2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务三十一空间直线、平面的垂直课件

这是一份高一数学期末复习课件，共44页，聚焦“空间直线、平面的垂直”主题。内容涵盖主干知识梳理（定义、判定与性质定理、易错警示）、基础检测（多选及证明题）、能力达标（线面垂直、面面垂直判定与性质及综合问题例题与及时练），构建系统复习支架。 资料特色突出，注重数学核心素养培养。通过知识深化（如作平面垂线方法）、规律方法总结（证明线线垂直四步流程）及正方体、折叠等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，用逻辑推理分析垂直关系，提升空间观念与论证能力。适配高一学生思维过渡需求，为教师提供分层教学资源，助力学生巩固基础、突破期末难点。

任务三十一·空间直线、平面的垂直 高一数学期末复习课程 一、主干知识梳理 1.直线与平面垂直 与“所有直线”是同义的,但与“无数条直线”不同 (1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的　　　　,平面α叫做直线l的　　　　.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足. [知识深化] 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条,这点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 垂线 垂面 (2)判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直   “相交”是定理的关键词,应用定理时不能省略   ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线　　 　    ⇒a∥b 平行 a⊥α 2.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　,就说这两个平面互相垂直. 直二面角 (2)判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的　　　　　,那么这两个平面垂直  实际应用:找出一个平面的垂面的依据   ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直    一定不能漏掉 “平面内”“垂直于 交线”这两个条件 ⇒ 　  垂线 b⊥α [知识深化] 1.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可. 2.如果两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线,该直线在第一个平面内. 易错警示：注意不能和两个平面平行的性质混淆.当两个平面垂直时,并非一个平面内的任意直线都和另一个平面垂直. 二、基础检测 1.(多选)若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法中正确的是(　　) A.平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B.平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C.平面α内的任一条直线必垂直于平面β D.过平面α内任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面β BD 解析:对于A选项,如图(1),a⊂α,b⊂β,且a,b与l都不垂直,则a,b不一定垂直,故A错误.对于B选项,如图(2),a⊂α,作b⊥l,则b⊥α,则β内所有与b平行的直线都与a垂直,故B正确.对于C选项,如图(3),a⊂α,但a与l不垂直,则a与β不垂直,故C错误.对于D选项,如图(4),由两平面垂直的性质定理可知D正确. 2.(多选)已知m,n,l是三条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,则下列命题中真命题是(　 　) A.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n B.若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥α C.若m⊥α,l∥β,l∥m,则α⊥β D.若α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ,则l⊥γ ACD 解析:对于A选项,若m⊥α,n⊂α,由线面垂直性质可得m⊥n,即A正确;对于B选项,若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,当m,n平行时,可能l⊂α,所以B错误;对于C选项,若m⊥α,l∥β,l∥m,则在平面β内存在一条直线l'满足l'⊥α,则可得α⊥β,即C正确;对于D选项,如下图所示, 设α∩γ=n,β∩γ=m,在平面γ内取一点P, 过点P作直线PM⊥m,过点P作直线PN⊥n, 由面面垂直的性质定理可得PM⊥平面β,PN⊥平面α; 又α∩β=l,即l⊂α,l⊂β,所以可得PM⊥l,PN⊥l; 又PM∩PN=P,且PM,PN⊂平面γ,可得l⊥γ,则D正确. 3.已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有(　　) A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD B 解析:如图,因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC, 又因为AD⊥圆柱的底面,所以AD⊥BC. 因为AC∩AD=A,AC,AD⊂平面ACD,所以BC⊥平面ACD. 因为BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD. 4.(多选)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中正确的是( 　　) A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EF C.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC ABD 解析:对于A项,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,而BC⊂平面ABC,则PA⊥BC,又由圆的性质,可知AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,则BC⊥平面PAC,所以A正确;对于B项,由A项可知,BC⊥AE,由题意可知, AE⊥PC,且BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC,而EF⊂平面PBC,所以AE⊥EF,所以B项正确;对于C项,若AC⊥PB,因为AC⊥BC, BC∩PB=B,BC,PB⊂平面PBC,所以AC⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,则AC⊥PC,与AC⊥PA矛盾,所以AC⊥PB不成立,所以C错误;对于D项,由B项可知,AE⊥平面PBC,AE⊂平面AEF,由面面垂直的判定定理,可得平面AEF⊥平面PBC,所以D正确. 5.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　 心;  (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的　　　　　心. 外 垂 解析:(1)如图,∵PO⊥平面ABC,连接OA,OB,OC, 在Rt△POA中,OA2=PA2-PO2, 同理OB2=PB2-PO2,OC2=PC2-PO2. 又PA=PB=PC,故OA=OB=OC, ∴O是△ABC的外心. (2)由PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P, 可知PA⊥平面PBC,∴PA⊥BC, 又PO⊥BC,PO∩PA=P,∴BC⊥平面PAO,∴AO⊥BC, 同理BO⊥AC,CO⊥AB.故O是△ABC的垂心. 6.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有以下四个命题: ①若m∥n,n⊂α,则m∥α; ②若m⊂α,m⊥β,则α⊥β; ③若m⊥α,m⊥β,则α∥β; ④若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n, 其中真命题是(　　) A.②③ B.②④ C.①③ D.①② A 解析:若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,命题①为假命题;由面面垂直的判定定理可知,命题②为真命题;垂直于同一条直线的两个平面互相平行,命题③为真命题;若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m,n可能相交,可能平行,也可能异面,不一定互相垂直,命题④为假命题. 7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(　　) A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1 A 解析:连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中点,所以M为AD1中点,又因为N是D1B的中点,所以MN∥AB,MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. 因为AB不垂直BD, 所以MN不垂直BD,则MN不垂直平面BDD1B1, 所以选项B,D不正确; 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AD1⊥A1D,AB⊥平面AA1D1D, 所以AB⊥A1D,AD1∩AB=A,所以A1D⊥平面ABD1,D1B⊂平面ABD1, 所以A1D⊥D1B,且直线A1D,D1B是异面直线,所以选项C错误,选项A正确. ①.线面垂直的判定与性质 例1 (1)在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,CD=2DE=2AD=2AB=4, AC=2,求证:AB⊥平面ADE. 三、能力达标 证明:∵在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形, ∴EF∥CD,CD⊥DE. ∵EF⊄平面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. ∵EF⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面ABCD=AB,∴EF∥AB. 又EF∥CD,∴CD∥AB. ∵CD=4,AD=2,AC=2, ∴AD2+CD2=AC2,∴CD⊥AD. 又CD⊥DE,AD∩DE=D,AD,DE⊂平面ADE,∴CD⊥平面ADE. 又CD∥AB,∴AB⊥平面ADE. (2)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.证明:AE∥MN. 证明:∵AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD, ∴AE⊥AB. 又AB∥CD,∴AE⊥CD. ∵AD=AP,E是PD的中点, ∴AE⊥PD. 又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB,AB∥CD,∴MN⊥CD. 又MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD, ∴MN⊥平面PCD,∴AE∥MN. 及时练1：如图,已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=4,AB=3, AC=5. (1)求点A到平面PBC的距离; (2)求三棱锥P-ABC的表面积. 解 (1)因为AB⊥BC,AB=3,AC=5, 所以BC==4, S△ABC=AB·BC=3×4=6,VP-ABC=S△ABC·PA=6×4=8. 因为PA⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以AB⊥PA,BC⊥PA, 又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 又PB⊂平面PAB,故BC⊥PB,PB==5, S△PBC=PB·BC=5×4=10, 设点A到平面PBC的距离为h, 则VA-PBC=VP-ABC,即S△PBC·h=h=8,可得h= (2)由(1)知,S△ABC=6,S△PBC=10,S△PAB=PA·AB=4×3=6, 因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC, 所以AC⊥PA,所以S△PAC=PA·AC=4×5=10, 所以三棱锥P-ABC的表面积为S=S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC=6+6+10+10=32. ②.面面垂直的判定与性质 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD, PA⊥PD,PA=PD,E为AD的中点.求证: (1)PE⊥BC; (2)平面PAB⊥平面PCD. 证明:(1)因为PA=PD,E为AD中点,所以PE⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD, 所以PE⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD,因此,PE⊥BC. (2)由(1)知,PE⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PE⊥CD. 在矩形ABCD中,AD⊥CD. 又因为AD∩PE=E,AD,PE⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD. 又因为AP⊂平面PAD,所以CD⊥AP. 又因为PA⊥PD,CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,所以PA⊥平面PCD. 因为PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD. 及时练2：例如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°. (1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C; (2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高. (1)证明 ∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴A1C⊥BC. ∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA. ∵A1C∩CA=C,A1C,CA⊂平面ACC1A1, ∴BC⊥平面ACC1A1. ∵BC⊂平面BB1C1C, ∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)解 平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且这两个平面的交线为CC1, 过A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,则A1D⊥平面BB1C1C. ∴四棱锥A1-BB1C1C的高为A1D. ∵BC⊥CA,BC⊥CA1,BA=BA1,BC=BC, ∴Rt△BCA≌Rt△BCA1.∴CA=CA1. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形, 有AC=A1C1,∠ACA1=∠C1A1C=90°,CC1=AA1=2, 则△CA1C1为等腰直角三角形,且底边CC1=2, ∴A1D=CC1=1. 即四棱锥A1-BB1C1C的高为1. ③.平行与垂直的综合问题 例3 如图1,在平行四边形ABCD中,AC⊥BC, AC=BC=1,现将△ADC沿AC折起, 得到三棱锥D'-ABC(如图2), 且平面AD'C⊥平面ABC,E为D'C的中点. (1)求证:AE⊥平面D'BC. (2)在∠ACB的平分线上是否存在点F, 使得D'F∥平面ABE?若存在,求D'F的 长;若不存在,请说明理由. (1)证明:在▱ABCD中,可得AD=BC=AC,则AD'=AC, 因为E为D'C的中点,所以AE⊥D'C. 因为AC⊥BC,平面AD'C⊥平面ABC,平面AD'C∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面AD'C. 因为AE⊂平面AD'C,所以AE⊥BC. 因为BC∩D'C=C,BC,D'C⊂平面D'BC,所以AE⊥平面D'BC. (2)解:取AB的中点O,连接CO并延长至点F,使CO=OF,连接AF,D'F,BF,OE,因为BC=AC, 所以射线CO是∠ACB的平分线. 又因为E是D'C的中点,所以OE∥D'F. 因为OE⊂平面ABE,D'F⊄平面ABE,所以D'F∥平面ABE, 因为AB,FC互相平分,所以四边形ACBF为平行四边形, 所以BC∥AF. 因为BC⊥平面AD'C,AD'⊂平面AD'C,所以AD'⊥BC,所以AF⊥AD', 又因为AF=BC=1,AD'=AD=BC=1,故D'F= 及时练3：如图,已知AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2, CD=4,AD=BC=,AE=2,M为CD的中点. (1)证明:EM∥平面BCF; (2)求点M到ADE的距离. (1)证明 ∵CD∥EF,且M为CD的中点, ∴EF∥CM,且EF=CM,则四边形EMCF为平行四边形, ∴EM∥CF. 又CF⊂平面BCF,EM⊄平面BCF,∴EM∥平面BCF. (2)解 由题得,AB∥CD,且AB=CD=CM, ∴四边形ABCM为平行四边形, AM=BC= 取DM的中点O,连接AO,OE. ∵EM=FC=DM=DE=2,AM=BC=AD=,则AO⊥DM,EO⊥DM, 则AO==3,OE=,∴AE2=AO2+OE2,∴AO⊥OE. 又AO⊥DM,OE,DM⊂平面DME,AO⊄平面DME,∴AO⊥平面DME. 在△ADE中,cos∠AED=, ∴sin∠AED=,则S△ADE=2×2 由VA-DEM=VM-ADE,设点M到平面ADE的距离为dS△DEM·AO=S△ADE·d, 则23=d,解得d= (2)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2, BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO. (1)求证:EF∥平面ADO; (2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积. (1)证明 设=(0<λ<1),则=λ(), 所以=(1-λ)+ 因为O为BC的中点,则,所以 因为AB⊥BC,则=0, 因为AB=2,BC=2,BF⊥AO, 则=[(1-λ)+]·() =-(1-λ)=4λ-4(1-λ)=8λ-4=0,解得λ=,故F为AC的中点. 又因为E为PA的中点,则EF∥PC,又D,O分别为PB,BC的中点, 所以DO∥PC,则EF∥DO, 因为EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,所以EF∥平面ADO. (2)解 连接OF,PF. ∵O,F分别为BC,AC中点,且AB⊥BC, ∴OF⊥BC. 又PB=PC,O为BC中点,∴BC⊥OP. ∵OF∩OP=O,OF,OP⊂平面POF, ∴BC⊥平面POF. 又BC⊂平面ABC, ∴平面ABC⊥平面POF,且交线为OF. 过点P作PM⊥FO交FO延长线于点M, 则PM⊥平面ABC,即PM为三棱锥P-ABC的高. ∵∠POF=120°,∴∠POM=60°. 在Rt△PBO中,PO==2, ∴PM=POsin∠POM=2, ∴V三棱锥P-ABC=S△ABC×PM=2×2 任 务 完 成 $