2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务三十五概率课件

这是一份高一数学期末复习课件，共43页，聚焦概率主题。内容涵盖主干知识梳理（样本点、事件分类、概率性质、古典概型等）、基础检测题（选择、填空及解析）、能力达标例题（事件关系、概率计算等）及规律方法总结，构建系统复习支架。 资料特色突出，融合数学核心素养，通过定义辨析（如事件分类深化）、表格对比（事件关系与运算）、实例分析（抛掷骰子、抽奖问题）培养数学眼光与思维，以分层练习提升解题能力。助力学生夯实基础，也为教师提供系统复习框架与多样化教学资源。高一学生需适应高中数学抽象性，此资料通过基础到能力的梯度设计，帮助学生巩固概念、培养逻辑推理，教师可据此高效开展期末复习。

高一数学期末复习课程 任务三十五·概率 一、主干知识梳理 1.样本点和样本空间 (1)定义:我们把随机试验E的每个可能的　　　　　　称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的　　　　　. (2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 基本结果 样本空间 2.事件的分类 确定事件 必然 事件 Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件 基本事件 把只包含一个样本点的事件称为基本事件 [知识深化] 3.事件的关系与运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=⌀ 互为对立 事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 A与B有且仅有一个发生 A∩B=⌀,A∪B=Ω 4.频率与概率 (1)定义 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用　　　　　　来估计概率　　　. 从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 易错警示　理解频数与频率需注意: (1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现. (2)频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA. 频率:指的是事件A出现的比例fn(A)=. 频率fn(A) P(A) (2)概率的基本性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)　　　;  性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　 　　, P(⌀)=　　　;  性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　 　　;  性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　　　 　　, P(A)=　　　　　;  性质5:如果A⊆B,那么　　 　　　,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1;  性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有 P(A∪B)=　　 　 　　　. ≥0 1 0 P(A)+P(B) 1-P(A) 1-P(B) P(A)≤P(B) P(A)+P(B)-P(A∩B) 5.古典概型 (1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①有限性:样本空间的样本点只有　 ;  ②等可能性:每个样本点发生的可能性　 　　. 判断一个试验是否是古典概型的关键点 (2)古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的 k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　　 　.其中,n(A)和n(Ω)分别 表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 有限个 相等 1.在下列叙述中,是离散型随机变量的是(　　) A.某电子元件的寿命 B.某人早晨在车站等出租车的时间 C.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D.测量某零件的长度产生的测量误差 C 二、基础检测 解析:A选项,某电子元件的寿命为任意值,不能一一列举出来,不是离散型随机变量,A错误;B选项,等出租车的时间是随机变量,但不能一一列举出来,不是离散型随机变量,B错误;C选项,一小时内经过的车辆数可以一一列举出来,是离散型随机变量,C正确;D选项,测量误差不能一一列举出来,不是离散型随机变量,D错误. 2.抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”, Ω为样本空间,下列结论判断错误的是(　　) A.C1与C2互斥 B.D1∪D2=Ω,D1∩D2=⌀ C.D3⊆D2 D.C2,C3为对立事件 D 解析:由题意C1与C2不可能同时发生,C1,C2互斥,A正确;D1中点数为1或2,D2中点数为3,4,5或6,因此D1∪D2=Ω,但它们不可能同时发生,因此D1∩D2为不可能事件,B正确;当D3发生时,D2一定发生,但当D2发生时,D3可能不发生,因此D3⊆D2,C正确;C2与C3为互斥事件,不是对立事件,D错误. 3.如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,事件M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为(　　) A.M∪N B.M∩N C. D. D 解析:因为甲、乙两个元件串联,线路没有故障,即甲、乙都没有故障,即事件同时发生,即事件发生. 4.若三个事件A,B,C两两互斥,P(A)=0.3, P()=0.6,P(C)=0.2, 则P(A∪B∪C)等于(　　) A.0.1 B.0.5 C.0.9 D.1 C 解析:由P()=0.6可得P(B)=1-P()=0.4,因为事件A,B,C两两互斥, 故P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9. 5.笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出一只,直到3只兔全部取出,记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=　　　　　. {0,2,4,6,8} 解析:最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0. 6.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,假设此人再射击1次,则中靶的概率约为　　　　　,中10环的概率约为　　　　　. 0.9 0.2 解析:中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为=0.9, 所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9,同理,中10环的概率约为0.2. 7.某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A. B. C. D. A 解析:甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率P=1-故选A. 8.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一个点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)=(　　) A. B. C. D. C 解析:由题意可得事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,即A={1,3,5},B={1,2,3},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 9.(多选)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球,现从盒子里随机取出2个小球,记事件A=“取出的两个球是一个黑球、一个白球”,事件B=“两个球中至多一个黑球”,事件C=“两个球均为白球”,则(　　) A.P(A)= B.P(A+C)= C.P(AB)= D.P(B)=P() AB 解析:记3个白球为E,F,G,2个黑球为a,b,随机取出2个小球的样本点如下, (E,F),(E,G),(E,a),(E,b),(F,G),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),(a,b),事件A包含的样本点有(E,a),(E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),所以P(A)=,故A正确;事件B对应的基本事件有(E,F),(E,G),(E,a),(E,b),(F,G),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),所以P(B)=,事件C对应的基本事件有(E,F),(E,G),(F,G),所以P(C)=,又因为P()=1-P(C)=1-P(B),故D错误;其中A+C包含的样本点有(E,a), (E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),(E,F),(E,G),(F,G),所以P(A+C)=,故B正确;AB包含的样本点有(E,a),(E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),所以P(AB)=,故C错误. 10.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作, 则甲、乙都入选的概率为　　　　　. 　 解析:设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C), (甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10个. 甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个. 由古典概型公式计算,得甲、乙都入选的概率为 ①事件的关系与运算 例1 (1)对空中移动的目标连续射击两次,设A={两次都击中目标},B={两次都没击中目标},C={恰有一次击中目标},D={至少有一次击中目标},下列关系不正确的是(　　) A.A⊆D B.B∩D=⌀ C.A∪C=D D.A∪C=B∪D D 三、能力达标 解析:对于选项A,事件A包含于事件D,故A正确;对于选项B,由于事件B,D不能同时发生,故B∩D=⌀,故B正确;选项C正确;对于选项D,由于A∪C=D={至少有一次击中目标},不是必然事件;而B∪D为必然事件,所以A∪C≠B∪D,故D不正确. (2)从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个随机事件是(　　) A.至少有1个白球,都是白球 B.至少有1个白球,至少有1个红球 C.恰有1个白球,恰有2个白球 D.至少有1个白球,都是红球 C 解析:选项A,当“都是白球”这个事件发生时,事件“至少有1个白球”也发生了,因此不互斥;选项B,当任取2球一红一白时,事件“至少有1个白球”与“至少有1个红球”同时发生,因此不互斥;选项C,“恰有1个白球”,“恰有2个白球”这两个事件不可能同时发生,但当两个球都是红球时,它们都不发生,因此它们互斥且不对立;选项D,“至少有1个白球”与“都是红球”不可能同时发生,但必有一个会发生,因此它们是对立的. 及时练1：抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ai=“向上的点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6,B=“向上的点数为偶数”,则下列说法正确的是(　　) A.⊆B B.A2+B=Ω C.A3与B互斥 D.A4与对立 C 解析:对于选项A,={2,3,4,5,6},B={2,4,6},所以B,故A错误; 对于选项B,A2+B={2}∪{2,4,6}={2,4,6}≠Ω,故B错误; 对于选项C,A3与B不能同时发生,是互斥事件,故C正确; 对于选项D,A4={4},={1,3,5},A4与是互斥但不对立事件,故D错误. 例2. 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. ②.互斥事件与对立事件的概率 解 (1)易知P(A)=,P(B)=,P(C)= (2)1张奖券中奖包含中特等奖或一等奖或二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C. 因为A,B,C两两互斥, 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 故1张奖券的中奖概率为 (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件.所以P(N)=1-P(A∪B)=1-()= 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 及时训2：经统计,在服务场所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求:(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少? 解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C, 所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F, 所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G, 所以P(H)=1-P(G)=0.44. ③.古典概型 例3 (1)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破,孪生素数也称为孪生质数,就是指两个相差2的素数,例如5和7.在大于3且不超过20的素数中,随机选取2个不同的数,恰好是一组孪生素数的概率为(　　) A. B. C. D. D 解析:大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19,共6个,随机选取2个不同的数,分别为(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(11,13), (11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15种选法,其中恰好是一组孪生素数的有(5,7),(11,13),(17,19),共3种,故随机选取2个不同的数,恰好是一组孪生素数的概率为 (2)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为　.  解析:从正方体的8个顶点中任选4个,有=70种选法.4个顶点在同一平面的情况有6个表面和6个对角面,共12种,故所求概率为 及时练3： (1)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　) A. B. C. D. C 解析:从6张卡片中无放回随机抽取2张,所有可能的结果是(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字之积是4的倍数的结果是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)共6种,故所求概率为,故选C. (2)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数, 则点数和为5的概率是　　　　　.  　 解析:抛掷一颗骰子2次,所有样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), …,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,其中点数之和为5的样本点有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个,故所求概率P= ④.概率基本性质的应用 例4 某医院要派医生义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示: 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出医生至多2人的概率; (2)求派出医生至少2人的概率. 解:设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. (方法二)“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74. 及时练4：如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为P==0.44. (2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站; B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5. ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1. 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9. ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2. 任 务 完 成 $