精品解析：2023年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（二）

2023年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（二） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. “2023河南春晚”播出，再次刷新了观众对传统文化年轻化表达的解读与追求，在百度搜索关键词“河南春晚”出现相关结果约37500000个，将“37500000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，如果左视图面积为5，则俯视图的面积为（ ） A. 4 B. C. 7 D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是中心对称图形 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 从两男、两女四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“学课标说教材”比赛，则恰好抽到两名女教师的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，按照下列方法作图：（1）以点B为圆心，适当的长度，为半径画弧分别交于点D、E；（2）分别以点 D、E为圆心，大于 的长为半径画弧交于点 P；（3）作射线交于点 F，若， 则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示，动点P从正六边形的A点出发，沿A→B→C→D→E以1cm/s的速度匀速运动到点E，图2是点P运动时，的面积随着时间的变化的关系图象，则图2中的m为（　　） A. B. C. D. 二、、填空题（每题3分，共15分）​ 11. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 请写出一个图象经过的一次函数解析式________． 13. 甲、乙两组篮球运动员人数相同，身高的平均数相同，方差分别为：，则这两队队员身高最整齐的是 _____． 14. 如图所示的扇形中，，过点O作，交于点，若，则阴影部分的面积为______． 15. 如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 2022版《义务教育新课程标准》指出，从2022年秋季开始，劳动课成为中小学的一门独立课程，标准还指出“小学1至2年级不少于2小时，其他年级不少于3小时”．某初中学校为了解本校学生每周劳动时长，组织数学社团按下列步骤来开展统计活动． 一、确定调查对象 有以下三种调查方案供参考： 方案一：从七年级抽取70名学生，进行每周劳动时长调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取70名学生，进行每周劳动时长调查； 方案三：从全校1600名学生中随机抽取200名学生，进行每周劳动时长调查． 二、收集整理数据 按照标准，学生每周劳动时长分为A、B、C、D四个类别，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图． 抽取的学生每周劳动时长统计表 等级确定 A B C D 劳动时长/小时 人数 a 60 32 b 三、分析数据，解答问题 （1）一中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 ； （2）统计表中的a＝ ，b＝ ； （3）请估算该校学生中，每周劳动时长“不符合课程要求”的人数． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中，正方形的顶点B、C在x负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 19. 位于登封市区西北的法王寺塔，是中国最早的佛寺之一，约建于唐代盛期即公元八世纪前半叶，是唐代甚至中国最优美的古塔，现为全国重点文物保护单位．某数学社团利用无人机测量法王寺塔的高度，无人机的起飞点B与法王寺塔（）的水平距离为，无人机垂直升腾到A处测得塔的顶部D处的俯角为，测得塔的底部C处的俯角为，求法王寺塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，） 20. 独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D． （1）求证：； （2）若，求的半径． 21. 某绿植店购进两种多肉植物试销，已知A种“石榴籽”比B种“红莲花”的进货单价多6元，且购进25盆A种多肉和15盆B种多肉共花费310元． （1）A种“石榴籽”和B种“红莲花”的进货单价分别是多少元？ （2）由于多肉畅销，绿植店决定再购进这两种多肉共150盆，其中A种多肉数量不多于B种多肉的2倍，且每种多肉的进货单价保持不变，若A种的销售单价为14元，B种的销售单价为6元，试问如何进货才能使得第二次销售获利最大，最大利润为多少元？ 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点A为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）将线段向左平移一个单位得对应线段，点E为线段上一动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，请依据图形直接写出点F的纵坐标的取值范围． 23. 如图所示，在中，，点D为射线上一动点，作，过点B作，交于点E，连接．（点A、E在的两侧） 【问题发现】 （1）如图1所示，若时，、的数量关系为 ，直线、的夹角为 ； 【类比探究】 （2）如图2所示，若时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（二） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解． 【详解】在数轴上，点到原点的距离是， 所以，的绝对值是， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 2. “2023河南春晚”播出，再次刷新了观众对传统文化年轻化表达的解读与追求，在百度搜索关键词“河南春晚”出现相关结果约37500000个，将“37500000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将“37500000”用科学记数法表示为． 3. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，如果左视图面积为5，则俯视图的面积为（ ） A. 4 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可知：该几何体的左视图是由个小正方形组成，俯视图是由三个小正方形组成， ∵左视图面积为5， ∴每个正方形的面积为， ∴俯视图的面积为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与a不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意． 5. 如图所示，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定可得，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 6. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质依次判断即可． 【详解】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意； B．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意； C．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意； D．菱形是中心对称图形，正确，不符合题意． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 从两男、两女四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“学课标说教材”比赛，则恰好抽到两名女教师的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列表法或树状图法求概率即可． 【详解】解：设男教师为男1，男2，女教师为女1，女2，画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，恰好抽到两名女教师的结果有2种， ∴恰好抽到两名女教师的概率为． 9. 在中，按照下列方法作图：（1）以点B为圆心，适当的长度，为半径画弧分别交于点D、E；（2）分别以点 D、E为圆心，大于 的长为半径画弧交于点 P；（3）作射线交于点 F，若， 则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理可得,根据作图得知平分，再根据勾股定理求解． 【详解】解：过点F作于点H， ∵， ∴， 设，由作图得：平分， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选C． 10. 如图1所示，动点P从正六边形的A点出发，沿A→B→C→D→E以1cm/s的速度匀速运动到点E，图2是点P运动时，的面积随着时间的变化的关系图象，则图2中的m为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点B作于点G，过点A作于点H，则点P运动到C点时，面积最大，根据正六边形的性质得到，即为等边三角形，根据等边三角形的性质求面积即可解题． 【详解】解：连接，过点B作于点G，过点A作于点H， 当点P运动到C点时，面积最大， 由图2知，， ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正六边形的性质和等边三角形的性质，找到面积最大时的位置是解题的关键． 二、、填空题（每题3分，共15分）​ 11. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，可得分母不为零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则分母满足， 解得． 12. 请写出一个图象经过的一次函数解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设函数，，为常数，由图象经过点得到，根据k的取值即可得到答案． 【详解】解：设函数，，为常数， 图象经过点， ∴． 这样满足条件的函数可以为：（答案不唯一）． 13. 甲、乙两组篮球运动员人数相同，身高的平均数相同，方差分别为：，则这两队队员身高最整齐的是 _____． 【答案】乙 【解析】 【分析】方差越小，数据的波动越小，即身高越整齐，比较甲乙两队方差的大小即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴这两队队员身高最整齐的是乙． 14. 如图所示的扇形中，，过点O作，交于点，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】用扇形的面积减去三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算、解直角三角形等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 15. 如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】当时，过点Ｆ作于点Ｍ，设，则，得到；设，则，则，求解即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B的对应点为F， ，， 为等腰三角形， 当时， ， ， 过点Ｆ作于点Ｍ， ， ， ， ， 设，则， 则， 根据题意，得， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得； 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 2022版《义务教育新课程标准》指出，从2022年秋季开始，劳动课成为中小学的一门独立课程，标准还指出“小学1至2年级不少于2小时，其他年级不少于3小时”．某初中学校为了解本校学生每周劳动时长，组织数学社团按下列步骤来开展统计活动． 一、确定调查对象 有以下三种调查方案供参考： 方案一：从七年级抽取70名学生，进行每周劳动时长调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取70名学生，进行每周劳动时长调查； 方案三：从全校1600名学生中随机抽取200名学生，进行每周劳动时长调查． 二、收集整理数据 按照标准，学生每周劳动时长分为A、B、C、D四个类别，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图． 抽取的学生每周劳动时长统计表 等级确定 A B C D 劳动时长/小时 人数 a 60 32 b 三、分析数据，解答问题 （1）一中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 ； （2）统计表中的a＝ ，b＝ ； （3）请估算该校学生中，每周劳动时长“不符合课程要求”的人数． 【答案】（1）方案三 （2）28，80 （3）约640人 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的概念求解即可； （2）总人数乘以D等级圆心角度数所占比例可得b的值，再根据四个等级人数之和等于总人数可得a的人数； （3）总人数乘以D等级人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：从全校1600名学生中随机抽取200名学生，进行每周劳动时长调查是最具有代表性和广泛性的抽样调查的方案， 故答案为：方案三． 【小问2详解】 解：D等级人数为， ． 故答案为：28、80； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校学生中，每周劳动时长“不符合课程要求”的有640人． 【点睛】本题考查了从统计图中提取信息进行计算问题，考查的知识有抽样调查，频数，样本估计总体等知识，掌握相关定义，准确提取信息并进行准确计算是解题的关键． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中，正方形的顶点B、C在x负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可得； （2）根据点D的坐标得且正方形边长为3，即，根据点E在上可设，根据点E在反比例函数上得，即，即可得． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式：； 【小问2详解】 解：∵， ∴且正方形边长为3， ∴， ∵点E在上， ∴设， ∵点E在反比例函数上， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 19. 位于登封市区西北的法王寺塔，是中国最早的佛寺之一，约建于唐代盛期即公元八世纪前半叶，是唐代甚至中国最优美的古塔，现为全国重点文物保护单位．某数学社团利用无人机测量法王寺塔的高度，无人机的起飞点B与法王寺塔（）的水平距离为，无人机垂直升腾到A处测得塔的顶部D处的俯角为，测得塔的底部C处的俯角为，求法王寺塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】法王寺塔的高度约为 【解析】 【分析】过点A作的平行线，与的延长线交于点E，得出四边形为矩形，确定，利用正切函数得出，，结合图形即可求解． 【详解】解：过点A作的平行线，与的延长线交于点E， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， 在中，， 解得， 在中，， 解得， ∴． ∴法王寺塔的高度约为． 20. 独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）5． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质． （1）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论； （2）连接PB，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 在中，∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴的半径为5． 21. 某绿植店购进两种多肉植物试销，已知A种“石榴籽”比B种“红莲花”的进货单价多6元，且购进25盆A种多肉和15盆B种多肉共花费310元． （1）A种“石榴籽”和B种“红莲花”的进货单价分别是多少元？ （2）由于多肉畅销，绿植店决定再购进这两种多肉共150盆，其中A种多肉数量不多于B种多肉的2倍，且每种多肉的进货单价保持不变，若A种的销售单价为14元，B种的销售单价为6元，试问如何进货才能使得第二次销售获利最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）A种“石榴籽”进货单价为10元，B种“红莲花”的进货单价为4元 （2）第二批购进A种多肉100盆，B种多肉50盆时，总利润最大，最大利润为500元 【解析】 【分析】（1）设A种“石榴籽”进货单价为x元，B种“红莲花”的进货单价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设第二批购进A种多肉m盆，总利润为w元，根据题意列出不等式得出，m为正整数，然后列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种“石榴籽”进货单价为x元，B种“红莲花”的进货单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种“石榴籽”进货单价为10元，B种“红莲花”的进货单价为4元； 【小问2详解】 设第二批购进A种多肉m盆，总利润为w元， 根据题意，得， 解得，m为正整数， 根据题意得：， ∵， ∴w随着m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， 此时购进A种多肉100盆，B种多肉（盆）， 答：第二批购进A种多肉100盆，B种多肉50盆时，总利润最大，最大利润为500元． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点A为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）将线段向左平移一个单位得对应线段，点E为线段上一动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，请依据图形直接写出点F的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再运用配方法即可得出顶点坐标； （2）由平移可得，设，且，然后根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵对称轴是直线，与x轴的一个交点A为， ∴抛物线与x轴的另一个交点B为， 把、分别代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：如图， ∵将线段向左平移一个单位得对应线段， ∴， ∵点E为线段上一动点， ∴设，且， 当时，， 当时，， 当时，为最小值， ∴点F的纵坐标的取值范围． 23. 如图所示，在中，，点D为射线上一动点，作，过点B作，交于点E，连接．（点A、E在的两侧） 【问题发现】 （1）如图1所示，若时，、的数量关系为 ，直线、的夹角为 ； 【类比探究】 （2）如图2所示，若时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2）不成立，，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）的长为或3 【解析】 【分析】（1）证，由全等三角形的性质得，，即可解决问题； （2）证，由相似三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质分别求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 同理：， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 分两种情况： ①如图3，当时， 同（2）可知，， ∴， ∴； ②如图4，当时， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同（2）可知，， ∴， 即， 解得：； 综上所述，的长为或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $