第08讲 概率综合问题（8题型）期末复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第08讲 概率综合问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、方法总结解析错误: 下标越界 3 03 重难点题型 4 题型一：方案抉择类问题 4 题型二：概率极值求解问题 6 题型三：位次排列计数问题 7 题型四：赛事赛程统计问题 9 题型五：概率递推推导问题 10 题型六：数学期望递推问题 12 题型七：高尔顿钉板模型问题 14 题型八：随机游走问题 16 04 过关检测 19 知识点一、方法总结 概率综合问题题型灵活、综合性强，解题核心是先定模型、再选方法、规范运算。首先需精准辨析概率模型，两点分布、二项分布适用于独立重复试验，超几何分布对应不放回抽样，正态分布用于连续型随机变量的概率求解。 针对特殊题型，决策问题需对比不同方案的期望、方差择优；最值问题常结合函数单调性、导数或不等式求解极值。排位、赛制问题需分类讨论所有赛事结果、排位情况，做到不重不漏。概率与期望递推问题，核心是建立递推关系式，结合数列知识求解。高尔顿板问题依托独立重复试验与二项分布模型，结合路径概率分析解题。解题最后需验证概率取值范围、期望方差运算结果，规避公式混淆、分类不全等易错问题。 题型一：方案抉择类问题 例1．（25-26高二下·广东·期末）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元． 某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． (1)求的分布列； (2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 例2．（2024·上海·三模）某市举行了一次大型宣传活动，结束后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据（人均得分）构成一个样本，依据相关标准，该样本中各地抽取的数据构成数列（n为各地区的编号），且由各地的数据可以认为各地人均得分服从正态分布，μ近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）． (1)利用正态分布的知识求． (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制订如下两种奖励方案． 方案一：（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费． （ⅱ）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费/元 50 100 概率 方案二：参加此次问卷调查的市民可获得价值100元的大型晚会入场券． 参加此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案． ①市民小李参加了此次问卷调查，他选择了方案一，记X（单位：元）为他获赠的话费，求X的分布列及数学期望． ②仅从奖励的价值考虑，如果你参加了问卷调查，你选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的大型晚会入场券？用统计中相关知识做出决策． （附：若，则，，） 例3．（2024·陕西·一模）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示： 95 126 187 P 0.5 且的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示： 0 1 2 41.2 117.6 204.0 (1)求的值； (2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率） 变式1．（24-25高三·上海·课堂例题）2020年1月15日，教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. (1)为了更好地服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 6 8 9 10 12 2 3 4 5 6 请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程（精确到0.01）； (2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为、、，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围. 题型二：概率极值求解问题 例4．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 例5．（25-26高二下·重庆渝北·期中）某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？ 例6．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 题型三：位次排列计数问题 例7．（2025·上海杨浦·二模）为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示： (1)计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数. (2)初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布； (3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分. 小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为： 题型 填空 选择 简答 答题正确概率 若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由. 例8．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． (1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； (2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 例9．（24-25高三上·重庆·阶段检测）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 变式3．（24-25高一下·广东深圳·期末）由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 (1)求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； (2)以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 题型四：赛事赛程统计问题 例10．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 例11．（2026·河北衡水·二模）为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 例12．（2026·湖南岳阳·一模）甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响. (1)若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率； (2)若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望. 题型五：概率递推推导问题 例13．（2026·重庆万州·三模）设某湖泊每年的水质会在Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是Ⅰ类，则下一年仍是Ⅰ类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率为0.2; 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为Ⅰ类，设第n年的水质为Ⅰ类的概率为，水质为Ⅱ类的概率为. (1)求; (2)证明并求; (3)证明:存在λ和μ，使得是等比数列. 例14．（2026·高二·河北衡水·阶段检测）一袋子中装有大小相同的2个黑球和1个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入1个异色的球．记第n次这样的操作后，袋中黑球的个数为2的概率为，黑球的个数为3的概率为，事件为“第n次取出的是黑球”． (1)求，； (2)已知当时，，证明：，并求； (3)求，． 例15．（2026·高二·江苏淮安·期中）2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一棵树是桃树的概率为，选择种植第一棵树是梨树的概率为，如果小明第一棵选择种植桃树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，如果小明第一棵选择种植梨树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，设小明第棵选择种植桃树的概率为． (1)求、的值． (2)已知小明第2棵选择种植桃树，求他第1棵也选择种植桃树的概率． (3)求的通项公式． 变式4．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 题型六：数学期望递推问题 例16．（2026·高二·辽宁沈阳·期中）现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望． 例17．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 例18．（2026·高二·湖北·阶段检测）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 变式6．（2026·广东茂名·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 题型七：高尔顿钉板模型问题 例19．（25-26高二下·江苏南京·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的概率分布列，并求出数学期望； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 例20．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满200元就能得到一次抽奖机会，如消费180元没有抽奖机会，消费300元有一次抽奖机会，消费400元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. ①求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； ②已知某顾客在商场消费500元，设他所得的奖金为（元），求. 例21．（23-24高二下·广东肇庆·阶段检测）已知展开式前三项的二项式系数和为22． (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中；格子从左到右分别编号为0，1，2，，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列以及均值与方差． 变式7．（22-23高二下·贵州·阶段检测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽内．球槽从左到右分别编号为．    (1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入号球槽的概率； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中． ①求的分布列； ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 题型八：随机游走问题 例22．（2026·高三·湖南·阶段检测）（1）1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度（相对于原点，质点向右移动了个单位长度后位置记为，向左移动了个单位长度后位置记为）．已知质点每次向右移动的概率为．记为质点从原点出发，移动2次后的位置，求满足随机变量的期望大于0的的取值范围； （2）1个质点从平面直角坐标系中某点出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点的概率． 例23．（2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，. (1)求. (2)设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列. (3)若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求. 例24．（2026·高二·山东枣庄·期末）“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. (1)求质点移动6次后位于的概率； (2)设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (3)记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式：. 变式8．（2026·高二·陕西西安·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，质点每次移动向左或向右是等可能的． (1)求质点移动次后回到原点的概率； (2)若将质点未连续出现次向右移动的概率记为， ①求之间的递推关系； ②若满足关系式：，求的值． 1．（23-24高二下·云南昆明·期中）贝叶斯公式中，称为先验概率，称为后验概率．先验概率表达了对事件的初始判断，当新的信息出现后，我们可以利用贝叶斯公式求出后验概率，以此修正自己的判断并校正决策．利用这种思想方法我们来解决如下一个实际问题． 某趣味抽奖活动准备了三个外观相同的不透明箱子，已知三个箱子中分别装有10个红球、5个红球5个白球、10个白球(球的大小、质地相同)．抽奖活动共设计了两个轮次： 第一轮规则：抽奖者从三个箱子中随机选择一个箱子，并从该箱子中取出两球（分两次取出，每次取一球，取出的球不放回)，若取出的两个球都是红球则可以进入第二轮，否则抽奖活动结束(无奖金)． 第二轮规则：进入第二轮的抽奖者可以选择三种抽奖方案．方案一：就此停止，并获得奖金300元；方案二：继续从第一轮抽取的箱子中再取一球，若为红球则可获得奖金400元，若为白球奖金变为0元；方案三：不再从第一轮抽取的箱子中取球，而是从另外两个箱子中随机选择一个箱子，并从中取出一球，若为红球则可获得奖金800元，若为白球奖金变为80元． (1)求抽奖者在第一次取出红球的条件下，能进入第二轮的概率； (2)在第二轮的三种抽奖方案中，从抽奖者获得奖金的数学期望的角度，找出三种抽奖方案的最佳方案． 2．（2025高一·全国·专题练习）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 3．（25-26高二下·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 4．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元） 5．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 6．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知，， （ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率. (2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由. 7．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 8．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 9．（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两名运动员击中的环数稳定在7，8，9，10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示． (1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率，以及甲击中9环以上（包括9环）的概率； (2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）． 10．（2022·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. （ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； （ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求. 11．（24-25高二下·河南信阳·期中）如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，经过10次碰撞最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码．      (1)求和X的分布列． (2)求小球最后落入格子的号码X为奇数的概率． (3)求变量X的数学期望和方差． 12．（2026·高二·河北邢台·期中）某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为． (1)求； (2)求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率； (3)求． 13．（2026·高二·重庆·期中）亮亮玩一个游戏：一开始他准备了2个罐子，每个罐子里都放着红､黄､蓝三种颜色的球各一个.然后他在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机抽出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色. (1)求经过1轮交换后罐子里红球个数的分布列； (2)经过轮交换后（）： ①求两个罐子里仍然是红､黄､蓝三种颜色的球各一个的概率； ②请直接写出罐子里有2个黄球1个蓝球的概率. 14．（2026·高二·浙江·期中）某人清明节去烈士陵园扫墓，需要爬一个有级台阶的山坡，此人走这台阶时，每步跨级台阶，或跨级台阶. (1)当时，他只用步跨上了第级台阶，问共有多少种不同的走法； (2)已知此人从地面（即第级台阶）开始，每步跨级台阶的概率为，跨级台阶的概率为； ①求此人跨上第级台阶的概率； ②求此人跨上第级台阶的概率. 15．（2026·湖北十堰·二模）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 16．（2026·广东深圳·二模）一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． (1)求； (2)求； (3)求． 参考公式： 若，对于，则； 若是离散型随机变量，则． 17．（2026·高二·广东·阶段检测）随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位． (1)求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法； (2)证明：； (3)求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. (1)求，； (2)求的通项公式； 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 概率综合问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、方法总结解析错误: 下标越界 3 03 重难点题型 4 题型一：方案抉择类问题 4 题型二：概率极值求解问题 9 题型三：位次排列计数问题 13 题型四：赛事赛程统计问题 18 题型五：概率递推推导问题 20 题型六：数学期望递推问题 25 题型七：高尔顿钉板模型问题 30 题型八：随机游走问题 35 04 过关检测 40 知识点一、方法总结 概率综合问题题型灵活、综合性强，解题核心是先定模型、再选方法、规范运算。首先需精准辨析概率模型，两点分布、二项分布适用于独立重复试验，超几何分布对应不放回抽样，正态分布用于连续型随机变量的概率求解。 针对特殊题型，决策问题需对比不同方案的期望、方差择优；最值问题常结合函数单调性、导数或不等式求解极值。排位、赛制问题需分类讨论所有赛事结果、排位情况，做到不重不漏。概率与期望递推问题，核心是建立递推关系式，结合数列知识求解。高尔顿板问题依托独立重复试验与二项分布模型，结合路径概率分析解题。解题最后需验证概率取值范围、期望方差运算结果，规避公式混淆、分类不全等易错问题。 题型一：方案抉择类问题 例1．（25-26高二下·广东·期末）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元． 某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． (1)求的分布列； (2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【解析】（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6． ， ， ， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 （Ⅱ）选择延保方案一，所需费用元的分布列为： 7000 9000 11000 13000 15000 （元． 选择延保方案二，所需费用元的分布列为： 10000 11000 12000 （元． ，该医院选择延保方案二较合算． 例2．（2024·上海·三模）某市举行了一次大型宣传活动，结束后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据（人均得分）构成一个样本，依据相关标准，该样本中各地抽取的数据构成数列（n为各地区的编号），且由各地的数据可以认为各地人均得分服从正态分布，μ近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）． (1)利用正态分布的知识求． (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制订如下两种奖励方案． 方案一：（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费． （ⅱ）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费/元 50 100 概率 方案二：参加此次问卷调查的市民可获得价值100元的大型晚会入场券． 参加此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案． ①市民小李参加了此次问卷调查，他选择了方案一，记X（单位：元）为他获赠的话费，求X的分布列及数学期望． ②仅从奖励的价值考虑，如果你参加了问卷调查，你选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的大型晚会入场券？用统计中相关知识做出决策． （附：若，则，，） 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②应选择获得价值100元的大型晚会入场券 【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性，求出均值，可得答案； （2）利用3σ原则和正态曲线的对称性即可求解. 【小题1】样本中各地的人均得分分别为，，，，，，， 所以7个地方人均得分的平均值为，即μ可取123，所以． ， ， 所以． 【小题2】①由题意可得X所有可能的取值为50，100，150，200， 得50元的情况为得分低于μ，概率为． 得100元的情况为有1次机会且获得100元或有2次机会且2次均获得50元，概率为 ． 得150元的情况为有2次机会且2次机会中有1次获得100元、1次获得50元，概率为 ． 得200元的情况为有2次机会且2次均获得100元，概率为． 所以X的分布列为 X 50 100 150 200 P 故． ②由①知，所以应选择获得价值100元的大型晚会入场券． 例3．（2024·陕西·一模）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示： 95 126 187 P 0.5 且的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示： 0 1 2 41.2 117.6 204.0 (1)求的值； (2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率） 【解析】（1）由题意得， 解得． （2）的可能取值为41.2，117.6，204， ， ， ， 所以Y的分布列为 Y 41.2 117.6 204 P 可得， 由，得， , 解得， 即当选择投资有机蔬菜项目时，p的取值范围是，投资回报率最大． 变式1．（24-25高三·上海·课堂例题）2020年1月15日，教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. (1)为了更好地服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 6 8 9 10 12 2 3 4 5 6 请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程（精确到0.01）； (2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为、、，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围. 【解析】（1）根据表格中的数据，可得 ，， ， ， ， 可得相关系数， 故与之间的关系可用线性回归模型进行拟合， 又由， 可得. 综上回归直线方程. （2）通过甲大学的考试科目数，则， 设通过乙大学的考试科目数为，则可能的取值为0、1、2、3， 则， ， ， ， 所以， 因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试， 所以，即， 又由，解得， 即为该考生更希望通过乙大学的笔试时的范围为. 题型二：概率极值求解问题 例4．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【解析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 例5．（25-26高二下·重庆渝北·期中）某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？ 【答案】(1) 100 90 80 70 60 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 (2)（i）；（ii）时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元. 【分析】（1）分得到的优惠券总价值为0,10,20,30,40五种情况，对应的取值，得到的分布列和数学期望； （2）（i）分别求得支付金额和商品成本的数学期望，根据期望利润的计算公式得到； （ii）利用二次函数性质求得的最值. 【详解】（1）由题可知，的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， . 分布列为： 100 90 80 70 60 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：. （2）（i）期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望， 设支付金额为，可取90，80，70，60， ，，，， 则支付金额的期望为： ； 设优惠券成本为，可取3，6，13，16， ，，， 优惠券成本的期望为 . 所以 . （ii）是开口向下的二次函数，对称轴为. 因为，所以当时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元. 例6．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【解析】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 题型三：位次排列计数问题 例7．（2025·上海杨浦·二模）为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示： (1)计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数. (2)初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布； (3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分. 小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为： 题型 填空 选择 简答 答题正确概率 若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由. 【解析】（1）由频率分步直方图中小矩形的面积和为1可得： ， 解得； 该校这次初赛的平均分数为. （2）初赛分数达到80及以上的同学为人，非优秀为28人， 由题意可得的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 （3）略 例8．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． (1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； (2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 【解析】（1）当，甲得10元奖金，即甲猜对A谜语，没有猜对B谜语， 所以甲得10元奖金的概率为. （2）记甲“先猜A谜语，后猜B谜语”所得奖金为，则可取0，10，30， ． 所以的期望 记甲“先猜B谜语，后猜A谜语”所得奖金为，则可取0，20，30， . 所以的期望 故 当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 例9．（24-25高三上·重庆·阶段检测）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【解析】（1）（i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. （2）若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 变式2．顺序安排的误在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较. 变式3．（24-25高一下·广东深圳·期末）由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 (1)求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； (2)以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 【解析】（1）由，又，解得：，， 甲解锁试卷在分钟时正好位于中间， 所以甲在分钟内解开锁的频率为：. （2）由题可知乙在分钟内解开锁的频率为：， 设甲开锁成功为事件，则，乙开锁成功为事件，则， （i）若甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关总共有：，，共种情况， 所以其概率为：. （ii）假设甲先开锁乙后开锁进入下一关的情况有：，，，,共6种情况， 则甲先开锁乙后开锁进入下一关的概率为: ； 假设乙先开锁甲后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况， 则乙先开锁甲后开锁进入下一关的概率为： ， 因，所以与他们的出场顺序无关. 题型四：赛事赛程统计问题 例10．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【解析】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 例11．（2026·河北衡水·二模）为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【解析】（1）已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以， 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为； 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以 （2）每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 例12．（2026·湖南岳阳·一模）甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响. (1)若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率； (2)若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望. 【解析】(1) 故三局比赛中甲至少胜两局概率为； （2）依题意，可取3，4，5， ， ， 故的分布列为： 3 4 5 . 题型五：概率递推推导问题 例13．（2026·重庆万州·三模）设某湖泊每年的水质会在Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是Ⅰ类，则下一年仍是Ⅰ类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率为0.2; 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为Ⅰ类，设第n年的水质为Ⅰ类的概率为，水质为Ⅱ类的概率为. (1)求; (2)证明并求; (3)证明:存在λ和μ，使得是等比数列. 【解析】（1），，， 因此． （2）由，得，故， 整理为，这是首项为、公比为的等比数列，因此． （3）由，代入得， 再代入，整理得， 取，，则是公比为的等比数列． 例14．（2026·高二·河北衡水·阶段检测）一袋子中装有大小相同的2个黑球和1个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入1个异色的球．记第n次这样的操作后，袋中黑球的个数为2的概率为，黑球的个数为3的概率为，事件为“第n次取出的是黑球”． (1)求，； (2)已知当时，，证明：，并求； (3)求，． 【解析】（1）第一次取出黑球的概率为，第一次操作后袋中黑球个数仍为2，故； 第一次取出红球的概率为，第一次操作后袋中黑球个数变为3，故； （2）证明略． 记为“第次取出的是红球”，则事件“第三次取出的是黑球”分为四类： 第一类“三次全部取出黑球”， 第二类“第一次取红球，第二次取黑球，第三次取黑球”， 第三类“第一次取黑球，第二次取红球，第三次取黑球”， 第四类“前两次全部取出红球，第三次取出黑球”， 即， 第一类“三次全部取出黑球”； 第二类“第一次取红球，第二次取黑球，第三次取黑球”； 第三类“第一次取黑球，第二次取红球，第三次取黑球”； 第四类“前两次全部取出红球，第三次取出黑球”； 所以 ； （3）由题意得，当时，，即， 累乘可得， 即，也符合， 所以． 由题意得，当时， 即， 令，则，， 两边同时除以，得， 即， 累加可得 ，即 也符合，所以． 例15．（2026·高二·江苏淮安·期中）2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一棵树是桃树的概率为，选择种植第一棵树是梨树的概率为，如果小明第一棵选择种植桃树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，如果小明第一棵选择种植梨树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，设小明第棵选择种植桃树的概率为． (1)求、的值． (2)已知小明第2棵选择种植桃树，求他第1棵也选择种植桃树的概率． (3)求的通项公式． 【解析】（1）设:第n颗种植桃树，：第n颗种植梨树，， . （2）. （3）假设转移概率不随变化， 由，得， 所以是等比数列，又，公比为， ，即. 变式4．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 【解析】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望. （2）（i）由题意知：， 当时，第次操作后游戏终止分两种情形： ①第1次摸出的是黑球，则还需次摸球游戏才能终止，则； ②第1次摸出的是红球，则剩下次摸球中，最后1次摸出红球，中间次摸出的都是黑球，则， 所以， 即当时，. 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. (ii)当时，， 令，得， 两边同时乘以得：，所以，即， 当时上述不等式成立，故， 当时，， 因为是减函数，所以当时，，故， 所以最大，即的最大值为. 题型六：数学期望递推问题 例16．（2026·高二·辽宁沈阳·期中）现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望． 【解析】（1）设事件号盒子里有2个红球， 由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； （2）由题可知可取1，2，3， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为 1 2 3 （3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为， 且，化简得① 得， 而，则数列为等比数列，首项为，公比为，所以， 所以第号盒子有两个红球和两个白球的概率为． 又由② 由①②得 所以 又因为，所以 因此． 例17．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【解析】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 例18．（2026·高二·湖北·阶段检测）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 【解析】（1）设第轮试验得分为 ，则总得分，满足 第1轮期望得分：首轮固定使用A型车，成功概率，因此; 第2轮期望得分：若第1轮成功（概率），第2轮继续用A型车；若第1轮失败（概率），第2轮换B型车. ; 第3轮期望得分：第3轮使用A型车的概率：, 第3轮使用B型车的概率：, . 总期望得分. （2）①由题意，表示第轮使用A型车的概率，表示第轮使用B型车的概率. 第轮使用A型车分为两种情况： 变式5．第轮用A型车且成功的概率为；2.第轮用B型车且失败的概率为 ， 则得递推关系式： 初始条件： 令 ，即， 所以，即， 数列 为等比数列，首项，公比， 故，即. ②设第轮得分期望为，则 将代入上式得： 前轮得分期望和为： 变式6．（2026·广东茂名·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 【解析】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： ;;， 故的分布列如下表： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即：， 所以， 所以， 又， 所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 即：. （3）由全概率公式可得： , 即：, 又, 所以, 所以, 又, 所以, 所以, 所以, 所以. 题型七：高尔顿钉板模型问题 例19．（25-26高二下·江苏南京·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的概率分布列，并求出数学期望； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 【解析】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7. ， ，   ， 则的概率分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 数学期望 ； （2）因为当或7时，；当或6时，；当或5时，；当时，. 利用（1）得的概率分布列为： 1 4 6 10 ， 所以小明同学不能盈利. 例20．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满200元就能得到一次抽奖机会，如消费180元没有抽奖机会，消费300元有一次抽奖机会，消费400元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. ①求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； ②已知某顾客在商场消费500元，设他所得的奖金为（元），求. 【解析】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右. 所以； （2）①记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7. 由题意可得； ；； ； 所以M的分布列为： M 1 2 3 4 5 6 7 P 因为，所以X的可能取值为：0，10，20，30. 其中,, ,. 所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为： X 0 10 20 30 P 所以数学期望为. ②某顾客在商场消费500元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为. 因为，所以. 例21．（23-24高二下·广东肇庆·阶段检测）已知展开式前三项的二项式系数和为22． (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中；格子从左到右分别编号为0，1，2，，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列以及均值与方差． 【解析】（1）依题意有：，即：， 解得：，或（舍去） 由通项公式可得：，， 令，解得：， 所以展开式的常数项为； （2）依题意有， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ，． 变式7．（22-23高二下·贵州·阶段检测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽内．球槽从左到右分别编号为．    (1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入号球槽的概率； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中． ①求的分布列； ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【解析】（1）设这个球掉入号球槽为事件， 而掉入号球槽，需要向左次， 所以， 即这个小球掉入号球槽的概率为. （2）①由题知，的取值为， 所以， ， ， . 则的分布列为： ②由①知，因为， 所以的分布列为： 则. 所以小明同学能盈利. 题型八：随机游走问题 例22．（2026·高三·湖南·阶段检测）（1）1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度（相对于原点，质点向右移动了个单位长度后位置记为，向左移动了个单位长度后位置记为）．已知质点每次向右移动的概率为．记为质点从原点出发，移动2次后的位置，求满足随机变量的期望大于0的的取值范围； （2）1个质点从平面直角坐标系中某点出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点的概率． 【解析】（1）由题可知的可能取值为， 所以， 的分布列如下： 所以，得. （2）移动四次，样本空间的样本点总数为，每个样本点出现的可能性相等，且为有限个， 记质点经过4次移动后回到点为事件，要4次回到起点，则向左移动次数与向右移动次数相等， 且向上移动的次数与向下移动的次数相等， 包含下列情况：①4次移动中向上，下，左，右各一次，②向上和向下各2次，③向左和向右各2次； 情况①有种，情况②有种，情况③有种； 所以事件包含的样本点个数为，所以， 所以质点经过4次移动后回到点的概率为. 例23．（2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，. (1)求. (2)设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列. (3)若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求. 【解析】（1）已知每一步沿平行于的方向移动的概率为， 沿平行于的方向移动的概率为，两次移动后回到处有两种情况， 沿着或方向来回，故. （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 （3）注意到掷偶数次时，该点不可能停在处或处，故． 由第一问，故掷两次后停在处的概率为， 由题意得， 两式相减得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 又因为，所以． 将该点出现在处记为1，出现在处记为0，故随机变量服从两点分布， ， 故． 例24．（2026·高二·山东枣庄·期末）“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. (1)求质点移动6次后位于的概率； (2)设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (3)记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式：. 【解析】（1）质点移动6次后位于，6次移动中只能有3次向右，3次向上，因此概率为 （2）因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处，故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量表示的取值，故的可能取值为， 对应的概率分别为：，，， 故的分布列为： 0 1 期望为； （3）（i）因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点，第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故； 对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形.故； （ii）第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步， 故 ， 因，故. 变式8．（2026·高二·陕西西安·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，质点每次移动向左或向右是等可能的． (1)求质点移动次后回到原点的概率； (2)若将质点未连续出现次向右移动的概率记为， ①求之间的递推关系； ②若满足关系式：，求的值． 【解析】（1）质点每次移动向左或向右的概率均为​，移动次后回到原点，说明向右移动次数向左移动次数次， 所以质点移动次后回到原点的概率． （2）①移动次时，所有情况均无连续次向右，所以， 移动2次总情况数为，排除连续次向右的情况（右右），符合条件的有种，， 移动次总情况数为，符合条件的情况有左左左，左左右，左右左，右左左，右左右，共种，， 当时，第次向左时，概率为，第次向右时，第次必向左，概率为， 所以． ②由，得， 所以， 解方程组得，或． 1．（23-24高二下·云南昆明·期中）贝叶斯公式中，称为先验概率，称为后验概率．先验概率表达了对事件的初始判断，当新的信息出现后，我们可以利用贝叶斯公式求出后验概率，以此修正自己的判断并校正决策．利用这种思想方法我们来解决如下一个实际问题． 某趣味抽奖活动准备了三个外观相同的不透明箱子，已知三个箱子中分别装有10个红球、5个红球5个白球、10个白球(球的大小、质地相同)．抽奖活动共设计了两个轮次： 第一轮规则：抽奖者从三个箱子中随机选择一个箱子，并从该箱子中取出两球（分两次取出，每次取一球，取出的球不放回)，若取出的两个球都是红球则可以进入第二轮，否则抽奖活动结束(无奖金)． 第二轮规则：进入第二轮的抽奖者可以选择三种抽奖方案．方案一：就此停止，并获得奖金300元；方案二：继续从第一轮抽取的箱子中再取一球，若为红球则可获得奖金400元，若为白球奖金变为0元；方案三：不再从第一轮抽取的箱子中取球，而是从另外两个箱子中随机选择一个箱子，并从中取出一球，若为红球则可获得奖金800元，若为白球奖金变为80元． (1)求抽奖者在第一次取出红球的条件下，能进入第二轮的概率； (2)在第二轮的三种抽奖方案中，从抽奖者获得奖金的数学期望的角度，找出三种抽奖方案的最佳方案． 【解析】（1）设第次取到红球为事件， 从装有10个红球、5个红球5个白球、10个白球的箱子取球分别为事件． 在第一次取出红球的条件下，要进入第二轮只需第二次也取出红球， 所以概率为． （2）先分别求出在进入第二轮的条件下，第一轮在各个箱子取球的概率： 方案一：所获得奖金为300； 方案二：继续取出红球的概率， 设所获得奖金为X，则． 方案三：继续取出红球的概率， 设所获得奖金为，则， 所以方案二最佳． 2．（2025高一·全国·专题练习）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 3．（25-26高二下·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【解析】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 4．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元） 【解析】（1）设猜对第一道谜语为事件,猜到第二道谜语为事件, 两道谜语猜对为独立事件， 因此猜对两道谜语的概率. （2）① 先猜A，奖金为 的可能取值为，对应概率： ， ， ， 期望. ② 先猜B，奖金为， 的可能取值为，对应概率： ， ， ， 期望， 因为，因此先猜的期望更大. 5．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【解析】（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 6．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知，， （ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率. (2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由. 【解析】（1）（ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 则， ， ，. 所以； （ⅱ）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以该队比赛结束后所获积分的概率为. （2）若顺序为“甲乙丙”：积分的可能取值为，，，， 则，， ，. 所以 若顺序为“甲丙乙”：积分的可能取值为，，，， 则，， ，. 所以 ， 由于，，所以，， 所以乙在丙前参赛. 7．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【解析】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 8．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 【解析】(1)由题可得，， 由全概率公式可得：； （2）若，甲获胜对局胜者序列为：甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：甲乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲乙甲甲或甲乙甲乙甲， 对应概率为：. 则甲获胜概率为：. 9．（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两名运动员击中的环数稳定在7，8，9，10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示． (1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率，以及甲击中9环以上（包括9环）的概率； (2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）． 【解析】(1)． 同理，，， 所以． ． （2）因为， ， 则有，所以估计甲的水平更高． 10．（2022·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. （ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； （ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求. 【解析】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右. 所以. （2）（i）记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7. 由题意可得；；；； 所以M的分布列为： M 1 2 3 4 5 6 7 P 因为，所以X的可能取值为：0,40，80，120. 其中,,,. 所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为： X 0 40 80 120 P 所以数学期望为. （ii）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为. 因为，所以. 11．（24-25高二下·河南信阳·期中）如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，经过10次碰撞最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码．      (1)求和X的分布列． (2)求小球最后落入格子的号码X为奇数的概率． (3)求变量X的数学期望和方差． 【解析】（1）设“向右下落”，“向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 所以， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）记小球最后落入格子的号码为奇数为事件， 则 （3）由（1）知， ，. 12．（2026·高二·河北邢台·期中）某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为． (1)求； (2)求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率； (3)求． 【解析】（1）； （2）第二关和第三关的挑战者都是甲的概率为， 第二关和第三关的挑战者都是乙的概率为， 则第二关和第三关的挑战者是同一人的概率为. （3）由题意可得，即， 所以． 因为，所以， 则是首项为0.1，公比为0.5的等比数列， 所以， 故． 13．（2026·高二·重庆·期中）亮亮玩一个游戏：一开始他准备了2个罐子，每个罐子里都放着红､黄､蓝三种颜色的球各一个.然后他在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机抽出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色. (1)求经过1轮交换后罐子里红球个数的分布列； (2)经过轮交换后（）： ①求两个罐子里仍然是红､黄､蓝三种颜色的球各一个的概率； ②请直接写出罐子里有2个黄球1个蓝球的概率. 【解析】（1）每个罐子里都放着红､黄､蓝三种颜色的球各一个，因此每次随机抽取一个的概率都是， 经过1轮交换后罐子里红球个数的取值分别为， ，，， 的分布列如下： 0 1 2 （2）①设经过轮交换后两个罐子里仍然是红､黄､蓝三种颜色的球各一个的概率为，初始状态时，两个罐子都是红､黄､蓝各一个，所以， 考虑到第轮状态是由第轮的状态经过一次交换得到的， 如果第轮时，两个罐子里红､黄､蓝三种颜色的球各一个（概率为）： 经过一轮交换仍然是红､黄､蓝三种颜色的球各一个，只能是同色球交换，概率为； 如果第轮时，两个罐子里不是红､黄､蓝三种颜色的球各一个（概率为）： 此时两个罐子里球的颜色分布必定是不均匀的（例如罐子有两个同色球）， 由于总共有2红、2黄、2蓝共6个球，两个罐子里必定是类似红、红、黄、红、黄、黄、红、蓝、蓝等组合，在这种状态下经过一轮交换，要变回红､黄､蓝和红､黄､蓝的状态，必须恰好把多出来的一个换走，并把缺少的球换进来，例如若红､红､黄，黄､蓝､蓝，则要从中抽红球（概率是），从中抽蓝球（概率是），因此交换结束概率为， 由于对称性，无论具体是哪种非均匀分布，经过一轮交换，要变回红､黄､蓝和红､黄､蓝的状态的概率都是， 综上，，即， 所以，所以是等比数列， 又，公比，所以， 所以； ②在所有可能的状态中，除了两个罐子都是红､黄､蓝的状态（概率是）之外，剩下的状态（概率为）都是非均匀分布，由于红､黄､蓝三种颜色是完全对称的，且罐子和罐子也是对称的，所有非均匀状态出现的概率是相等的， 在所有非均匀状态中,罐子的构成可能是：2红1黄、2红1蓝、2黄1红、2黄1蓝、2蓝1红、2蓝1黄共6种可能情况， 因此罐子里有2个黄球1个蓝球的概率是剩余概率的， 即. 14．（2026·高二·浙江·期中）某人清明节去烈士陵园扫墓，需要爬一个有级台阶的山坡，此人走这台阶时，每步跨级台阶，或跨级台阶. (1)当时，他只用步跨上了第级台阶，问共有多少种不同的走法； (2)已知此人从地面（即第级台阶）开始，每步跨级台阶的概率为，跨级台阶的概率为； ①求此人跨上第级台阶的概率； ②求此人跨上第级台阶的概率. 【解析】（1）当时，他只用步跨上了第级台阶，则说明此人有步跨级，步跨级， 所以共有种； （2）①此人跨到第级台阶，只能是从地面（第级台阶）跨级上来， 所以，跨上第级台阶可能从第级跨级上来，或从第级台阶跨级上来， 所以由全概率公式得，此处. 同理，跨到第级台阶只能从第级台阶跨级上来，或是从第级台阶跨级上来， 所以，同理. ②设跨到第级台阶的概率为，同上理由全概率公式得，其中. 方法一：由是常数列， 从而； 方法二：由，构造特征方程， 所以设，代入， 从而. 15．（2026·湖北十堰·二模）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【解析】（1）初始状态，即个在线、个宕机． 第个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． （2）由题意知的可能取值有、、、， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为，设， 所以， 所以，，， 所以是以为公比的等比数列， ，，, 故， 所以， 所以， 第个月的期望宕机节点数的期望为． 每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为． 设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为， 故（万元）. 16．（2026·广东深圳·二模）一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． (1)求； (2)求； (3)求． 参考公式： 若，对于，则； 若是离散型随机变量，则． 【解析】（1）微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域， 微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域． （2）解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动， 且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则 不妨设， 于是 则 化简可得，， 由题意可知， ，所以； 解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域， 有的概率经过区域回到区域， 于是， 解得， ； （3）解法1：初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为， 设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为， 初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达）， 当时，于是：， 即， 化简有，又由，有 ， 即， 又由，于是． 解法2：不妨设微生物从区域出发，第一次到达区域，需要的次数为随机变量，当时，， 微生物由区域出发第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动， 且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则， 由（2）知 于是 又由，于是． 解法3：当时，易知微生物第次到达区域所经历的步数可能为： ， 当微生物通过步第次到达区域时，前面的步中， 在奇数步中，必然到达区域，偶数步中，有次到达区域，对应的概率为， 且最后2步移动以的概率回到． 于是，则 不妨记 于是 则， 又由，于是， 则． 又由时也符合上式，于是对于均有． 说明：视每2次移动为1次实验，易知1次实验中，必然有1次到达，有1次到达或者．即每次实验有的概率到达，有的概率不到达．于是为使到达事件次，平均需要进行实验次，于是需要移动次． 17．（2026·高二·广东·阶段检测）随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位． (1)求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法； (2)证明：； (3)求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率． 【解析】（1）该粒子移动4个单位要回到出发点可分如下三大类： （i）其所走四步中有一步上、一步下、一步左、一步右，共有种走法 （ii）其所走四步中有二步上、二步下，共有种走法 （iii）其所走四步中有二步左、二步右，共有种走法   故而该粒子走四步回到出发点的情况共有为种 （2）因为， 故而有   因为等式两侧的系数必然相等，故而有 （3）若该粒子在经次移动后回到出发点，那么其在上、下方向上移动的次数、及在左、右方向上移动的次数一定各自相同，设其向上移动的次数为，则其向左移动的次数为，故而所求概率为         18．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. (1)求，； (2)求的通项公式； 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 【解析】（1）设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动， ， ， 另一种计算的方法： 四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为； 四次移动中，全部水平移动的概率为； 四次移动中，全部竖直移动的概率是； 相加得. （2）设连续移动两步，动点位置变化的概率为，动点位置不变的概率为 则，； 根据全概率公式，， 则， 因为，所以， 所以，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $