精品解析：安徽合肥一六八中学等校2026届高三最后一卷数学试题

安徽合肥一六八中学等校2026届高三最后一卷 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，所以， 又因为，所以. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，即，移项整理得, ，所以， 故的虚部为1. 3. 平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积公式计算可得答案. 【详解】由， 得， 又， . 4. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为q，由，得， 则，而，解得， 由，得，即，所以. 5. 已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知与可得，再由椭圆定义求解离心率． 【详解】由题意，为等腰三角形，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 即C的离心率为. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 令，得，此时， 所以图象的对称中心是. 7. 在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为. 8. 已知，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质、对数函数的单调性，结合构造函数法、导数的性质进行运算比较即可. 【详解】.因为， 所以，即，所以. 构造函数， 求导得 ，故在单调递增. 因此，即. 令，得，得证. 构选函数，求导得， 因为，所以，所以在单调递减， 当时，. 令，得，由 故.综上，. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用数据的和差积商性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A，因随机变量，则，由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B，由事件，相互独立可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，， 对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C正确； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 10. 已知，其中最大值记为，则下列正确的是（ ） A. 存在，使得函数为奇函数 B. 任意，都有 C. 任意，，至少有一个不小于 D. 任意，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，三角函数的公式和导数求得最大值，三角函数的有界性，举反例计算判断各个选项. 【详解】对于A，当时，， ，故A正确； 对于B ， ∴ ； 令，则， 得， 得到 令，设，则， 则化简得，解得或（舍），即，解得， 而， 得到的最大值为，故B正确； 对于C，设， ， ， 即，故矛盾，故C正确； 对于D，当时，， 即，此时，故D错误. 11. 如图，抛物线E：，过点P向抛物线E作两条切线，，切点分别为A，B.切线，分别交x轴于C，D.设，则下列说法正确的有（ ） A. 过点A的切线方程为 B. 当点P在准线上时，的最小值为8 C. 当点P在准线上时， D. 对任意点P均有 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：抛物线E：，可化简为，求导得，结合可得过点A的切线方程；对于B：假设点，可得直线方程，再与抛物线联立，可得，，代入表达式中可得解；对于C：由B可知，再计算，得到求解；对于D：用坐标表示向量，利用数量积公式可得，即. 【详解】对于A：抛物线E：，可化简为，求导得. 所以过点A的切线： ，即.故A正确； 对于B：设， 切线：过点P，所以， 同理可得，∴直线方程为： ， 联立，∴，∴，， ∴，∴， ∴ ，故选项B正确； 对于C：由B知， 所以， ， 则，又有 ，则 ，故C错； 对于D：， 则 所以 同理可得，所以，即 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】-3 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导可得，则， 因为该切线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 13. 一个质地均匀的正四面体骰子，其每面分别标有数字1，2，3，4，记录每次抛掷向下这个面的点数，一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子.已知第一次抛出的点数为1，则以数字1结束的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过抛的次数得到满足条件的概率的等量关系式，计算得解. 【详解】设上一次抛出的点数为（，2，3，4）且游戏未结束， 接下来游戏以数字1结束的概率记为， 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为1，这两次抛掷的点数之和为质数， 则停止抛骰子； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为2，这两次抛掷的点数之和为质数， 则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数，继续抛， 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为4，这两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为1，第二次和第三次抛掷的点数之和不为质数，继续抛； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为2，第二次和第三次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为3，第二次和第三次抛掷的点数之和不为质数，继续抛； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为4，第二次和第三次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 则有，得. 14. 设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 【答案】1 【解析】 【分析】先判断数列的单调性，然后利用裂项相消法、结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】，，知. 由，且，知数列单调递增， 由，知， 得，所以， ， 由数列单调递增，，，得， ， 得到 ，， 则的整数部分为1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其内切圆与外接圆半径分别为r，R.已知且，求： （1）求的值； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化“边”为“角”得到，再由通过三角恒等变换求解； （2）由（1）求得，再由利用正弦定理化“边”为“角”并通过辅助角公式得到，利用正弦函数的性质即可求得最大值. 【小问1详解】 由正弦定理得：， . 因为 所以 ，∴ 在中， 所以， ，. 【小问2详解】 由，得，得. 在中,内切圆半径： 即时，取得最大值. 16. 底面为正方形，侧面垂直于底面且为正三角形，，. （1）若H为中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点O点，连接，可证平面，建立空间直角坐标系，利用向量法可证明平面. （2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，进而利用向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值. 【小问1详解】 取中点O点，连接，由为正三角形，得到 又侧面垂直于底面，平面平面 所以平面，如图建立空间直角坐标系 于是，，，， 所以，， 由，得到平面. 【小问2详解】 利用得到 在平面中，，， 设平面的一个法向量为 则得到：， 不妨设，则 又由平面与平面垂直，，平面平面， 则平面，则为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上递减，在上递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，求出，利用基本不等式得到，故分别按照和这两种情况讨论求解，当时，令，即，求出此方程的两个根，；利用韦达定理得到，解出和的解，从而得到的单调性. （2）设有三个零点，，，而.求出得到，，满足，， ，求出的单调性，求出，，故由零点存在性定理得到当时，必存在三个不同实数，，，且，使得，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为，， ，当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，， 则，所以在上单调递增； 当时，令，即， 则的两个根为，； 又，则， 则的解为或，的解为， 则在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上递减，在上递增. 【小问2详解】 设有三个零点，，，而. 当且时，由，得到：； 故，，又因为， 故，，满足，， ， 所以有两个不等实根， 即在有两个不同的实数根，，， 则，得到，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 取，所以， 由，设，， 设函数的导函数为， 则， 则在上递减，故，故在上递减. 故，故， 而，， 取时，， 故由零点存在性定理可知， 当时，必存在三个不同实数，，， 且，使得.故. 18. 已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. （1）求双曲线E的方程； （2）过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出，再代点求解得到双曲线的标准方程. （2）（i）根据题意，过双曲线E上点M的切线，利用斜率公式直接化简可得； （ii）由，故，因为，，又因为，代入，求得. 【小问1详解】 因为双曲线离心率为， 则， 又因为过点，则，得， 所以双曲线E的方程为； 【小问2详解】 （i）根据题意，点，过双曲线E上点M的切线， 则，， 所以，，， 则， 则； （ii）由， 故， 又（为点到直线l的距离）， 则， 因为，， 又因为，代入， 得，又因为， 化简得， 即， 则， 可得， 因为， 所以， 即，因为点不可能为双曲线顶点，即， 又，所以. 19. 将n个不同的数，，，…，（）的任意一个排列，，…，，记为数列． （1），有，，求的所有元素之和； （2）将正整数n拆分成若干个2的非负整数次幂（、、……）之和，拆分所得的各项之间不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为．例如：2可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故；3可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故． （i）求； （ii）求证：，（）． 【答案】（1） （2）（i） ；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出时的数列，结合求出，进而求出的所有元素之和； （2）（i）根据题意对进行拆分，进而求出；（ii）根据定义进行奇数拆分和偶数拆分进而证明递推式． 【小问1详解】 当时，数列是，，这3个数的任意排列，， 当时，对应的不参与求和，当时，对应的参与求和； ， 的所有元素之和为：． 【小问2详解】 （i）由题意可拆分如下： , ． （ii）证明：， 任意整数均可拆分成2的非负整数次幂，而2的幂只有1为奇数， 要得到奇数，必须用奇数个1， 把任意拆分里的1个1去掉，便可得到的一个拆分， 反过来的任意一个拆分加个1，便得到的一个拆分， ； 证明：（）， 对的拆分项进行分类，共两类： 第1类为至少含有两个1的拆分项，第2类至多含1个1的拆分项， 第1类至少含有两个1的拆分项，将两个1去掉，与的拆分项是一一对应的， 故这类拆分的数量为； 第2类至多含1个1的拆分项，而总和为偶数， 故1的个数只能是0个， 的不含1拆分项，可由n的拆分，中各项乘以2得到， ， 的拆分项，与n的拆分项是一一对应的，故此类拆分数为； 综上可得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽合肥一六八中学等校2026届高三最后一卷 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 5. 已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 已知，其中最大值记为，则下列正确的是（ ） A. 存在，使得函数为奇函数 B. 任意，都有 C. 任意，，至少有一个不小于 D. 任意，且，则 11. 如图，抛物线E：，过点P向抛物线E作两条切线，，切点分别为A，B.切线，分别交x轴于C，D.设，则下列说法正确的有（ ） A. 过点A的切线方程为 B. 当点P在准线上时，的最小值为8 C. 当点P在准线上时， D. 对任意点P均有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 13. 一个质地均匀的正四面体骰子，其每面分别标有数字1，2，3，4，记录每次抛掷向下这个面的点数，一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子.已知第一次抛出的点数为1，则以数字1结束的概率是__________. 14. 设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其内切圆与外接圆半径分别为r，R.已知且，求： （1）求的值； （2）求的最大值. 16. 底面为正方形，侧面垂直于底面且为正三角形，，. （1）若H为中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值大小. 17. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 18. 已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. （1）求双曲线E的方程； （2）过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 19. 将n个不同的数，，，…，（）的任意一个排列，，…，，记为数列． （1），有，，求的所有元素之和； （2）将正整数n拆分成若干个2的非负整数次幂（、、……）之和，拆分所得的各项之间不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为．例如：2可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故；3可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故． （i）求； （ii）求证：，（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $