精品解析：安徽合肥市肥东圣泉中学2026届高三最后一卷数学试题

肥东圣泉中学26届高三数学最后一卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 得，所以集合， 集合，即， 因为，所以. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则. 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. C. 9 D. 27 【答案】A 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得：，可得， 所以. 4. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 5. 在三角形中，，，点P满足，则的最大值为（ ） A. 11 B. 16 C. 18 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，判断点P在以C为圆心半径为2的圆上，结合圆的几何性质以及数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】如图，把三角形ABC补成矩形，由，知, 由，知， 则 ， ，知点P在以C为圆心半径为2的圆上， 延长与圆交于点E， 当P点与E点重合时最大， 此时. 6. 已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点 在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得当的值最小，即时，取得最小值. 【详解】 圆， 圆心，半径是圆的两条切线， ，由圆的知识可知四点共圆，且， . 又当的值最小，即时，取得最小值. 的最小值为. 7. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，可得时，，，，时，，结合图像可得当时，，当时，，当时，，然后逐项判断即可． 【详解】解： 令， 时，，即， 时，，即， 时，，即， 又、在单调递增， 所以、的函数图像如下： 当时，，当时，，当时，， 故不可能成立． 8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点是的一个顶点 C. 的方程为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据题设定义可得的渐近线为直线与轴，且直线与轴夹角为，进而得到双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等，可得双曲线的一条渐近线倾斜角为，即，进而求解离心率即可；对于B，易得双曲线的实轴方程为，进而求解判断即可；对于D，根据两个顶点坐标求出实轴长，即可判断；对于C，根据的关系求出，即可判断. 【详解】对于A，“对勾函数”图象的渐近线为直线与轴， 且直线与轴夹角为， 由题意，是双曲线绕原点旋转得到， 则双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等， 即双曲线的一条渐近线倾斜角为，由渐近线方程得， 所以双曲线的离心率，故A错误． 对于B，双曲线的两条渐近线分别为直线和， 且直线与轴夹角为， 所以双曲线的实轴方程为， 联立，解得或， 故双曲线的两个顶点为，故B错误； 对于D，双曲线的实轴长为， 即，故D错误； 对于C，由，得， 故双曲线的方程为，故C正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 在一个有限样本空间中，，且 与 相互独立， 与 互斥，则( ) A. B. C. D. 若，则 与 互斥 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：利用相互独立事件的概率乘法公式，代入已知概率直接计算验证.选项B：运用概率的一般加法公式，结合独立事件的计算结果判断选项正误.选项C：由A与C互斥推出，进而得到，再通过条件概率公式推导的取值完成判断.选项D：将条件概率等式展开变形，代入化简求解，依据互斥事件的概率特征判断B与C是否互斥. 【详解】有限样本空间中，，且 与 相互独立， 所以，所以A正确； ，所以B错误； 因为 与 互斥，所以，， 所以 ，所以C不正确； 若，则 而，所以，而样本空间中有有限个元素， 所以 与 互斥，所以D正确． 10. 如图，四面体中，分别为， 的重心，则（ ） A. 与可能平行 B. 平面 C. 若与 均为等边三角形，则平面⊥平面 D. 若与 均为等边三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，假设平行，推出矛盾，A错误；B选项，利用比例关系得到平行关系，得到线面平行；C选项，先得到线面垂直，进而证明面面垂直；D选项，在C基础上，根据锥体体积公式可得两者相等. 【详解】A选项，假设，因为平面，平面， 所以平面，但是与平面显然有交点，故假设不成立，A错误； B选项，如图，取的中点 ，连接， 因分别为， 的重心，则分别过点，且， 所以，又因平面，平面，故平面，B正确； C选项，由B知，平面即为平面， 若与 均为等边三角形，则⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面，又平面，故平面⊥平面，C正确； D选项，易知，所以为等腰三角形， 过点作⊥于点，过点作⊥于点 ，则， 由C可知，⊥平面，又平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 同理可得⊥平面， 所以，， 又，，所以，D正确. 11. 已知随机变量（ ，且 ），设函数，记，则（ ） A. 对任意 ， ，恒成立 B. 对任意 ， ，恒成立 C. 存在 ， ，使得方程 在区间内有解 D. 不存在 ， ，使得函数 在区间内单调 【答案】AC 【解析】 【分析】由，得到，且，由二项式定理可得，求导可得，进而计算可判断AB；令，利用零点存在性定理可判断C；利用导数求得函数的单调性可判断D. 【详解】因为，所以， 代入可得， 由二项式定理可得，则， 代入 可得， 又因为二项分布的数学期望，所以恒成立，故A正确； 由，可得， 代入 可得， 因为二项分布的方差， 若恒成立，则恒成立， 因为 且，等式两边同除以可得，化简可得， 此等式不可能对任意满足 且的恒成立，故B错误； 令，取，则，， 此时，代入，可得， 可得，且函数连续，存在使得， 即存在使得在区间内有解，故C正确； 由可得， 取，此时， 当时，恒成立，此时导函数恒小于零， 存在函数在区间内单调递减，不满足题意，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，分类讨论产生的情况，求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为： 展开式中的系数有两种情况： 情况1：第一个括号的乘中的项，则， 系数为：. 情况2：第一个括号的乘中的对应项， ，乘完后要得到，则， 系数为：. 合并两种情况的系数：，即的系数为. 13. 已知函数 的部分图象如图所示，过 的直线交图象于 两点，若 且 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】把图象向左平移，使得点平移到原点，使得问题简化，在新坐标系中，函数解析式变为，可设，则，且，代入求出后可得. 【详解】把图象向左平移，使得点平移到原点，如下图，则函数解析式变为，两点的纵坐标不变， 由于，在新坐标系中，设，则，且， 所以，即， ，解得（舍去）， 所以. 14. 若数列满足，，且对于都有，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以， 则， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 【答案】（1）最小正周期为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）整理得，可求得其最小正周期及单调递增区间； （2）由题意可求得，结合已知可得，利用，可求得AD的长． 【小问1详解】 由 ， 则的最小正周期， 令时，解得， 故函数的增区间为； 【小问2详解】 因为，则， 由于，则，所以，解得， 又，则， 又由于，得， ，解得． 16. 2026年是中华全国总工会创立的101周年，学校组织学生参观基层工匠的工作，学生们在参观一个加工厂时发现，一个师傅在木板上钉了两个钉子，钉子间距为8，师傅用一个长18的绳子连成绳圈，将两个钉子套在绳圈内，用一根墨笔从绳圈内顶住绳子使得绳子始终紧绷并画线．以两个钉子的连线为 轴、连线中点为坐标原点建立平面直角坐标系. （1）求轨迹方程C并求离心率； （2）左、右焦点分别为、，过的直线 交 于 、 （ 在 上方），求最大值并给出 的直线方程． 【答案】（1），离心率 （2）15； 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得轨迹方程和离心率. （2）设出直线 的方程，通过面积拆分简化三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与换元法，利用基本不等式求解面积最值及对应直线方程. 【小问1详解】 由题意知，，，解得， 故轨迹方程为：， 离心率． 【小问2详解】 由（1）得焦点，，设直线 的方程为，，. 的面积可拆分为与的面积之和， 即. 将代入椭圆方程，消去 得. 由韦达定理得，，则 , 故. 令（），则，. 由基本不等式得，当且仅当即时取等号，满足. 此时，即面积的最大值为15. 由得，解得，代入直线方程整理得. 17. 某学校有 ， 两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去 餐厅，那么第2天去 餐厅的概率为；如果第1天去 餐厅，那么第2天去 餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去 餐厅用餐的概率是. （1）求，，的值； （2）求证：数列是等比数列，并求； （3）若当，有，则称为该同学“习惯去 餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去 餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去 餐厅的人数，求. 【答案】（1），， （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）当时，，结合等比数列的定义证明，再求出； （3）结合（2）可得，即可得到，再由二项分布的方差公式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，， . 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则； 【小问3详解】 当时，，所以，即， 依题意，所以. 18. 如图①所示，四边形是直角梯形，，，且， 为线段的中点．现沿着 将折起，使 点到达 点，如图②所示；连接、，其中 为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，直线与平面 所成角的正弦值为，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）由题意可知，，， 所以，， ， 又因为， 为线段的中点， 所以，所以四边形 为正方形， 由翻折可知，，， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形 为正方形，所以，所以， 因为， 为线段的中点，所以， 又因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用翻折的性质，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）根据已知条件，利用几何法求出，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过 作，垂足为 ，连接， 因为平面， 平面，所以， 又因为，平面 ，所以平面， 所以直线与平面 所成角的平面角为，， 所以， 设，则，，， 则，，， 解得，或，当时，，不合题意，舍去； 当时，，， 以为原点， 为 轴，过 垂直为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系， 所以， 所以，，，，， 所以，，平面 的法向量为， 设平面的法向量为，所以， 所以， ，令，则，则， 记二面角为，由题意可知为锐角， 则． 19. 已知. （1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）已知，则， 则， 则， 要证，即证， 即证， 令，则只需证， 先证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即； 再证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即. 综上，得证. 【解析】 【分析】（1）利用，得出的值，再检验是函数的一个极值点，最后利用点斜式求切线方程； （2）求导，研究的正负性，分和两种情况，再结合一元二次函数的图象研究其正负性即可； （3）化简，再令，将问题转化为利用导数证明不等式，再通过构造函数研究函数的最值. 【小问1详解】 的定义域为， 由，得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即，解得， 则，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则是的极小值点， 又， 则切线方程为，整理得. 【小问2详解】 的定义域为，， 令，其对称轴为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即或时， （i）当时，的两根为， 且， 则当或时，，； 当时，， . （ii）当时，的对称轴，且， 则在上恒成立，即在上恒成立. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肥东圣泉中学26届高三数学最后一卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. C. 9 D. 27 4. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形中，，，点P满足，则的最大值为（ ） A. 11 B. 16 C. 18 D. 25 6. 已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点 在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 7. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点是的一个顶点 C. 的方程为 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 在一个有限样本空间中，，且 与 相互独立， 与 互斥，则( ) A. B. C. D. 若，则 与 互斥 10. 如图，四面体中，分别为， 的重心，则（ ） A. 与可能平行 B. 平面 C. 若与 均为等边三角形，则平面⊥平面 D. 若与 均为等边三角形，则 11. 已知随机变量（ ，且 ），设函数，记，则（ ） A. 对任意 ， ，恒成立 B. 对任意 ， ，恒成立 C. 存在 ， ，使得方程 在区间内有解 D. 不存在 ， ，使得函数 在区间内单调 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 13. 已知函数 的部分图象如图所示，过 的直线交图象于 两点，若 且 ，则 ______． 14. 若数列满足，，且对于都有，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 16. 2026年是中华全国总工会创立的101周年，学校组织学生参观基层工匠的工作，学生们在参观一个加工厂时发现，一个师傅在木板上钉了两个钉子，钉子间距为8，师傅用一个长18的绳子连成绳圈，将两个钉子套在绳圈内，用一根墨笔从绳圈内顶住绳子使得绳子始终紧绷并画线．以两个钉子的连线为 轴、连线中点为坐标原点建立平面直角坐标系. （1）求轨迹方程C并求离心率； （2）左、右焦点分别为、，过的直线 交 于 、 （ 在 上方），求最大值并给出 的直线方程． 17. 某学校有 ， 两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去 餐厅，那么第2天去 餐厅的概率为；如果第1天去 餐厅，那么第2天去 餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去 餐厅用餐的概率是. （1）求，，的值； （2）求证：数列是等比数列，并求； （3）若当，有，则称为该同学“习惯去 餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去 餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去 餐厅的人数，求. 18. 如图①所示，四边形是直角梯形，，，且， 为线段的中点．现沿着 将折起，使 点到达 点，如图②所示；连接、，其中 为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，直线与平面 所成角的正弦值为，，求二面角的余弦值． 19. 已知. （1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $