精品解析：安徽合肥市第一中学2026届高三最后一卷数学试题

2026届高三最后一卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是，的等差中项，是，的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 2. Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（ ） A. 2875 B. 5692 C. 8509 D. 16771 3. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 5. 不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. 8. 已知函数，若对，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（，为虚数单位），则（ ） A. 当时， B. 当为纯虚数时， C. 在复平面内对应的点恒在直线上 D. 当时， 10. 已知点是抛物线上的动点，为的焦点，为的准线，过且与相切的直线交于点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 以为直径的圆恒过点 11. 已知是定义域为，最小正周期为的函数，我们把称为的叠加函数，则（ ） A. 的叠加函数是最小正周期为的周期函数 B. 当时，的值域为 C. 当时方程在上有25个实根 D. 当，，时方程在有实根的充要条件为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某旅游博主准备从安徽省的5个国家全域旅游示范区与10个不是国家全域旅游示范区的省全域旅游示范区中选4个去打卡，若国家全域旅游示范区至少选3个，则选取方法种数为________．（用数字作答） 13. 写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 14. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若点为的中点，，，求的面积． 16. 如图，在正三棱柱中，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若，证明：． 18. 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 19. 已知椭圆的离心率为，点，分别为的左、右焦点，点是上的动点，的最大值为3． （1）求的方程； （2）若点在第一象限，轴，过点斜率之和为0的两条直线分别与交于另外一点，，证明：直线的斜率为定值； （3）过的直线与交于点，，点在直线上的射影为，若直线与曲线从上到下依次交于不同三点，，，判断点，是否恒关于点对称，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三最后一卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是，的等差中项，是，的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项和等比中项可求答案. 【详解】因为是，的等差中项，所以，即； 因为是，的等比中项，所以，即，所以. 2. Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（ ） A. 2875 B. 5692 C. 8509 D. 16771 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509. 3. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 4. 已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，结合表面积公式，可得圆锥底面半径r与球的半径R的关系，代入体积公式，整理变形，即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R， 由题意，圆锥的母线长为，高为， 则圆锥的表面积，球的表面积， 所以，解得， 则圆锥的体积，球的体积， 所以圆锥的体积与球的体积的比. 5. 不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 6. 若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心坐标和双曲线渐近线方程，可以得到圆与相切，然后利用圆心到渐近线的距离等于半径列出的一个方程，求解间的关系，最后求离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 因为圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即， 整理得，. ，. 7. 一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 8. 已知函数，若对，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（，为虚数单位），则（ ） A. 当时， B. 当为纯虚数时， C. 在复平面内对应的点恒在直线上 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数对应的点可判断C，利用复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A，当时，，，A不正确； 对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确； 对于C，，在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以C正确； 对于D，当时，，，D不正确. 10. 已知点是抛物线上的动点，为的焦点，为的准线，过且与相切的直线交于点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 以为直径的圆恒过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，可以转化为点到直线的距离，结合求解判断；对B，表示过点和点的直线的斜率，当斜率最小时，直线与抛物线相切，运算得解；对C，的几何意义表示点到点与到轴的距离之和，利用抛物线定义数形结合得解；对D，过点作准线的垂线，由抛物线的光学性质可得的反射光线平行于轴，利用全等三角形求解判断. 【详解】对于A，点到直线的距离，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，表示过点和点的直线的斜率. 当斜率最小时，直线与抛物线相切，设切线方程为，与抛物线方程联立， 得，由，得， 所以的最小值为，故 B错误； 对于C，因为，所以， 上式的几何意义表示点到点与到轴的距离之和， 由抛物线的定义，得当点三点共线时，距离之和最小，其最小值为，故C正确； 对于D，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的光学性质可得的反射光线平行于轴， 即直线与直线关于对称，故，由抛物线定义知， 又为公共边，所以，所以，即， 故点在以为直径的圆上，所以以为直径的圆恒过点，故D正确. 11. 已知是定义域为，最小正周期为的函数，我们把称为的叠加函数，则（ ） A. 的叠加函数是最小正周期为的周期函数 B. 当时，的值域为 C. 当时方程在上有25个实根 D. 当，，时方程在有实根的充要条件为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，求出，分析可判断A的正误；当时，可得最小正周期，即可得的解析式，即可得的解析式，根据正弦型函数的值域，即可判断B的正误；分别讨论和两种情况，分别求出的解析式，根据条件，求出根，可判断C的正误；分别讨论和两种情况，分别求出的解析式，根据二次函数的性质，可得的值域，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：， 所以的叠加函数的一个周期为，故A错误； 选项B：当时，最小正周期， 则， 所以， 因为，所以，则，所以，故B正确； 选项C：的最小正周期，则， 当时，，，则， 此时方程在上的根为，共13个； 当时，，， 所以， 令，则， 所以，则， 此时方程在上的根为，共12个， 所以方程在上有25个实根，故C正确； 选项D：由题意的最小正周期为2，则， 当时，， 则， 因为，所以， 当时，， 则， 因为，所以，综上在上的值域为， 则方程在有实根的充要条件为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某旅游博主准备从安徽省的5个国家全域旅游示范区与10个不是国家全域旅游示范区的省全域旅游示范区中选4个去打卡，若国家全域旅游示范区至少选3个，则选取方法种数为________．（用数字作答） 【答案】105 【解析】 【分析】需按“国家全域旅游示范区选3个、选4个”两种情况分类讨论，再用分类加法计数原理求和. 【详解】我们将选取情况分为两类： 选3个国家全域旅游示范区，1个省全域旅游示范区的方法数：. 选4个国家全域旅游示范区，0个省全域旅游示范区的方法数：. 所以总选取方法种数为：. 13. 写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】分别分析函数的奇偶性，单调性，凹凸性以及函数的运算性质，然后结合常见函数的特点来确定满足条件的函数解析式. 【详解】条件①，表明函数为偶函数，其图像关于轴对称； 条件②对任意正数，，，说明函数在上单调递增； 条件③，，表明函数在上是上凸函数； 条件④，这是对数函数的运算性质，即对数函数满足. 综合条件，首先考虑，（且），满足条件④， 当时，满足条件②，在上是上凸函数，满足条件③，为了满足条件①，需将函数变为， 因此，满足条件的函数的解析式可以为. 14. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】考查等差数列的性质以及数列求和的最值问题，解题的关键在于根据条件得出，，分析出，，即可求解. 【详解】，因为，数列为等差数列，故，，则公差， 当时，，当时，， 分析数列：，，，， ，，，，，， ，则， 当时，此时，则显然，故取最小值时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若点为的中点，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式化条件为，再由三角形内角和性质求得，最后应用二倍角余弦公式求值； （2）利用余弦定理及得、，从而得，再由平方关系求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 所以，即， 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以， 所以， 在中，由余弦定理，得， 所以， 综上，，又，，所以， 所以. 16. 如图，在正三棱柱中，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）取中点，构建合适空间直角坐标系，设，并标注出相关点坐标，求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 连接交于，则为中点， 连接，因为为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，在正三棱柱中，，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 所以，，，则， 因为平面，平面，所以， 所以，又，所以，所以， 由题意知为平面的一个法向量，又，所以， 设直线与平面所成角为，则. 17. 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若，证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，结合函数单调性分析的符号，即可得的单调性； （2）求导，结合函数单调性和零点存在性定理可得的符号，即可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，且， 因为，在上单调递增，， 则在上单调递增，且， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 因为的定义域为， 且，， 可知在上单调递增，且，， 可知存在，使得，即， 当时，，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，则， 可知在上单调递减， 则， 所以． 18. 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）先求出至少发生2次信号误差的概率和恰好发生2次信号误差的概率，再根据条件概率公式计算； （2）分别计算出某时段内被激活的干扰源为3个的概率、连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个的概率，然后根据独立事件概率的计算方法求出测试3个时段后停止测试的概率； （3）由的分布列可求得，进而可确定随机变量的取值及概率，列出分布列，即可求得期望. 【小问1详解】 记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件， “该时段至少发生了2次信号误差”为事件， 由题知，，， ， ， ， 故所求概率为． 【小问2详解】 每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为， 3个全被激活的概率为． 连续测试3个时段后停止测试有2种情况： ①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个，概率为， ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个， 第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量均不为3个， 概率为， 故所求概率为． 【小问3详解】 因为的分布列为， ，，，的所有可能取值为2，4，8. 所以，所以， 所以，，， 的所有可能取值为4，6，8，10，12，16． ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 4 6 8 10 12 16 所以． 19. 已知椭圆的离心率为，点，分别为的左、右焦点，点是上的动点，的最大值为3． （1）求的方程； （2）若点在第一象限，轴，过点斜率之和为0的两条直线分别与交于另外一点，，证明：直线的斜率为定值； （3）过的直线与交于点，，点在直线上的射影为，若直线与曲线从上到下依次交于不同三点，，，判断点，是否恒关于点对称，并给出证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），关于对称，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质和向量数量积公式，结合已知条件求出椭圆方程； （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点，的坐标，根据两点间斜率公式求出直线的斜率； （3）先求出直线的方程，再与曲线方程联立，根据韦达定理判断点，是否恒关于点对称. 【小问1详解】 设，则， 由的离心率为，得，， 所以，的方程为， 设，则，， 所以 ， 所以，故的方程为． 【小问2详解】 证明：易得，设，， 直线的方程为， 由得， ，即， 所以，， 直线的方程为，同理可得， 所以直线的斜率为，为定值． 【小问3详解】 ，关于对称，证明如下： 设，，则，， 设直线的方程为， 与联立得， ， 所以，，， 直线的方程为， 令，得， 所以点恒在直线上， 曲线也经过点． 设是曲线上任意一点，则， 点关于的对称点为， 因为， 所以点也在曲线上， 所以曲线关于点对称，记， 又过点的直线与曲线最多有3个公共点， 当有3个公共点时，记另外2个公共点分别为，，则，关于对称． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $