平行于轴， 易知， ，， ； ③当点落在直线的下方时，如图6， 过点作平行于轴， 易知， ，， ， 综上所述，当、、或者、、不共线时， ，和之间的数量关系为或或． 120．（25-26八年级上·四川成都·期末）直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，的周长是，点是线段上一个动点，点在轴上．    (1)求直线的解析式． (2)如图，若的面积是，求点的坐标． (3)如图，过作轴的平行线交线段于点，垂直轴于点、连接，点是线段的中点，过点作，点在直线上，点运动过程中，判断线段的长度是否变化？证明你的结论． 【答案】(1)； (2)或； (3)为定值，见解析． 【分析】（1）先求出长度，易得，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先求出直线解析式，过作轴交延长线于点，设，则，可得长，再根据建立方程求解即可； （3）设，则，易得坐标，可求坐标，进而求出直线解析式，根据垂直可得直线解析式，可求出交点的坐标，进而得解． 【详解】（1）解：交轴于点， 令，得，即， ， 的周长是， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 将，代入，得 , 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴交延长线于点，    对于，令，得， ， 设直线解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， 设，则， ， ， ， 解得或， 或； （3）解：线段的长度不变化； 证明：设，则， ， 为中点， ， ， 由（1）中待定系数法可得直线解析式为， ， ，将点坐标代入得直线解析式为，联立 ， 解得， ， 点、均为定点， 线段的长度为定值． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、待定系数求直线解析式、坐标与图形性质、直线交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 121．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用． （1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式； （2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长； （3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 题型八 一次函数的新定义问题（共10小题） 122．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“旋垂点”．例如：如图1，，，三点中，因为，且，所以点为2的“旋垂点”． (1)①点，，则___________2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点，，则点是4的“旋垂点”，则点的坐标为___________． (2)如图3，若点为，一次函数上存在2的“旋垂点”，点在轴上，求2的“旋垂点”的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“旋垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在内，，，连接，直接写出的面积． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3)6 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）①根据“旋垂点”的定义，进行判断即可； ②分两种情况：C分在B点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）根据是否在原点分情况讨论，设，如图，过作轴于点，证明，进而得或，再根据点在上，则，解方程即可； （3）同理求出，得到点在上，则 ，再由勾股定理逆定理得为直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴， 则是2的“旋垂点”， 故答案为：是； ②分以下两种情况： 当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵点，，且点C是4的“旋垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点C是4的“旋垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或； （2）解：∵与轴交点， ∴，， ∴当在原点，在点时，是2的“旋垂点”，此时 当不在原点时，设， 如图，过作轴于点， 轴， ， ， ， ， ， ，， ，， 即， 点在上， ， 解得， ， 或； （3）解：∵直线上存在无数个5的“旋垂点”， ∴点，，， 设， 过点作轴于点，如图所示： 由（1）同理可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 即直线为， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴ ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 即的面积为6． 123．（25-26八年级上·安徽六安·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据“不动点”定义，联立一次函数与的方程组，求解即可得到交点坐标． （2）先利用“不动点”在上求出的值，再将“不动点”坐标代入一次函数解析式求出的值． （3）先根据直线无“不动点”得出两直线平行，求出的值，进而得到直线解析式，求出、两点坐标，设出点坐标，利用三角形面积公式列方程求解，注意排除与原点重合的点． 【详解】（1）解：联立 将代入，得 解得，则 一次函数的“不动点”为． （2）解：“不动点”在上 解得 又点在上，且 解得 ． （3）解：直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， 直线解析式为 令，则，得 令，则，得 设，且 两边同时乘2，得 即 解得或 不与原点重合 舍去 答：满足条件的点坐标为． 124．（25-26八年级下·北京·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，做出判断； （）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标； （）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系利用数形结合可得． 【详解】（1）解：线段端点、，“等距点”满足 ， 因此等距点在的垂直平分线上， 四个点中横坐标为的是、 、 ， ∴这三个是等距点， “完美等距点”还需要满足 ， 由勾股定理逆定理：点： ，，，，符合； 同理可得： ： ，不符合； ： ，不符合； ∴完美等距点只有； （2）解：∵在上， ∴， ∵在第三象限， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴ ，即 ， 设 ，是的等距点， ∴，即：， 整理，得 ， 解得：， ∴坐标为； （3）解：∵点是直线上， ∴ （，第一象限）， ∵点是线段的“完美等距点”， ∴满足，， 此时四边形为正方形， ∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”． 如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点， ∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上， 当点与点重合时， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴ ∴, ∴， ∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时， ∴. 125．（25-26八年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“制导点”． (1)如图1，点坐标为． ①当点时，点的“制导点”的坐标为_____________； ②若点为点的“制导点”，则点的坐标为_____________． (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“制导点”，直接写出的取值范围_____________． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或 【分析】（1）①②直接根据“制导点”的定义求解即可； （2）设S的坐标为，，，由“制导点”的定义可得，，则，然后再跟点S在三角形的边上分别根据直角坐标系、一次函数解析式以及“制导点”的定义求解即可． （3）先求出线段的解析式为；设，S的坐标为，，则，进而得到，即，，则；再把点代入可得；然后分点S在上四组情况，分别列出关于n的方程求出n，然后再结合相关取值范围即可解答． 【详解】（1）解：①设点T的“制导点”的坐标为， ∵点，点T坐标为， ∴，，解得：，， ∴的坐标为； ②设点S的坐标为， ∵T坐标为，点为点T的“制导点”， ∴，， ∴点S的坐标为． （2）解：设S的坐标为，，， ∴，，则， ∵点在边上，点，，， ∴当S在上时，，，即 ∴， ∴； ∴ 把代入可得，即； 当S在上时，设直线的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即 ， ∴， ∴， 把代入可得， ∴ ∵， ∴； 当S在上时，设直线的解析式为， ，，， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即， ， ∴，即， 把代入可得， ∴， ∵， ∴； 综上，m的取值范围为． （3）解：设直线的解析式为，，． 则，解得：， ∴线段的解析式为， 设，S的坐标为，，则， ∴，即，， ∴， 把代入可得：， ∴， ∵点S在正方形边上， ∴当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵ ∴； 当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴，即， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴， 关于n的方程无解． 综上，n的取值范围为或或． 126．（24-25八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点，定义如下：若存在两点，使得且，则称点为以这两个点为端点的线段的中点源．如图，正方形的顶点为，，，． (1)若点，则下列点是线段的中点源的有_________________（填写点的序号即可） ①，②，③，④ (2)点，都在直线上，且线段的中点源点在对角线上，若，求点的坐标． (3)平行四边形的四个顶点为，，，．在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若平行四边形边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“中点源”的定义求出线段的中点源，即可解答； （2）由 代入 得 ，设 ，根据中点源定义， 有两种可能：分别得 、，由 、 得直线 为 ，将 P代入 分别解得，即可写出的坐标； （3）根据“中点源”定义，分析可得平行四边形边上的所有点只能在正方形的边上或正方形的外部 ，点 在直线 上，即对角线 上，通过几何分析，中点源的范围是由正方形顶点坐标决定的最值，然后分平行四边形在第二、第四象限讨论，建立不等式组，最终求出 的取值范围． 【详解】（1）解：，， 设线段的中点源坐标为， 由题意可得，且， 此时，中点源坐标为； 且， 此时，中点源坐标为； ②和③是线段的中点源． （2）解：点，都在直线上，且， 点的坐标为， 设点坐标为， 点为线段的中点源， 点坐标为，即， 或，即， ，， 可设直线的函数解析式为， 可得，解得， 直线的函数解析式为， 点在对角线上， ，解得， 或，解得， 点坐标为或． （3）解： ， 点在直线：上运动， 对于点，定义如下：若存在两点，使得且，称点为以这两个点为端点的线段的中点源． ， 点为点和点的中点， 若在正方形的边上（包括顶点）任取两点， 则线段的中点源在线段的延长线或线段的延长线上， 平行四边形边上的所有点只能在正方形的边上或正方形的外部． 如图，当平行四边形在第二象限时， 正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的中点源的横坐标的最小值为， 纵坐标的最大值为， 要使平行四边形边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源， 须满足，，解得； 如图，当平行四边形在第四象限时， 平行四边形的四个顶点为，，，， 点向右平移个单位，向上平移一个单位变成点， ， 轴，， 为等腰直角三角形，且， ， ， ， ， 点到轴和轴的距离均为， ， 正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的中点源的横坐标的最大值为， 纵坐标的最小值为， 要使平行四边形边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源， 须满足，，解得； 综上，的取值范围为或． 127．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过多边形不相邻的两个顶点，则称此函数为该多边形的伴随函数．例如，平行四边形的四个顶点分别为，，，，则函数，都是平行四边形的伴随函数． (1)如图1，菱形的边轴，且，，过点作，垂足为． ①点的坐标为________； ②已知函数是菱形的伴随函数，求的值． (2)如图2，矩形边轴，且，，，反比例函数（，）经过点，且为矩形的伴随函数．求证：点、、在同一条直线上． 【答案】(1)①；②的值为或； (2)在矩形中，，， 轴，， ，，． ∵反比例函数（，）经过点，且为矩形的伴随函数， （，）也经过点， ，解得． ． ， 直线解析式为． 当时，， 点在直线上． 点、、在同一条直线上． 【分析】（1）根据线段的位置关系和已知点的坐标即可求出答案；②在中，求出．证明四边形为菱形，得到，． 分两种情况进行解答即可； （2）求出直线解析式为． 当时，，得到点在直线上．即可得到结论． 【详解】（1）解：①，，过点作，垂足为． ∴点的坐标为 ②，，， ，． ， ∴在中，． ∵四边形为菱形， ． ，． 当直线经过，时， 当直线经过，时，． 综上所述，的值为或． （2）略 128．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的平衡点．例如，点是函数的图象的平衡点． (1)函数是否存在平衡点，若存在，求出平衡点坐标，若不存在，说明理由； (2)将一次函数的图象关于轴对称，若对称后的图象存在平衡点，求的取值范围； (3)设函数与的图象的平衡点分别为点、，过点作轴，垂足为．当为以为底边的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)函数不存在平衡点，理由见解析；函数存在平衡点，平衡点坐标为． (2)． (3)或． 【分析】（1）根据平衡点定义，设点为平衡点，则，即．将分别代入两个一次函数解析式，解方程判断是否存在平衡点，并求出坐标． （2）先求出（）关于轴对称后的函数解析式，再将代入，得到关于的方程，根据方程有解及的条件，求的取值范围． （3）先分别求出两个函数的平衡点、的坐标，再求出点的坐标；根据以为底边的等腰三角形，即，列方程求解的值． 【详解】（1）解：函数不存在平衡点，理由如下： ∵设平衡点为，代入得， ∴，方程无解， ∴函数不存在平衡点． 函数存在平衡点， ∵设平衡点为，代入得， ∴， ∴，则， ∴函数存在平衡点，平衡点坐标为． （2）解：∵（）关于轴对称后的函数为（）， 将代入得：， 整理得：， 当时，， ∵对称后的图象存在平衡点，且平衡点横坐标， ∴， ∴， ∴． （3）解：对于： ∵设平衡点，代入得， ∴， ∴，， ∴． ∵轴， ∴． 对于： ∵设平衡点，代入得， ∴， ∴，， ∴． ∵以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的新定义问题、轴对称的性质、等腰三角形的性质、解一元一次方程与不等式等知识点，熟练掌握根据新定义列方程求解以及等腰三角形的性质是解题的关键． 129．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中有、、三个点，如图1所示，如果将点绕点旋转后得到点，则称点与点关于点互为“垂链点”，其中一个点叫做另一个点关于点的“垂链点”． 例如：对于平面直角坐标系中的三个点，，，因为点可以看作是将点绕点旋转后得到的一个点，所以点是点关于点的“垂链点”． 探究任务一： (1)已知点的坐标为，点的坐标为，则点___________点关于点的“垂链点”；（填“是”或“不是”） (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若点是点关于点的“垂链点”，那么点的坐标是___________； 探究任务二： 已知点，并且点在轴上． (3)如图2所示，在一次函数的图象上存在点，且点是点关于点的“垂链点”，求点的坐标； (4)若在一次函数的图象上存在无数个点，且点是点关于点的“垂链点”． ①直接写出这个一次函数的表达式___________； ②若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是内部一点，且，，若点是线段上的一个动点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式． 【答案】(1)是 (2)或 (3)或 (4)①；② 【分析】（1）分别过点、作轴的垂线，垂足为、，容易证明，则，，进而求出，符合“垂链点”的定义； （2）分为逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论，作轴，垂足为，容易证明，则，，进而求出点的坐标； （3）设，仿照（2）的做法，分两类讨论，用表示出点的坐标，然后代入一次函数的解析式求出的值即可； （4）①设，用表示出点的坐标，消去得到点所在直线的函数解析式，且需满足的要求； ②分别过点、作轴的垂线，垂足为、，作，垂足为，先计算出点、的坐标，容易判断出是等腰直角三角形．运用勾股定理的逆定理可证明，由三角形面积公式计算出，进而求出点的坐标．使用作差法求出的面积，进而计算出，使用勾股定理计算出，相乘得到S与的函数关系式． 【详解】（1）解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵，， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴点可看作将点绕点逆时针旋转后得到，满足“垂链点”的定义， ∴点是点关于点的“垂链点”． 故答案为：是； （2）解：①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， ∵轴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图， 此时点与点关于点对称， ∴点的坐标为，即， 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或； （3）解：设， ①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理（2）可得， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得 ， ， 解得， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理①可得， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得 ， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （4）解：①设 由（3）可知，点的坐标为或， 消去可得，或， ∴点在直线或直线上， ∵， ∴一次函数的解析式为； ②如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，作，垂足为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵点的横坐标为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 130．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，给出如下定义：当时，称点M与点N互为“和等点”． ，称n为等和． 例如：点，点，因，点P与点Q就是和等点，8为等和． (1)已知点，下列各点，，，其中与点A互为“和等点”的是 ，等和为 ． (2)点与点都在直线上，且点C与点D互为“和等点”，求m的值； (3)如图1，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点K、L，这两个点为和等点，等和为6，求的长． (4)如图2，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，点T在第二象限，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，请直接写出等和n的取值范围为 ． 【答案】(1)；5 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据“和等点”的定义求解即可； （2）根据一次函数图象上点的特征和“和等点”的定义可得方程，解方程即可； （3）设点，点，由题意可得，，，，可知点K，L均在直线上，在坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点K，L，求出K，L的坐标即可得出求解； （4）由题意当直线与三角形的边有两个交点时，符合题意．求出直线结果R，S，T三点时n的值，可得结论． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， ∴与点A互为“和等点”的是，等和为5； 故答案为：；5； （2）解：根据题意得，， 解得， 即m的值为； （3）解：若点，点，如果，那么点K与点L就叫作“和等点”， 由题意可得，， ∴，， ∴点K，L均在直线上， 在平面直角坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点K，L， 令时，， 令时，， ∴，或，， ∴； （4）解：由题意当直线与三角形的边有两个交点时，符合题意． 当直线经过时，， 当直线经过时，， ∵是等边三角形， ∴， 当直线经过时，， 观察图形可知满足条件的n的取值范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，矩形的性质，等边三角形的性质，平面直角坐标系中两点间距离公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 131．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“稳定函数”，点为该函数图象上的一个“稳定点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“稳定函数”，点为该函数图象上的一个“稳定点”．某数学兴趣小组围绕该定义，对“稳定函数”进行了相关探究． (1)根据你对“稳定函数”的理解，以下结论中，正确结论的序号是________． ①不是“稳定函数”； ②是“稳定函数”，只有一个“稳定点”； ③是“稳定函数”，有无数个“稳定点”． (2)若“稳定函数”的图象上的一个“稳定点”为，求m、n的值； (3)若一次函数不是“稳定函数”，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】(1)①②③ (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义是解题的关键． （1）有定义可得，函数中存在点即为“稳定函数”，必是该函数图象上的一个“稳定点”，由此可得出答案； （2）由定义可知一次函数的“稳定点”为，，再将点代入即可求出m的值； （3）由题意可得直线为，再求出，，即，，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①对于， 由于， 所以不是“稳定函数”，原说法正确； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“稳定函数”，只有一个“稳定点”，原说法正确； ③是“稳定函数”，有无数个“稳定点”，说法正确． 故答案为：①②③； （2）解：∵一次函数的“稳定点”为， ∴， ∴， ∴“稳定点”为， ∴， 解得； 故答案为：，； （3）解：∵（）不是“稳定函数”， ∴方程无解，即无解. ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 1．如图，河岸，村庄E和村庄F在河的两岸，现要在河上架一座桥，点M、N分别在、上，M、N是动点，，过点F作，连接，，若米，米，米，则的最小值为（     ） A．50米 B．60米 C．80米 D．120米 【答案】C 【分析】过点作，交于点，证明四边形为平行四边形，连接，当三点共线时，最短，为的长度，计算的长度，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，米， ， 连接，当三点共线时，最短，为的长度， 米，米， 米， 根据勾股定理可得米， 则的最小值为米． 2．如图，三角形，三角形，三角形，…是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：，，， 其中为自然数， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 3．17世纪法国数学家笛卡尔在前人的基础上创立了平面直角坐标系，通过坐标系将几何问题转化为代数问题，为数学研究提供了新的工具和方法．如图所示，将等腰直角三角板的两个顶点放在两坐标轴上，若直角边所在直线的解析式为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】过点作轴于点，如图，先利用直线的解析式确定，，再证明得到，，所以． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 当时，， 解得， ， 当时，， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 4．如图，在梯形中，，对角线，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和（）等于________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点 ，利用平行四边形的判定与性质将转化为，将转化为，从而构造出等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点 ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ，即， ∴为等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ， ． 5．如图1，在正方形中，点E，F分别是上的点，且，连接，过点E作，使，连接． (1)判断：与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　； (2)如图2，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ 请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E，F分别是边延长线上的点，正方形的边长为， ，其他条件不变，求四边形的面积．（用含a的式子表示） 【答案】(1)； (2)结论仍然成立．证明如下∶ 如图2， 设与交于点N． ∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴；． (3) 【分析】（1）如图1，设与交于点M．利用正方形的性质可证明可得．再证明四边形是平行四边形； （2）如图2，设与交于点N．然后利用（1）的思路即可证明结论； （3）利用正方形的性质可证明可得；再四边形是平行四边形可得，；利用勾股定理可得，进而得到，最后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解∶；． 如图1，设与交于点M． ∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴；． （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ， ∴， ∴． 6．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②存在， 【分析】(1) 由直线分别令、求出、坐标；在中，利用和，由勾股定理求，从而确定坐标． (2) 沿翻折得到，则，．过作轴于点，在中用勾股定理求、，从而确定坐标． (3) ①由在轴上且，可证四边形为矩形，则对角线，要使最小只需最小，当时垂线段最短，由为等腰直角三角形得为中点，从而求坐标． ②由得，即射线平分，故在的平分线上．设平分线交轴于点，用等面积法求，再求直线解析式，令求坐标． 【详解】（1）解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． （2）解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． （3）①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期末真题百练通关（131题8大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 四边形的折叠问题 题型6 四边形的综合问题 题型2 四边形中的线段最值问题 题型7 一次函数与几何综合 题型3 四边形的多结论问题 题型8 一次函数的新定义问题 题型4 从函数的图象获取信息 题型5 一次函数的规律探究问题 题型一 四边形的折叠问题（共16小题） 1．（25-26八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连接、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好落在对角线上，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，已知正方形边长为2，点E，F分别在边上，将四边形沿着翻折，点C的对应点恰好落在边上．若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，为对角线，，．点、分别在边，上， 连接，．作点关于的对称点，点关于的对称点、，恰好落在对角线上，连接，，则四边形的周长为_____________． 10．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．当为等腰三角形时，线段的长为________． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某中学数学社团开展折纸活动，如图在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点，将沿折叠得．记与的交点为，在折纸过程中，当点平分线段时，恰好平分，且，则长度应取________． 13．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 14．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 15．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形纸片的边长为，点P是线段上一动点，连接，将这张正方形纸片沿所在直线折叠，点B的对应点为，延长交边于点E，当点P为线段的三等分点时，的长为________． 16．（24-25八年级下·山东临沂·期末）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中、为折痕，若正方形与五边形的面积之比为，则的值为________． 题型二 四边形中的线段最值问题（共12小题） 17．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 18．（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 21．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 22．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图正方形的边长为8，E为边上一定点，且，P为边上一动点，连接． （1）若当P是中点时，则的长度为_________； （2）若将绕点P逆时针旋转至，连接，则的最小值为________． 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 24．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 25．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 26．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 27．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 28．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为_______． 题型三 四边形的多结论问题（共20小题） 29．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 30．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 31．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 35．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 36．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 37．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 38．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A．个 B．个 C．个 D．个 40．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 42．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，平分交于点E，过点D作于点O，延长交于点F，连接，，若点M是的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，，，则四边形的面积是，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 45．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 46．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，以三边向外分别作等边、、，下列结论 ① ②若，则四边形为平行四边形 ③若，则四边形是菱形 ④若四边形是正方形，则． ⑤若，，，则四边形的面积是60 其中正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 47．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 48．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是边上的一点，点在对角线上，，的延长线交的延长线于点，连接．下列结论中正确的个数是（   ） （友情提示：正方形四条边都相等，四个角都是直角．） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 从函数的图象获取信息（共13小题） 49．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，在矩形中，点E是上一点，，连接，点F从点A出发，以每秒1个单位长度的速度依次沿着、边匀速运动到点C停止，连接，的面积为y，点F运动的时间为t，y随t变化的图象如图2所示，当时，t的值为（     ） A．3或6 B．或6 C．或5 D．3或5 50．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 51．（25-26九年级上·河南郑州·期末）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．当时，甲、乙物质的溶解度相同 B．在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小 C．当时，用等质量的甲、乙物质分别配制成饱和溶液，甲物质需要的水的质量更多 D．当时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度 52．（25-26九年级上·江西宜春·期末）图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）电流I）（    ） A．电阻的初始阻值为0 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为40 53．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，本学期在学习二次函数时，小明借助＂GeoGebra＂软件绘制了函数的图象．下列说法错误的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．有三个不相等的实数根 C．该函数图象关于点成中心对称 D．当时，函数取得最大值为4 54．（25-26九年级上·山东淄博·期末）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项不正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 55．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）一辆货车从地去往地，一辆轿车从地去往地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离（单位：）与货车行驶的时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 56．（25-26八年级上·陕西西安·期末）甲、乙从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙在跑步全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数图象．下列说法错误的是（   ） A．乙出发140秒后与甲第一次相遇 B．图中 C．乙比甲晚100秒出发 D．乙休息前的跑步速度为2.5米/秒 57．（25-26八年级上·广东深圳·期末）校运动会前夕，甲、乙两位同学在直道上练习往返跑．甲、乙分别从两端同时出发，匀速跑到另一端点处掉头（掉头时间不计），他们离端的距离（单位：）与运动时间（单位：）之间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（    ） A．甲的速度为 B．当运动时间为时，甲、乙两人相距 C．甲、乙第5次相遇时，两人所跑路程之和为 D．甲、乙第8次相遇时，所花的时间为 58．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，以下说法中正确的个数为（   ） ①小明步行的速度是；②爸爸的速度是；③的值为12； ④当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．（25-26七年级上·山东威海·期末）某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 60．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）小明爸爸从家出发骑车去接小明，小明放学准时匀速步行回家，途中两人相遇，小明告诉爸爸数学书落在学校，于是爸爸让小明继续步行回家，他骑车去学校取书（取书与对话时间忽略不计），然后原路骑车回家（爸爸往返骑车速度不变），爸爸与小明之间的距离与爸爸出发的时间之间的函数图象如图所示，则爸爸回家途中再次遇到小明时他们离家的距离为________m． 61．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】 （1）小明游玩行走速度为______米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少______分钟． 题型五 一次函数的规律探究问题（共15小题） 62．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，正方形，正方形，正方形，按如图方式排列，点在直线上，点在x轴上，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 63．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 64．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 65．（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 66．（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 67．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 68．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 69．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 70．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，， 都在轴上，点，， 都在同一条直线上，，，，， 都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 71．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是__________________． 72．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为_____． 73．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____________． 74．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________． 75．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、、，按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、、、、均在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的横坐标为______． 76．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是_____________． 题型六 四边形的综合问题（共25小题） 77．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形的边长为1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a，证明，则，这样，可实现四边形的面积向面积的转化； 小丽：如图b，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 （填一个数值）； （2）【类比探究】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“含的菱形”，即，当绕点O旋转时，的边交边于点M，交边于点N． 请猜想： ①线段与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ； （3）【拓展应用】 ①对上面的问题进行进一步的探究，如图3，将图2中的沿方向平移至如图所示位置，若（m为常数）请描述与的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由； ②在①的条件下，若，试说明点P恰为的重心． 78．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F． 如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】 （1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形． 【深入探究】 （2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式． 79．（24-25九年级上·山东·期末）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，画出等腰，使得． 第二步，作出关于对称的． 第三步，过点作的平行线，交直线于点． 第四步，分别以，为边作． 根据以上操作，甲，乙，丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题． (1)直接写出图1中的度数； (2)图2，图3中均有．请就图2给出证明； (3)图3中．求出的长． 80．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 81．（2024·山东临沂·二模）综合与实践 【提出问题】 由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． （1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得在和中 ∴ ∴ 请补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上． ①求证：； ②当，时，请求出线段的长． 82．（23-24八年级下·天津·期末）在中，M，N分别是的中点，连接． (1)如图①，求证：四边形是平行四边形； (2)如图②，连接，若，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点C作于点E，交于点P，，且，求的长． 83．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 84．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 85．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图1，在菱形中，点E、F分别是、上的点，连接、，过点D作交的延长线于点N，过点C作于点M，若，试探究与的数量关系，并写出证明过程； 【问题解决】 (2)如图2，正方形是李叔叔家的菜地示意图，对角线为菜地中间的原有走道．在边上设有灌溉水龙头F，从水龙头F到点C拉设引水绳，便于灌溉．李叔叔在边、上分别打入固定桩M、N，两桩之间牵设畦线绳，且垂直平分引水绳，垂足为G．畦线绳与原有走道交于点H，连接作为新走道，经测量，．李叔叔计划给走道铺设石砖，为了合理规划并明确所需石砖数量，现需确定与之间的数量关系．请你判断线段与的数量关系，并说明理由．（走道、引水绳、畦线绳的宽度和灌溉水龙头、固定桩的大小均忽略不计） 86．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 87．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）（校园平面建模动点探究项目） 【项目背景】为美化校园环境，学校后勤部门对教学楼前矩形休闲区域进行规划建模． 在平面直角坐标系中，轴、轴分别代表校园的东西向、南北向主干道，点、 分别在轴、轴正半轴上，已知线段垂直于轴， ， ， ，且．构成如图基础休闲区域． 【项目运动规则】为测试区域动线规划合理性，设置两个动态运动点：点从点出发，以的速度向终点匀速运动；点从 点同时出发，以的速度向终点匀速运动．两点同时开始运动，任意一点到达终点时，所有运动立即终止，设运动时间为 秒（）． 请结合项目场景，完成以下探究任务： (1)【基础建模：面积动态表示】运动秒后，请用含的代数式表示四边形的面积； (2)【参数求解：相等位置探究】在运动过程中，若，求此时运动时间的值； (3)【最值探究：周长最优规划】已知点是线段的中点，点是线段上的动点（始终在点左侧），且运动全过程中线段的长度恒为保持不变．请探究运动过程中四边形的周长最小值，直接写出结果即可． 88．（25-26八年级下·河南安阳·期末）解答下列各题： (1)如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形 绕点 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的，试说明理由； (2)如图2，已知 和 都是等腰直角三角形， ，， 的顶点 在 的斜边 上．求证：； (3)如图3，等腰三角形 中，， 是斜边 的中点，点 又是 的直角顶点， ， 绕点 转动， ， 分别与 ， 交于点 ， ．若 ，请直接写出两个三角形重叠部分的面积． 89．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 90．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，已知四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，延长与相交于点，连接， ． ①求证：； ②若，求的长． 91．（25-26八年级下·上海虹口·期末）已知：点 、、 、 分别是四边形 的边 、 、 、 上的点，且点 、、 、 不与四边形 的顶点重合． (1)如图，如果四边形与四边形都是平行四边形，求证：； (2)如图，如果四边形与四边形都是矩形，且 ，求的值； (3)如图，如果四边形与四边形都是正方形，且 、 、 、 所在直线为对称轴，作 、 、 、的对称点、、、，如果，，求的面积（简要写出主要的解题思路即可）． 92．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【问题情景】 如图1，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是、的中点，连接，． (1)如图1，点、分别在正方形的边、上，连接．求证：， 【变式探究】 (2)如图2，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转，当点落在线段上时，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图3，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转（），其他条件不变，若，，直接写出线段的最小值． 93．（25-26八年级下·河南周口·期末）【问题背景】如图，正方形的边长为10，，分别为边，上的点． (1)【问题发现】如图1，若，则与的数量关系为__________． (2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，若是的中点，连接，求证：． (3)【问题拓展】如图3，若，，点在边上，且满足，请直接写出的长． 94．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师引领同学们在探究与正方形有关的动点问题时，给出一个问题情境：如图2，在正方形内取一点，使，将点E绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 探究过程： 启航小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1．发现点在对角线中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． (1)志远小组发现，如图2，如果．四边形的形状都不会变，请你判断四边形的形状，并说明理由； (2)博学小组进一步深入探究，如图3，取中点，连接，，，又发现：在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： (3)在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 95．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 96．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3)设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 97．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）【问题背景】：张老师在讲解完“中位线定理”，提出了一个问题：如图1，在中，D为的中点，，求证：E为的中点．小睿给出分析思路：如图2，过点E作交于点F，则四边形的形状为____，通过证明与全等，可得． (1)【尝试证明】：请填空，并参照小睿的思路，利用图2完成证明过程； (2)【拓展应用】：如图3，正方形中，于点M，点H在上，，过点H作交于点G， ①证明：； ②若，，则的长为______． 98．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）数学社团的同学们对课本上一道数学题进行了深入的探究． 教材：“拓广探索”第16题 如图1，四边形是正方形，G是边上的任意一点，，垂足为E，，交于点F．求证：． (1)如图1，小明提出可以证明，从而，，因此，小明证明的理由可能是___________ A． B． C． D． (2)如图1，若，，则___________； 【问题探索】 (3)如图2，小强提出，如果点G在的延长线上，于点F，交的延长线于点E．线段，与之间的数量也有关系，三条线段的数量关系是：___________； (4)如图3，小颖提出，在教材：“拓广探索”第16题的条件下，连接，取的中点O，连接，，那么，之间也存在一定的关系．请写出它们的关系并证明． 99．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 100．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【问题背景】在几何学习中，我们常研究共顶点的两个正方形构成的图形．如图，已知正方形和正方形有一个公共顶点C，点E在正方形外部，连接，取的中点P，连接，． 【特殊位置探究】 (1)如图①，将正方形绕点C旋转，使得点G落在边的延长线上，延长交于点Q，证．则是________三角形，和的数量关系是________，和的位置关系是________． 【一般情形拓展】 (2)如图②，将正方形绕点C旋转任意角度（点E、F不与正方形的边重合），点P仍为的中点．问：线段和是否仍然保持（1）中的数量关系与位置关系？请证明你的结论． 【迁移运用】 (3)若将正方形绕点C顺时针旋转时，边恰好平分线段，请求出的值． 101．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G． (1)若点M在对角线上，则 度； (2)如图，若E是的中点，试用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若点E在边的延长线上，且，在备用图上画出示意图，并求的长． 题型七 一次函数与几何综合（共20小题） 102．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 103．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，轴于A，两点．分别过A、B两点作轴与x轴的平行线相交于点C，动点P在线段上运动（不与点O、A重合），为线段的中点，连接，并延长交于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若点P的坐标为，的面积记为S，求S关于的函数关系式； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 104．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一点，且，请直接写出点的坐标． 105．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）阅读材料：我们知道正比例函数的图像经过定点．进一步研究一次函数 的图像，将它整理成后，当含字母系数 的项为0即 ， 时， ，因此该函数的图像经过定点． 解决问题： 已知一次函数（）的图像经过定点P． (1)求定点P的坐标； (2)在平面直角坐标系中，如图，该一次函数的图像上有一点Q，当点Q横坐标增加2时，其纵坐标增加3． ①求此时该一次函数的表达式； ②设一次函数（）的图像与y轴交于点A，点M在x轴正半轴上，直线 与y轴正半轴交于点N，以 、 为邻边作平行四边形，如果P恰好是平行四边形两条对角线的交点，求点N的坐标． 106．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标以及的面积； (2)若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 107．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）综合与探究 如图所示，在直角坐标系中，直线l与x轴y轴交于A、B两点，已知点A的坐标是，B的坐标是． (1)求直线l的解析式； (2)若点是线段上一定点，点是第一象限内直线l上一动点，试求出点P在运动过程中的面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）问的条件下，若，此时在坐标平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 108．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 109．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 110．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 111．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． (1)求点B和点C的坐标； (2)M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,． ①求的最小值； ②在点M移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由． 112．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过两点，且a，b满足，的平分线交x轴于点E． (1)求直线的表达式； (2)求直线的表达式； (3)点B关于x轴的对称点为点C，过点A作y轴的平行线交直线于点D，点M是线段上一动点，点P是直线上一动点，则能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由． 113．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，直线：经过点，且与轴交于点． (1)直接写出、的坐标及直线的解析式； (2)已知点在直线上，若，求点的坐标； (3)如图，将绕点顺时针旋转，分别交线段、于、两点，若四边形内部恰好有个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标． 114．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 115．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若直线与轴相交于点， ①若平分，且交轴于点，求直线的表达式； ②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标． 116．（25-26八年级上·江苏南京·期末）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点和，用以下方式定义两点间距离：已知点，点 【初步理解】 （1）___________． （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，___________定值，___________定值两空均选填“是”或“不是” 【深入理解】 （3）在图②中画出使的所有点围成的图形． （4）函数（为常数）； ①当时，若点是这个函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为___________； ②若这个函数的图象上存在点使，直接写出k的取值范围． 【实际运用】 （5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 117．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接，设点的横坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 118．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若点正好落在线段上，求点的坐标； (3)若，求点的坐标． 119．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，点在一次函数图象上，垂直轴于点，点为线段上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)求，的值； (2)是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当、、或者、、不共线时，请直接写出，和之间的数量关系． 120．（25-26八年级上·四川成都·期末）直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，的周长是，点是线段上一个动点，点在轴上．    (1)求直线的解析式． (2)如图，若的面积是，求点的坐标． (3)如图，过作轴的平行线交线段于点，垂直轴于点、连接，点是线段的中点，过点作，点在直线上，点运动过程中，判断线段的长度是否变化？证明你的结论． 121．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 题型八 一次函数的新定义问题（共10小题） 122．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“旋垂点”．例如：如图1，，，三点中，因为，且，所以点为2的“旋垂点”． (1)①点，，则___________2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点，，则点是4的“旋垂点”，则点的坐标为___________． (2)如图3，若点为，一次函数上存在2的“旋垂点”，点在轴上，求2的“旋垂点”的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“旋垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在内，，，连接，直接写出的面积． 123．（25-26八年级上·安徽六安·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 124．（25-26八年级下·北京·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 125．（25-26八年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“制导点”． (1)如图1，点坐标为． ①当点时，点的“制导点”的坐标为_____________； ②若点为点的“制导点”，则点的坐标为_____________． (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“制导点”，直接写出的取值范围_____________． 126．（24-25八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点，定义如下：若存在两点，使得且，则称点为以这两个点为端点的线段的中点源．如图，正方形的顶点为，，，． (1)若点，则下列点是线段的中点源的有_________________（填写点的序号即可） ①，②，③，④ (2)点，都在直线上，且线段的中点源点在对角线上，若，求点的坐标． (3)平行四边形的四个顶点为，，，．在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若平行四边形边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源，请直接写出的取值范围． 127．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过多边形不相邻的两个顶点，则称此函数为该多边形的伴随函数．例如，平行四边形的四个顶点分别为，，，，则函数，都是平行四边形的伴随函数． (1)如图1，菱形的边轴，且，，过点作，垂足为． ①点的坐标为________； ②已知函数是菱形的伴随函数，求的值． (2)如图2，矩形边轴，且，，，反比例函数（，）经过点，且为矩形的伴随函数．求证：点、、在同一条直线上． 128．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的平衡点．例如，点是函数的图象的平衡点． (1)函数是否存在平衡点，若存在，求出平衡点坐标，若不存在，说明理由； (2)将一次函数的图象关于轴对称，若对称后的图象存在平衡点，求的取值范围； (3)设函数与的图象的平衡点分别为点、，过点作轴，垂足为．当为以为底边的等腰三角形时，求的值． 129．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中有、、三个点，如图1所示，如果将点绕点旋转后得到点，则称点与点关于点互为“垂链点”，其中一个点叫做另一个点关于点的“垂链点”． 例如：对于平面直角坐标系中的三个点，，，因为点可以看作是将点绕点旋转后得到的一个点，所以点是点关于点的“垂链点”． 探究任务一： (1)已知点的坐标为，点的坐标为，则点___________点关于点的“垂链点”；（填“是”或“不是”） (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若点是点关于点的“垂链点”，那么点的坐标是___________； 探究任务二： 已知点，并且点在轴上． (3)如图2所示，在一次函数的图象上存在点，且点是点关于点的“垂链点”，求点的坐标； (4)若在一次函数的图象上存在无数个点，且点是点关于点的“垂链点”． ①直接写出这个一次函数的表达式___________； ②若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是内部一点，且，，若点是线段上的一个动点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式． 130．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，给出如下定义：当时，称点M与点N互为“和等点”． ，称n为等和． 例如：点，点，因，点P与点Q就是和等点，8为等和． (1)已知点，下列各点，，，其中与点A互为“和等点”的是 ，等和为 ． (2)点与点都在直线上，且点C与点D互为“和等点”，求m的值； (3)如图1，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点K、L，这两个点为和等点，等和为6，求的长． (4)如图2，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，点T在第二象限，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，请直接写出等和n的取值范围为 ． 131．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“稳定函数”，点为该函数图象上的一个“稳定点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“稳定函数”，点为该函数图象上的一个“稳定点”．某数学兴趣小组围绕该定义，对“稳定函数”进行了相关探究． (1)根据你对“稳定函数”的理解，以下结论中，正确结论的序号是________． ①不是“稳定函数”； ②是“稳定函数”，只有一个“稳定点”； ③是“稳定函数”，有无数个“稳定点”． (2)若“稳定函数”的图象上的一个“稳定点”为，求m、n的值； (3)若一次函数不是“稳定函数”，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 1．如图，河岸，村庄E和村庄F在河的两岸，现要在河上架一座桥，点M、N分别在、上，M、N是动点，，过点F作，连接，，若米，米，米，则的最小值为（     ） A．50米 B．60米 C．80米 D．120米 2．如图，三角形，三角形，三角形，…是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．17世纪法国数学家笛卡尔在前人的基础上创立了平面直角坐标系，通过坐标系将几何问题转化为代数问题，为数学研究提供了新的工具和方法．如图所示，将等腰直角三角板的两个顶点放在两坐标轴上，若直角边所在直线的解析式为，则点的坐标为_____． 4．如图，在梯形中，，对角线，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和（）等于________． 5．如图1，在正方形中，点E，F分别是上的点，且，连接，过点E作，使，连接． (1)判断：与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　； (2)如图2，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ 请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E，F分别是边延长线上的点，正方形的边长为， ，其他条件不变，求四边形的面积．（用含a的式子表示） 6．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $