专题09 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率应用7大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题09 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率应用7大题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率基础计算 题型02 独立事件与条件概率辨析计算 题型03 条件概率性质应用及相关概率证明 题型04 全概率基础计算 题型05 全概率拔高计算 题型06 贝叶斯公式的概率计算 题型07 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：条件概率基础计算 能熟练运用条件概率公式 及缩小样本空间法求值，注意事件交集的概率计算 基础必考，常以小题出现，易错点在于混淆 与 （仅独立时相等） 题型02：独立事件与条件概率辨析计算 能判断两个事件是否相互独立，并区分“条件概率”与“独立事件”的关系，熟练利用独立性简化计算 中档考点，易错点在于误将不独立事件当作独立处理，或混淆 与 题型03：条件概率性质应用及相关概率证明 能运用条件概率的加法、乘法等性质进行推导，证明简单的概率恒等式（如 ） 考查逻辑推理，常以小题或证明题形式出现，易错点在于性质使用条件不明确 题型04：全概率基础计算 能识别完备事件组，运用 解决单一阶段或多步骤问题中的概率计算 基础核心考点，常为解答题第一步，易错点在于事件组划分不重不漏 题型05：全概率拔高计算 能处理复杂情境（如多阶段、变概率、依赖路径），熟练构建完备事件组并进行递推计算 难度中上，常出现在解答题中后段，易错点在于漏掉某些分支或重复计数 题型06：贝叶斯公式的概率计算 能利用贝叶斯公式 进行“执果索因”的后验概率计算 高频考点，常以疾病检测、信号传输、抽签等实际背景出现，易错点在于分子分母混淆或条件概率顺序错误 题型07：条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用 能综合运用条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，解决多阶段、多因素的实际概率问题（如决策树、系统可靠性） 压轴题型，考查建模与综合推理能力，易错点在于阶段划分不当或逻辑混乱 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 （1）条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称___条件概率_____. ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则____ P（AB）＝P（A）P（B|A）____. （2）条件概率的性质：设P（A）>0，则 ①P（Ω|A）＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝____ P（B|A）＋P（C|A）____； ③设和B互为对立事件，则P（|A）＝___ 1－P（B|A）_____. （3）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝________，我们称这个公式为全概率公式. （4）贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_________＝_________，． 题型一 条件概率基础计算 解｜题｜技｜巧 条件概率 ，其中 。计算时先明确事件 与 ，再求 和 。常用方法：① 列举法（古典概型）；② 缩小样本空间法：已知 发生，则样本空间缩为 ，再计算 在其中的比例。注意条件概率与普通概率的区别，避免混淆。 【典例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）一枚骰子连续抛掷两次，在第一次抛出的点数是6的情况下，第二次抛出的点数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率公式可得结果. 【详解】设事件为“第一次抛出的是点数6”，事件为“第二次抛出的是奇数点”． 则． 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机事件、满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式，结合和事件概率公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以有， 因此， 故选：A 【变式1】（24-25高二下·天津西青·期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（    ） A．0.392 B．0.56 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】由条件概率计算公式可得答案. 【详解】设第一次击中9环为事件A，第2次击中9环为事件B， 由题可得， 则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·山东淄博·期末）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 表示事件“两次取出的球均是红球”，则， 故， 故选：D 【变式3】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，根据概率的基本性质得到，从而求出，，利用条件概率求出答案. 【详解】由题意得，故， ， 又，故，解得， 所以， 故， 由条件概率公式得. 故选：B 题型二 独立事件与条件概率辨析计算 解｜题｜技｜巧 若 独立，则 ，且 。解题时先判断独立性：根据题意（如放回抽样、无关联事件）或利用定义验证。常见错误：把互斥当成独立，注意互斥且非空的事件一定不独立。独立条件下条件概率简化为无条件概率；非独立时需用条件概率公式。 【典例1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【答案】D 【分析】由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项. 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，所以，故C错误； 对于D，若，则，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 【典例2】（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（多选）一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（    ） A． B． C．，相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及古典概型公式计算可判断ABD；利用相互独立事件的意义判断C. 【详解】对于A，由题，，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，，所以不互相独立，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 【典例3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）（多选）小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B不相互独立 C． D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据相互独立事件的定义可判断B；求出可判断C；根据条件概率公式可判断D. 【详解】连续抛掷一枚骰子2次，，共有36种样本点， ，共有18样本点， ， 共有27个样本点， 所以，且事件与事件包含的样本点一样， 对于A，事件A与事件B不互斥，故错误；     对于B，，所以， 所以事件A与事件B不相互独立，故正确； 对于C，，故错误；     对于D，，故正确. 故选：BD. 【变式1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）（多选）记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则事件相互独立 C． D．若，，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件概率公式可验证；对于B，利用条件概率公式及独立性检验即可判断；对于C，利用条件概率公式可证即可判断；对于D，由条件概率即全概率公式即可求解. 【详解】，，， A正确； ，，，B正确； ，C错误； ，，又，， .D正确. 故选：ABD. 【变式3】（24-25高二下·福建福州·期末（多选））一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 【答案】ABD 【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率. 【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，，不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确. 对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确. 对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误 对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，根据条件概率公式可知，所以D正确. 故选：ABD. 题型三 条件概率性质应用及相关概率证明 解｜题｜技｜巧 条件概率满足概率公理：① ；② ；③ 可列可加性。常用性质：；。证明题往往利用条件概率定义转化为普通概率，再运用集合运算法则推导。注意反向验证：要证明 即证 。 【典例1】假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及条件概率公式即可判断ABC；举例判断D. 【详解】对于A，由于，则，A正确； 对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误； 对于C，当相互独立时，，而，则，C错误； 对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4， 则，，则，D错误， 故选：A 【典例2】（24-25高二上·江西·期末）对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 不经常喝 18 52 合计 100 (1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联； (2)证明； (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出与临界值比较即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求证； （3）由样本数据得到，再由条件概率公式代入计算即可； 【详解】（1）解：完善列联表如下． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 32 48 不经常喝 34 18 52 合计 50 50 100 根据列联表数据可得 所以有的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝＂肥宅快乐水＂有关联． （2）证明：由， ， 左，右两边展开相同，故得证． （3）由样本数据可得，又， 故． 【变式1】一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，，， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解； （3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可. 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得． （2）由已知得，， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 【变式2】（2026·陕西咸阳·三模）某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立. (1)若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率； (2)求X的分布列与数学期望； (3)若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明：. 【答案】(1) (2)的分布列为：其中； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用二项分布求解即可； （2）对变量进行转换，用n次抽奖中抽到10元券的次数进行转换求解； （3）作差法进行比较，注意不同项的正负关系. 【详解】（1）设该顾客抽得的奖券金额总和30元为事件， 则为四次抽奖中，10元和5元各有2张， 则. （2）不妨设为n次抽奖中抽到10元券的次数，则，且 ， 由题意可知，可能的取值为：，对应的取值为， 所以的分布列为： 其中； 因为，所以， 即：数学期望. （3）由题意得：事件为前两次都抽到5元券，故， 事件为抽到10元券的总次数不少于2次，即：， 故， 事件表示前两次都抽到5元券，且10元券总次数不少于2次，即：后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次， 设后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次为事件，则， 由条件概率公式得：， 要证，即： ，即证：， 即证：， 左边减右边合并化简得：， 因为，，所以， 当，时， ，因为， 所以，因此，即得证. 题型四 全概率基础计算 解｜题｜技｜巧 设 为完备事件组（互斥且并集为 ），则 。解题步骤：① 找出导致事件 发生的所有互斥原因 ；② 分别计算每个原因的概率 及该原因下 发生的概率 ；③ 求和。常用于分步试验、多阶段抽样问题。 【典例1】（24-25高二下·北京通州·期末）某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率的公式进行求解即可. 【详解】设该校总学生人数为，则根据题意得 . 故选：D. 【典例2】（24-25高二下·北京朝阳·期末）青少年近视是现阶段社会广泛关注的健康问题之一.已知某地区高中､初中､小学在校学生数之比为，为了解该地区中小学生的近视情况，采用按比例分配的分层随机抽样方法，得到高中在校学生近视率为，初中在校学生近视率为，小学在校学生近视率为，则该地区中小学生总体近视率估计为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，可得该地区高中､初中､小学在校学生数所占比例和近视率，利用全概率公式计算即得. 【详解】依题意，该地区高中､初中､小学在校学生数所占的比例分别为， 而采用分层随机抽样方法得到的高中､初中､小学在校学生近视率分别为，，， 故该地区中小学生总体近视率估计为. 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·重庆·期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率；第二批占，次品率，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为（    ） A．0.042 B．0.044 C．0.046 D．0.048 【答案】B 【分析】由题意结合全概率公式即可求解. 【详解】设事件分别表示产品来自第一、第二批，事件表示产品为次品， 则由题， 从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·山东·阶段检测）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率为（   ） A．0.05 B．0.08 C．0.1 D．0.15 【答案】C 【分析】根据全概率公式，即可求解. 【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件， 则，， 且，， 则 . 故选：C 题型五 全概率拔高计算 解｜题｜技｜巧 题型特点：事件分组不直接给出，需构造或递推；或涉及多次使用全概率（如马尔可夫链）。技巧：① 利用数列关系建立递推公式，如 ；② 对动态过程，以当前状态为条件，写出下一步的全概率方程；③ 结合对称性、无记忆性简化计算。注意画树状图或状态转移图辅助分析。 【典例1】（24-25高二下·河南周口·期末）某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全概率公式进行计算. 【详解】设事件表示“抽取人购买了纪念品”，事件表示“抽取人来自上午场”，事件表示“抽取人来自下午场”. 已知上午场人数占比为60%，即,则下午场人数占比为. 上午场每人购买纪念品概率为，即;下午场每人购买纪念品概率为，即. 根据全概率公式：， 代入上述概率值得：. 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·北京东城·期末）甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为，，. (1)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率； (2)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率； (3)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式即可求解； （2）根据已知条件，分三种情况结合相互独立事件乘法公式求解即可； （3）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）因为甲机器生产的产品的合格率为，所有产品合格与否相互独立， 设甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格为事件， 所以. （2）设从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格为事件， 从甲机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从乙机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从甲丙机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件， 恰有2件产品合格的情况有：，，， 所以 , 所以从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率为. （3）因为三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品， 设该产品为甲机器生产为事件，该产品为乙机器生产为事件， 该产品为丙机器生产为事件，这件产品合格为事件， 根据已知条件有：， 根据全概率公式有： . 【变式1】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球，记事件从乙箱中取出的球是黑球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球， 记事件从乙箱中取出的球是黑球，则，，，， 由全概率公式可得. 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·福建龙岩·期中）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． (1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率； (2)求甲在每轮比赛中获胜的概率； (3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出甲在一轮比赛中共抢到1题和3题的概率，即可求出甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求出甲在一轮比赛中共抢到0~3题的概率，得出在抢到不同题量的情况下获胜的概率，即可求出甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求出甲得0~3分的概率，即可得出甲前三轮累计得分恰为6分的概率. 【详解】（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到（）道题为事件， 甲在一轮比赛中得（）分为事件， 则， ， ∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为. （2）由题意及（1）得 设甲在一轮比赛中获胜为事件， ∵， ， ， ， ∴ ， ∴甲在每轮比赛中获胜的概率为. （3）由题意，（1）及（2）得， ，， ，， 设甲前三轮累计得分恰为6分为事件， ∴ ∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为. 题型六 贝叶斯公式的概率计算 解｜题｜技｜巧 贝叶斯公式：。用于“已知结果，求原因的概率”。步骤：先利用全概率计算分母 ，再分别计算分子项。常见陷阱：要先确认 已发生；注意先验概率与后验概率的区分。实际应用中，可先列树状图，标注各分支概率，再求逆分支概率。 【典例1】（2025·江西·模拟预测）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据古典概型的概率计算以及条件概率的计算公式，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件为“取出的球在i号箱中”，事件B为“取出的球为红球”， 则组成了完整的样本空间，且两两互斥． 由题意有 ，． 则由全概率公式，， 则在取出的球为红球的条件下， 其取自3号箱的概率为． 故选：A． 【典例2】（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·陕西西安·期末）近两年，全国各地召开了多场演唱会，小明参加完高考，前往外地参加偶像演唱会，已知他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.现在已经知道他迟到了，则他乘坐的是飞机的概率为_______________. 【答案】 【分析】记事件“小明迟到”，事件“乘飞机”，事件“乘动车”，事件“乘非机动车”，由全概率公式求出，再根据贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件“小明迟到”， 事件“乘飞机”，事件“乘动车”，事件“乘非机动车”， 则 ， 则. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 【变式3】（24-25高二下·福建漳州·期末）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 【答案】(1)120；120 (2)答案见解析 (3)来自班的概率为，来自班的概率为． 【分析】（1）根据统计学中的箱型图的规定，易得班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； （2）由题意确定的可能取值，利用古典概型概率公式求出对应的概率值，列出分布列即可； （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分，利用全概率公式先求出，再利用贝叶斯公式求和即可. 【详解】（1）由两个班级的成绩箱型图可知，A班的上四分位数与B班的中位数均为120. （2）依题意的可能取值为，，， 所以， ，， 所以的分布列如下 0 1 2 3 （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分， 由成绩箱型图可得，，，， 由全概率公式， ， 故由贝叶斯公式，， 即该同学来自班的概率为，来自班的概率为． 题型七 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 综合题往往包含多个阶段、多个事件，需灵活运用上述公式。解题策略：① 仔细阅读题目，明确所有事件及关系；② 识别“因→果”结构，确定何时用全概率（由因求果），何时用贝叶斯（执果溯因）；③ 多步问题可分解为若干层，每层用条件概率或全概率；④ 必要时用随机变量表示，将问题转化为期望或分布列问题。典型模型：疾病检测、信号传输等。 【典例1】（24-25高二下·福建泉州·期末）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【详解】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 【典例2】（24-25高二下·浙江宁波·期末）在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率的性质可得，则独立，利用条件概率求得不换箱子不中奖和不换箱子中奖的概率的概率，即可得解. （2）求得，即可判断. （3）记事件表示主持人知道内情，结合互斥事件的概率加法公式，利用条件概率得，进而求出，即可求出抽奖人不换箱子中奖的概率. 【详解】（1）如果主持人知道内情，则他必然打开空箱子，，则， ，所以独立， 所以， 说明不换箱子不中奖的概率是，不换箱子中奖的概率是，于是，换箱子中奖的概率是. （2）如果主持人不知道内情，， 于是，， 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是. （3）如果主持人知道内情的概率为，事件表示主持人知道内情，则， ， 又，设， ， ， 因此，. 说明不换箱子不中奖的概率. 【变式1】（24-25高二下·福建漳州·期末）（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 【变式2】（24-25高二下·河北承德·期末）（多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【分析】在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，利用古典概率可对A判断；顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，从而可对B判断；利用全概率公式可对C判断求解；结合C项利用贝叶斯公式即可对D判断求解. 【详解】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确； B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误； C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件， 第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件， 则，，，，，， 所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 故选：AD. 【变式3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 【答案】(1)0.45 (2)最大值为，或4. (3) 【分析】（1）抽象为全概率公式，结合题意，代入数据，即可求解； （2）首先根据组合数公式，结合古典概型概率公式，得到，设最大，则，列式求解； （3）首先根据全概率公式，列出的递推关系式，利用构造法求通项公式. 【详解】（1）根据题意，设“第i天在餐厅就餐”为事件，设“第i天在餐厅就餐”为事件， 则 （2）可能的取值为， 大为， 令， 设最大，则 即 所以，因为为正整数， 所以当， 故的最大值为，此时或4. （3）根据题意，设， 则， 则有 ， 则有，即， 变形可得， 又由，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 故. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 【答案】B 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 2．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于3”为事件A，“两颗骰子点数之和不大于4”为事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】用表示两个骰子向上的点数，表示红骰子向上的点数，表示蓝骰子向上的点数， 事件的所有基本事件个数为个； 事件的所有基本事件有：共5个， . 故选：D. 3．（24-25高二下·重庆·期末）某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 【答案】 【分析】根据条件概率计算公式进行计算即可. 【详解】设事件“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件“从8道题中抽4道题，至少有2道题会答”.， 则， 所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为. 故答案为： 4．（24-25高二下·辽宁·期末）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【详解】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 5．（24-25高二下·四川雅安·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．对随机事件，，若，则 B．若随机事件，相互独立，则 C．若随机事件，相互独立，，，则 D．若随机事件，满足，，，则 【答案】BD 【分析】由条件概率公式可判断A，结合独立事件的乘法公式可推导B；运用和事件的概率公式可判断C；利用全概率公式可求. 【详解】因为，故A错误； 随机事件，相互独立，则， 即，故B正确； 随机事件，相互独立，，故C错误； 根据全概率公式， 解得，故D正确； 故选：BD. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算得解. 【详解】事件“选一人是男生”，“选一人发现近视”， 则，， 因此， 所以此人是男生的概率为. 故选：C 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算. 【详解】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 8．（24-25高二下·贵州遵义·期末）（多选）甲、乙两人在商场参与抽奖活动，已知6张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列正确的是（   ） A．甲中奖的概率为 B．乙中奖的概率为 C．甲、乙都中奖的概率为 D．甲不中奖乙中奖的概率为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用古典概率，结合概率的乘法公式及全概率公式逐项求解. 【详解】设甲中奖的事件为，乙中奖的事件为， 对于A，甲中奖的概率为，A错误； 对于B，，， ，B正确； 对于C，由选项B，得，C错误； 对于D，由选项B，得，D正确. 故选：BD 9．（24-25高二下·江苏盐城·期末）某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出的可能值，结合（1）中概率，利用二项分布求出概率分布列. （3）由（1）的信息，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品， 则，， 所以每个盲盒含限量版商品的概率. （2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，， ，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （3）抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为. 10．（24-25高二下·山东济南·期末）甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见详解； 【分析】（1）根据题意分情况列举即可； （2）结合（1），再利用条件概率公式即可求解； （3）由题知，对局数最多5局，的取值可以为2，3，4，先分析，的情形并计算概率，再利用概率和为1，确定的概率，写出分布列并计算期望. 【详解】（1）根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙，甲丙，乙丙，对应事件设为， ，设甲获得第二局比赛胜利为事件， 若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜，若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可， 所以， 甲获得第二局比赛胜利的概率. （2）由题知， ， 所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为. （3）由题知比赛最多进行5局，则的取值可以为2，3，4 时，丙分别在第2局和第4局输了比赛， 所以， 时，丙在2,3局获胜，第4局输，第5局继续比赛， 所以， 所以， 则分布列为： 2 3 4 . 期末综合拓展练（测试时间：40分钟） 11．（24-25高二下·福建福州·期末）（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（   ） A．第一次球传出后恰好传给丙的概率为 B．第二次球传出后恰好传给丙的概率为 C．第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率 D．球第次传出后恰好传给丙的概率为 【答案】ABD 【分析】先求出接到前两次传出的球的情况有共9种，设事件：第二次的球传出后恰好传给丙，事件：第二次的球由乙传出，求出，，再用条件概率公式计算，判断A，B，C.设第次传出后，球恰好传给丙的概率为，依题意可得，且，构造为公比的等比数列，求出即可判断D. 【详解】由已知接到前两次传出的球的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲）， （丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共9种， 显然第一次由甲传出球后，可能传给乙丙丁中间一个，故传给丙的概率为，故A正确； 设事件：第二次的球传出后恰好传给丙，事件：第二次的球由乙传出， 则，，则，故B正确，C错误； 对于D，不妨设第次传出后，球恰好传给丙的概率为，易知若第次传出后，球恰好传给丙， 则第次传出后，球不传给丙，而是由其他人传给丙，则，且， 则，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）（多选）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【答案】BC 【分析】A选项利用条件概率和全概率公式求出和，再利用独立事件的定义进行判断即可；B选项利用条件概率求解；C选项由全概率公式求解；D选项利用贝叶斯公式进行求解. 【详解】设“小明与父母一起爬山”，“选择甲路线”， 则“小明不与父母一起爬山”，“选择乙路线”， ，，， ，， 对于A选项，，， 根据全概率公式可得，， ， “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件，故A错误； 对于B选项，小明与父母一起选择乙路线登山为， ，， ， 即小明与父母一起选择乙路线登山的概率为，故B正确； 对于C选项，由A选项的解析可知， 即小明选择甲路线登山的概率为，故C正确； 对于D选项，已知小明从乙路线登山，求他与父母一起爬山的概率，即求， ，， 根据条件概率公式可得，， 再根据贝叶斯公式可得，，故D错误. 故选：BC. 13．（24-25高二下·江苏泰州·期末）某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为． (1)当时，求的值； (2)在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列； (3)证明：． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，记事件从号店中选派名店长去号店，利用全概率公式可得出的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （3）根据全概率公式可得出的递推公式，结合数学归纳法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工， 当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店， 记事件从号店中选派名店长去号店， 则，，， 由全概率公式可得. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 记事件轮岗后，号分店店长的人数为， 则， 则， 记事件在第号分店选中店长， 则 当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长， 所以. 所以，随机变量的分布列如下表所示： （3）记事件第号店选派店长，则，， 所以， 先证明， 由题意可知，满足， 假设当时，原不等式成立，即， 则当时，， 即，这说明，当，原不等式成立，故； 接下来证明， 显然，满足题意， 假设当时，原不等式成立，即， 则当时，， 即，这说明，当，原不等式成立，故. 综上所述，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率应用7大题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率基础计算 题型02 独立事件与条件概率辨析计算 题型03 条件概率性质应用及相关概率证明 题型04 全概率基础计算 题型05 全概率拔高计算 题型06 贝叶斯公式的概率计算 题型07 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：条件概率基础计算 能熟练运用条件概率公式 及缩小样本空间法求值，注意事件交集的概率计算 基础必考，常以小题出现，易错点在于混淆 与 （仅独立时相等） 题型02：独立事件与条件概率辨析计算 能判断两个事件是否相互独立，并区分“条件概率”与“独立事件”的关系，熟练利用独立性简化计算 中档考点，易错点在于误将不独立事件当作独立处理，或混淆 与 题型03：条件概率性质应用及相关概率证明 能运用条件概率的加法、乘法等性质进行推导，证明简单的概率恒等式（如 ） 考查逻辑推理，常以小题或证明题形式出现，易错点在于性质使用条件不明确 题型04：全概率基础计算 能识别完备事件组，运用 解决单一阶段或多步骤问题中的概率计算 基础核心考点，常为解答题第一步，易错点在于事件组划分不重不漏 题型05：全概率拔高计算 能处理复杂情境（如多阶段、变概率、依赖路径），熟练构建完备事件组并进行递推计算 难度中上，常出现在解答题中后段，易错点在于漏掉某些分支或重复计数 题型06：贝叶斯公式的概率计算 能利用贝叶斯公式 进行“执果索因”的后验概率计算 高频考点，常以疾病检测、信号传输、抽签等实际背景出现，易错点在于分子分母混淆或条件概率顺序错误 题型07：条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用 能综合运用条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，解决多阶段、多因素的实际概率问题（如决策树、系统可靠性） 压轴题型，考查建模与综合推理能力，易错点在于阶段划分不当或逻辑混乱 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 （1）条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称________. ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则________. （2）条件概率的性质：设P（A）>0，则 ①P（Ω|A）＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝________； ③设和B互为对立事件，则P（|A）＝________. （3）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝________，我们称这个公式为全概率公式. （4）贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_________＝_________，． 题型一 条件概率基础计算 解｜题｜技｜巧 条件概率 ，其中 。计算时先明确事件 与 ，再求 和 。常用方法：① 列举法（古典概型）；② 缩小样本空间法：已知 发生，则样本空间缩为 ，再计算 在其中的比例。注意条件概率与普通概率的区别，避免混淆。 【典例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）一枚骰子连续抛掷两次，在第一次抛出的点数是6的情况下，第二次抛出的点数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机事件、满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·天津西青·期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（    ） A．0.392 B．0.56 C．0.8 D．0.9 【变式2】（24-25高二下·山东淄博·期末）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 题型二 独立事件与条件概率辨析计算 解｜题｜技｜巧 若 独立，则 ，且 。解题时先判断独立性：根据题意（如放回抽样、无关联事件）或利用定义验证。常见错误：把互斥当成独立，注意互斥且非空的事件一定不独立。独立条件下条件概率简化为无条件概率；非独立时需用条件概率公式。 【典例1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【典例2】（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（多选）一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（    ） A． B． C．，相互独立 D． 【典例3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）（多选）小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B不相互独立 C． D． 【变式1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）（多选）记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则事件相互独立 C． D．若，，，则 【变式3】（24-25高二下·福建福州·期末（多选））一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 题型三 条件概率性质应用及相关概率证明 解｜题｜技｜巧 条件概率满足概率公理：① ；② ；③ 可列可加性。常用性质：；。证明题往往利用条件概率定义转化为普通概率，再运用集合运算法则推导。注意反向验证：要证明 即证 。 【典例1】假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·江西·期末）对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 不经常喝 18 52 合计 100 (1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联； (2)证明； (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式1】一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【变式2】（2026·陕西咸阳·三模）某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立. (1)若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率； (2)求X的分布列与数学期望； (3)若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明：. 题型四 全概率基础计算 解｜题｜技｜巧 设 为完备事件组（互斥且并集为 ），则 。解题步骤：① 找出导致事件 发生的所有互斥原因 ；② 分别计算每个原因的概率 及该原因下 发生的概率 ；③ 求和。常用于分步试验、多阶段抽样问题。 【典例1】（24-25高二下·北京通州·期末）某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·北京朝阳·期末）青少年近视是现阶段社会广泛关注的健康问题之一.已知某地区高中､初中､小学在校学生数之比为，为了解该地区中小学生的近视情况，采用按比例分配的分层随机抽样方法，得到高中在校学生近视率为，初中在校学生近视率为，小学在校学生近视率为，则该地区中小学生总体近视率估计为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·重庆·期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率；第二批占，次品率，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为（    ） A．0.042 B．0.044 C．0.046 D．0.048 【变式2】（24-25高二下·山东·阶段检测）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率为（   ） A．0.05 B．0.08 C．0.1 D．0.15 题型五 全概率拔高计算 解｜题｜技｜巧 题型特点：事件分组不直接给出，需构造或递推；或涉及多次使用全概率（如马尔可夫链）。技巧：① 利用数列关系建立递推公式，如 ；② 对动态过程，以当前状态为条件，写出下一步的全概率方程；③ 结合对称性、无记忆性简化计算。注意画树状图或状态转移图辅助分析。 【典例1】（24-25高二下·河南周口·期末）某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·北京东城·期末）甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为，，. (1)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率； (2)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率； (3)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率. 【变式1】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·福建龙岩·期中）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． (1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率； (2)求甲在每轮比赛中获胜的概率； (3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 题型六 贝叶斯公式的概率计算 解｜题｜技｜巧 贝叶斯公式：。用于“已知结果，求原因的概率”。步骤：先利用全概率计算分母 ，再分别计算分子项。常见陷阱：要先确认 已发生；注意先验概率与后验概率的区分。实际应用中，可先列树状图，标注各分支概率，再求逆分支概率。 【典例1】（2025·江西·模拟预测）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 【变式1】（24-25高二下·陕西西安·期末）近两年，全国各地召开了多场演唱会，小明参加完高考，前往外地参加偶像演唱会，已知他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.现在已经知道他迟到了，则他乘坐的是飞机的概率为_______________. 【变式2】（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·福建漳州·期末）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 题型七 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 综合题往往包含多个阶段、多个事件，需灵活运用上述公式。解题策略：① 仔细阅读题目，明确所有事件及关系；② 识别“因→果”结构，确定何时用全概率（由因求果），何时用贝叶斯（执果溯因）；③ 多步问题可分解为若干层，每层用条件概率或全概率；④ 必要时用随机变量表示，将问题转化为期望或分布列问题。典型模型：疾病检测、信号传输等。 【典例1】（24-25高二下·福建泉州·期末）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·浙江宁波·期末）在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 【变式1】（24-25高二下·福建漳州·期末）（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·河北承德·期末）（多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【变式3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 2．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于3”为事件A，“两颗骰子点数之和不大于4”为事件，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·期末）某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 4．（24-25高二下·辽宁·期末）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川雅安·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．对随机事件，，若，则 B．若随机事件，相互独立，则 C．若随机事件，相互独立，，，则 D．若随机事件，满足，，，则 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·贵州遵义·期末）（多选）甲、乙两人在商场参与抽奖活动，已知6张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列正确的是（   ） A．甲中奖的概率为 B．乙中奖的概率为 C．甲、乙都中奖的概率为 D．甲不中奖乙中奖的概率为 9．（24-25高二下·江苏盐城·期末）某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 10．（24-25高二下·山东济南·期末）甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 期末综合拓展练（测试时间：40分钟） 11．（24-25高二下·福建福州·期末）（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（   ） A．第一次球传出后恰好传给丙的概率为 B．第二次球传出后恰好传给丙的概率为 C．第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率 D．球第次传出后恰好传给丙的概率为 12．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）（多选）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 13．（24-25高二下·江苏泰州·期末）某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为． (1)当时，求的值； (2)在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列； (3)证明：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $