精品解析：2022年辽宁省沈阳市中考数学冲关测试卷三

沈阳中考数学冲关测试卷（三） 试题满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分） 1. 的倒数为（ ） A. B. 4 C. D. 2. 下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ） A. 2.034×106 B. 20.34×105 C. 0.2034×106 D. 2.034×103 3. 如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ） A. 125° B. 115° C. 110° D. 120° 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 画一个三角形，其内角和是180° B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5 C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片 D. 明天太阳从东方升起 8. 若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 0或﹣4 9. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程组的解是______． 12. 在中，若，则是________三角形． 13. 2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市.某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，_____________选手的成绩更稳定. 14. 在中，，，D，E分别在边， 上，且，M，N分别为线段， 的中点，过A作交 于T， ，则________． 15. 如图，点A在x轴正半轴上，，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点C，交边于点D，则点D的坐标为________． 16. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到 ，旋转角为 （），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接 ，．在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接，当，的值________． 三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17. 计算：． 18. 图1是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字2，3，4，5．图2是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的 点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续…… （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 处的概率是______． （2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点 处的概率． 19. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ． 四、（每小题8分，共16分） 20. 某中学为了丰富学生校园生活，满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，学校开展了丰富多彩的社团活动，该校开展的社团活动有5个类别，他们分别是A：动漫社团，B：轮滑社团，C：音乐社团，D：诗歌社团，E：书法社团，每个学生必须参加且只能参加一个类别的社团活动．该校七年级某同学在学习完“数据的收集、整理与描述”知识后，想通过所学知识分析全校500名同学参加社团活动的情况，于是他在该校随机抽取40名同学开展了一次调查统计分析，过程如下： 收集数据：记录40名同学参加社团活动的类别情况如下： B，E，B，A，E，C，C，C，B，B， A，C，E，D，B，A，B，E，C，A， D，D，B，B，C，C，A，A，E，B， C，B，D，C，A，C，C，A，C，E． 整理数据：列统计表、绘扇形图如下： 参加社团活动的人数统计表 社团活动类别 人数 A：动漫社团 8 B：轮滑社团 10 C：音乐社团 m D：诗歌社团 n E：书法社团 6 合计： 40 请根据上面的统计分析的过程和结果，解答下列问题： （1）写出m、n、a的值； （2）求社团“D：诗歌社团”所在的扇形图的圆心角的度数； （3）估计全校参加“D：诗歌社团”和“E：书法社团”的人数． 21. 某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？ 五、（本题10分） 22. 如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F． （1）求证：EF=ED； （2）如果半径为5，cos∠ABC=，求DF的长． 六、（本题10分） 23. 已知，一次函数的图像与轴、轴分别交于点 、点 ，与直线 相交于点 ，过点 作轴的平行线l，点是直线l上的一个动点． （1）求点 ，点 的坐标． （2）若，求点的坐标． （3）若点 是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点 的坐标． 七、（本题12分） 24. 等边三角形中，点D是 的中点，点E是直线上的动点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接 ，交 于点M． （1）问题发现： 如图（1），若点E在A点处时，求证：四边形为菱形； （2）探究证明： 如图（2）若点E是线段上任意一点，求证： 垂直平分 ； （3）拓展延伸： ①若，，________； ②图（3）若，，G为 边上一动点，连接 ．以 为边向右侧作等边，连接，则最小值为________． 八、（本题12分） 25. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，点P为抛物线上一动点，过点P作平行 交抛物线于Q． （1）求 的解析式； （2）①P，Q重合时，所在直线解析式为________； ②在①条件下，取线段 中点M，连接 ，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么四边形，并说明理由？ （3）已知，连接，，轴，交于E，x轴负半轴上有一动点F，，的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳中考数学冲关测试卷（三） 试题满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分） 1. 的倒数为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：的倒数为． 故选：C． 2. 下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ） A. 2.034×106 B. 20.34×105 C. 0.2034×106 D. 2.034×103 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106． 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，即可可得答案． 【详解】解：从上边往下看为：正六边形，中间有一个圆，如图所示： 故选择：D. 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，注意从上边看得到的图形是俯视图． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．不是同类项，不能进一步计算，不符合题意； B．，故错误，不符合题意； C．，故错误，不符合题意； D．，正确，符合题意． 5. 将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ） A. 125° B. 115° C. 110° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠1+∠BFE＝180°， ∵∠1＝125°， ∴∠BFE＝55°， ∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°， ∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°， ∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解出各个不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分，再把解集表示在数轴上． 【详解】解：， 由不等式①，得， 由不等式②，得， 故原不等式组的解集是， 解集在数轴上表示为： 7. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 画一个三角形，其内角和是180° B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5 C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片 D. 明天太阳从东方升起 【答案】B 【解析】 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可． 【详解】解： 、画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，属于随机事件； 、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件； 、明天太阳从东方升起，是必然事件； 故选：B． 【点睛】本题主要考查随机事件的概念：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件． 8. 若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 0或﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知先确定m≠0，再由方程根的情况，利用判别式Δ＝4m2﹣16m＝0，求解m即可． 【详解】解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程， ∴m≠0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝4m2﹣16m＝0， ∴m＝0或m＝4， ∴m＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元二次方程． 9. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象可知：当时，的图像在图像的上方，据此即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：当时，，即不等式的解集为：． 故选：B． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由AE为角平分线，得到∠DAE=∠BAE，由ABCD为平行四边形，得到DC//AB，推出AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF（AAS），得出AF=EF，即可求出AE的长． 【详解】解：∵AE为∠DAB的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC//AB， ∴∠BAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴AD=FD， 又F为DC的中点， ∴DF=CF， ∴AD=DF=DC=AB=2， 在Rt△ADG中，DG=1， ∴AG==， ∵DG⊥AE， ∴AF=2AG=2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF， 在△ADF和△ECF中，， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF=EF， 则AE=2AF=4． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法将x=1代入到x+y=5中，解出y即可． 【详解】解：， 将x=1代入到x+y=5中， 解得：y=4， ∴方程的解为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查用代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是要熟练掌握代入消元法的步骤． 12. 在中，若，则是________三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 13. 2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市.某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，_____________选手的成绩更稳定. 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：根据统计图可得出：SA2＜SB2，则A选手的成绩更稳定， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 14. 在中，，，D，E分别在边，上，且，M，N分别为线段， 的中点，过A作交 于T， ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，取 的中点G，连接，，延长交 于H，过点T作于K，先根据中位线的性质求出为等腰直角三角形，再根据平行线的性质求出为等腰直角三角形，设，则，求出，再根据含角的直角三角形得到，即可求解． 【详解】解：连接 ，取 的中点G，连接，，延长交 于H，过点T作于K， ∵G、M、N分别为 、、 的中点， ，，，， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ∵， ∴，即为等腰直角三角形， 设，则， ， ，解得：， ， 在中，，， ， ， ． 15. 如图，点A在x轴正半轴上，，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点C，交边于点D，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】作CE⊥OA于E，由反比例函数系数k的几何意义求得OE，即可求得C的坐标，从而求得直线OC的解析式，根据平行线的性质设直线AB的解析式为y=2x+b，根据待定系数法即可求得解析式，然后与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得D的坐标． 【详解】解：作CE⊥OA于E， ∵B（5，4），四边形AOCB为平行四边形， ∴CE=4， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴S△COE=OE•CE=×8， ∴OE=2， ∴C（2，4），OA=AB=5-2=3， ∴A（3，0）， 设直线OC为y=kx， 把C（2，4）代入得，4=2k，解得k=2， ∵AB∥OC， ∴设直线AB的解析式为y=2x+b， 代入A（3，0）解得，b=-6， ∴直线AB的解析式为y=2x-6， 由得或， ∴点D的坐标为（4，2）， 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，解方程组等，求得直线AB的解析式是解题的关键． 16. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到 ，旋转角为 （），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接 ， ．在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接，当，的值________． 【答案】或 【解析】 【分析】当点G在点A右侧时，连接，，过点E作于点H，过点C作于点M，先证四边形是平行四边形，求得，根据三线合一求得，再根据勾股定理分别求出的值，即可得解； 当点G在点A左侧时，连接与交于点M，与 交于点H，先证得四边形为菱形，可得，再根据三角形的面积求得的值，继而可得 的长，最后根据勾股定理求得的值，即可得解． 【详解】解：如图，当点G在点A右侧时，连接，，过点E作于点H，过点C作于点M， ∵在中，，由旋转，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ，，， ， 在中，由勾股定理得， ．在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ； 如图，当点G在点A左侧时，连接与交于点M，与 交于点H， ，，，，， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形， ，， ， ， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 图1是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字2，3，4，5．图2是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的 点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续…… （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 处的概率是______． （2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点 处的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）一次抛掷底面数字为2时，可以到达点C，根据概率公式计算即可； （2）列表得到所有的情况数，然后再找到符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可. 【详解】随机掷一次骰子，骰子底面数字可以是 2、3、4、5． （1）满足棋子跳动到点 C 处的数字是 2，则棋子跳动到点C处的概率是． （2）列表如图： 第1次 第2次 2 3 4 5 2 4 5 6 7 3 5 6 7 8 4 6 7 8 9 5 7 8 9 10 （树状图或列表） 共有16种等可能性的结果，两次抛掷底面的和为8时可以到达点 ，此时共有3种情形， 所以（棋子最终跳动到 点处）． 【点睛】本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 19. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ． 【答案】 （1）证明：∵矩形ABCD， ∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD， ∴OA=OD， ∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∴四边形AODE是菱形． （2）矩形 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可； （2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， ∴平行四边形AODE是矩形． 故答案为：矩形． 【点睛】本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证正出∠AOD=90°、OA=OD是解此题的关键． 四、（每小题8分，共16分） 20. 某中学为了丰富学生校园生活，满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，学校开展了丰富多彩的社团活动，该校开展的社团活动有5个类别，他们分别是A：动漫社团，B：轮滑社团，C：音乐社团，D：诗歌社团，E：书法社团，每个学生必须参加且只能参加一个类别的社团活动．该校七年级某同学在学习完“数据的收集、整理与描述”知识后，想通过所学知识分析全校500名同学参加社团活动的情况，于是他在该校随机抽取40名同学开展了一次调查统计分析，过程如下： 收集数据：记录40名同学参加社团活动的类别情况如下： B，E，B，A，E，C，C，C，B，B， A，C，E，D，B，A，B，E，C，A， D，D，B，B，C，C，A，A，E，B， C，B，D，C，A，C，C，A，C，E． 整理数据：列统计表、绘扇形图如下： 参加社团活动的人数统计表 社团活动类别 人数 A：动漫社团 8 B：轮滑社团 10 C：音乐社团 m D：诗歌社团 n E：书法社团 6 合计： 40 请根据上面的统计分析的过程和结果，解答下列问题： （1）写出m、n、a的值； （2）求社团“D：诗歌社团”所在的扇形图的圆心角的度数； （3）估计全校参加“D：诗歌社团”和“E：书法社团”的人数． 【答案】（1）m＝2，n＝4，a＝25 （2）36° （3）125人 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）用360°乘以“D：诗歌社团”所对应的百分比即可得到结论； （3）用总人数乘以参加“D：诗歌社团”和“E：书法社团”对应百分比可得． 【小问1详解】 解：m＝40×30%＝12， n＝40﹣（8+10+12+6）＝4， a＝×100＝25； 【小问2详解】 解：社团“D：诗歌社团”所在的扇形图的圆心角的度数为360°×＝36°； 【小问3详解】 解：500×＝125（人）， 答：估计全校参加“D：诗歌社团”和“E：书法社团”的人数为125人． 【点睛】本题主要考查数据的收集、整理及应用，在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况． 21. 某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？ 【答案】45 【解析】 【分析】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元，由购买大号垃圾桶的数量比小号垃圾桶少40个列出方程解答即可； 【详解】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元 依题意得： 解得： 经检验，是原方程的解 答：每个小号垃圾桶的价格是45元. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的相等关系，列方程求解． 五、（本题10分） 22. 如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F． （1）求证：EF=ED； （2）如果半径为5，cos∠ABC=，求DF的长． 【答案】（1）证明见解析（2）5 【解析】 【分析】⑴根据圆的性质与定义，利用角的关系即可求解；⑵根据圆的定义与性质，利用三角形的性质，通过勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∵DE∥AB， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠BDF=90°， ∴∠1+∠F=90°，∠3+∠EDF=90°， ∴∠F=∠EDF， ∴EF=DE； （2）连接CD，AD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∵DE∥AB， ∴∠DEF=∠ABC， ∵cos∠ABC=， ∴在Rt△ECD中，cos∠DEC=， 设CE=3x，则DE=5x， 由（1）可知，BE=EF=5x， ∴BF=10x，CF=2x， 在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF=2x， ∵半径为5m， ∴BD=10， ∵BF×DC=FD×BD， ∴10x•4x=10•2x， 解得：x=， ∴DF=2x=5． 【点睛】本题考查了圆的性质和三角形的性质，掌握数形结合的方法是解决本题的关键. 六、（本题10分） 23. 已知，一次函数的图像与轴、轴分别交于点 、点 ，与直线 相交于点 ，过点 作轴的平行线l，点是直线l上的一个动点． （1）求点 ，点 的坐标． （2）若，求点的坐标． （3）若点 是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点 的坐标． 【答案】（1），； （2）或者； （3） 点坐标为：或或或或． 【解析】 【分析】（1）由一次函数解析式可直接求解； （2）由两直线解析式求出交点C的坐标，再由面积相等求出线段的长度，继而得出点P的坐标； （3）设点、点，当时， 当点P在y轴右侧时， 当点P在点E的左侧时，如图1， 过作于，过 作于，当点P在点E的右侧时，如下图， 当时，当点P在y轴左侧时，如图2， 如图3，当时， 当点P在y轴右侧时， 当点P在点E的左侧时，如图4，过作于L，过 作于K，再利用全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：由 当时，；当时，， ∴，； 【小问2详解】 解∶联立 解得：， ∴ ． ∴． ∴， 解得：． ∴或． 【小问3详解】 解：设点、点； 当时， 当点P在y轴右侧时， 当点P在点E的左侧时，如图1， 过作于，过 作于， ∵，， ∴， 而， ∴， 则，， 即， 解得：， ∴， 当点P在点E的右侧时，如下图， 同理可得：， 解得， 即， 当时，当点P在y轴左侧时，如图2， 同理可得： ， 解得：，即点； 如图3， 同理可得： ，解得：， 即； 当时， 当点P在y轴右侧时， 当点P在点E的左侧时，如图4，过作于L，过 作于K， 同理可得： ，解得：， 即； 综上， 点坐标为：或或或或． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形，等腰直角三角形的定义，全等三角形是判定与性质，二元一次方程组的应用，构建几何图形，利用数形结合的方法解题是关键． 七、（本题12分） 24. 等边三角形中，点D是 的中点，点E是直线上的动点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接 ，交于点M． （1）问题发现： 如图（1），若点E在A点处时，求证：四边形为菱形； （2）探究证明： 如图（2）若点E是线段上任意一点，求证： 垂直平分； （3）拓展延伸： ①若，，________； ②图（3）若，，G为 边上一动点，连接 ．以 为边向右侧作等边，连接，则最小值为________． 【答案】（1）证明：为等边三角形，为等边三角形， ，，， ， ∴四边形为菱形； （2）证明：如图（2），连接， ， ∵点D是等边的 边的中点， ，， ∴是 的垂直平分线， ， 和为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ，， ∴点F，点B分别在的垂直平分线上， ∴ 是的垂直平分线． （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，即可得证； （2）连接， ，由等边三角形的性质可得，，再根据证明，可得，继而可得证； （3）①分当点E在线段上时和当点E在线段的延长线上时两种情况，根据解直角三角形和求解即可； ②由题可知，点G在线段 上运动，点F也一定在直线上运动，将绕点E逆时针旋转，使 与 重合，得，从而可知为等边三角形．点F在垂直于的直线上，作，则即为最小值．作，可知四边形为矩形，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图（2）， 在中，， ， ， 由（2）可知，， ， 当点E在线段的延长线上时，， ． 综上所述，的面积为或； ②由题可知，点G在线段 上运动，点F也一定在直线上运动，将绕点E逆时针旋转，使 与 重合，得， ∴，，， ∴为等边三角形，点F在垂直于的直线上， 作于点P，则即为最小值， 作于点M，可知四边形为矩形， 则． 八、（本题12分） 25. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，点P为抛物线上一动点，过点P作平行 交抛物线于Q． （1）求 的解析式； （2）①P，Q重合时，所在直线解析式为________； ②在①条件下，取线段 中点M，连接 ，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么四边形，并说明理由？ （3）已知，连接，，轴，交于E，x轴负半轴上有一动点F，，的长为________． 【答案】（1） （2）①； ②以点为顶点的四边形是菱形． 理由如下：是的中点，，， ， 解方程组 得， ，如图： ， 四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，求出抛物线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）①先由平行可设直线的解析式为：，再与抛物线表达式联立，得到关于的一元二次方程，根据求解即可； ②联立直线与抛物线的表达式求出点，再由两点之间距离公式求解得到，即可证明其为菱形； （3）先求出，求出，则，，那么，，取的外心，连，，，作轴，则，，则为等边三角形，可得，，证明四边形是平行四边形，则，，再由勾股定理求解，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C， 当， ， 令，则， 解得 或， ∴，， 设 的解析式为：， 则， ， ∴直线 的解析式为； 【小问2详解】 解：① ， 设直线的解析式为：， 由方程组消去整理得，， 两点重合， ∴， ， 的解析式为：； ②略 【小问3详解】 解：，， ，， ， ， 轴， ∴ ∴， ∴， ，， 取的外心，连，，，作轴，则， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $