北京市十一学校2026年6月九年级数学学习诊断

**基本信息** 北京市十一学校2026届初三6月数学诊断卷，以电影票房、光伏效率、农业种植等真实情境为载体，通过基础-能力-创新梯度设计，全面覆盖代数、几何、统计核心知识，适配中考三模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题16分|图形性质、科学计数法、概率等|结合《给阿嬷的情书》票房考查科学计数法，体现文化传承与时代性| |填空题|8题16分|因式分解、统计估计、几何综合等|仓库运输成本优化题考查模型意识，培养复杂问题解决能力| |解答题|12题68分|函数综合、圆的切线、数据分析等|农业种植增长率问题融合数据处理与利润决策，落实数据观念与应用意识|

北京市十一学校2026届初三年级6月数学学习诊断 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共16分，每小题2分，第1—8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2. 电影《给阿嬷的情书》于2026年4月30日上映，讲述潮汕阿嬷与华侨之间的书信故事，截至2026年5月下旬，累计票房约13.5亿，请将13.5亿表示为科学计数法 A. B. C. D. 3. 如图，点、、在同一条直线上，是的平分线，是的平分线，若，则的大小为 A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为 A. B. C. D. 6. 小西和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，爸爸选定的车厢只剩一排有余座（如图），若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小西和爸爸相邻而坐的概率是 A. B. C. D. 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点；③连接，交于点. 若，，则的长为 A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，是函数图像上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图像于点，连接，. 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④可能是直角三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是 A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①③ 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 . 10. 因式分解： . 11. 方程的解为 . 12. 某公司新研发了一个英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了部分样本进行调查，统计数据如下： 调查人数 回复满意的人数 回复满意的频率 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为 （结果精确到）. 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 ， . 14. 如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则的度数是 . 第14题图 第16题图 15. 如图，正方形中，，点为中点，点在延长线上，且，连接并延长，交于点，则 . 16. 现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、吨某原材料，要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要吨原材料，从每个仓库运送吨原材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）： 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的原料， （1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运 吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为 元. 三、解答题（共68分，17～19题每题5分，20题6分，21～22题每题5分，23～24题每题6分，25题5分，26题6分，27～28题每题7分） 17. 计算：. 18. 解不等式组： 19. 已知：，求代数式的值. 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，. ①当时，求的面积； ②当的面积大于时，直接写出的取值范围. 22. 为推动能源转型，某市要求新建光伏站的两种核心组件（型、型光伏板）的综合发电效率需满足以下标准：型光伏板效率不低于，型光伏板效率不低于，两种光伏板效率之和不低于. 某电站原、型光伏板效率之和为. 通过技术优化，型效率提升，型效率提升，优化后效率之和达到. 问：优化后该电站是否符合光伏板效率标准？请说明理由。 23. 某测评机构为了了解与两款热门降噪耳机的用户体验，随机抽取了名耳机测评体验官，分别对与两款耳机的“降噪效果”和“佩戴舒适度”两项指标的评分（满分均为分）进行整理、描述并分析如下： a．降噪效果得分统计： 款耳机得分最低为分，最高为分，其频数分布图为： 款耳机的得分为：6 8 8 9 9 9 9 10 7 7 8 9 9 9 8 10 10 9 8 8 b．佩戴舒适度得分对比情况： 测评机构分析这名耳机体验官的佩戴舒适度得分，将同一个人对两款耳机的佩戴舒适度得分对比，发现款耳机的佩戴舒适度得分高于款耳机的有人，两款耳机得分相同的有人，款耳机得分高于款的有人. c．两项指标得分统计表： 降噪效果得分 佩戴舒适度得分 耳机型号 平均数 中位数 众数 平均数 8.15 8 b 8.8 8.5 a 9 7.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全款耳机得分的频数分布图； （2）表格中 ， ； （3）在本次测评中，如果某位耳机测评体验官对其中一款耳机的“佩戴舒适度”评分高于另一款，则视为体验官对该款耳机“更青睐”. 请据此估计，在1600名耳机用户中，更青睐X款耳机的人数约有 人； （4）在复核Y款耳机的降噪效果得分时，发现一个数据被污损，无法辨认，已知剩余19个分数的中位数与原20个分数的中位数相同，但平均数比原20个分数的平均数大，请推测被污损的分数可能是 （写出所有可能的值）. 24. 如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作的垂线，交，于点，，交于另一点，且. （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长. 25. 某农业种植基地探究不同种类化肥对小白菜幼苗生长期株重增长率的影响，选用生长期株重周增长率H（单位：%）作为观测指标，，其中（单位：g）为初始菜苗鲜重，（单位：g）为培育周后菜苗鲜重，培育时除化肥种类外，温度、光照、水分等实验条件全部一致，记培育周时，不施加化肥的菜苗株重增长率为，施用化肥A的菜苗株重增长率为，施用化肥B的菜苗株重增长率为. 假设第0周时所有初始菜苗鲜重均为20g，该基地记录的前14周的部分数据如下： /周 0 1 2 5 6 8 10 12 14 /% 0 18 22 30 32 36 39 41 43 /% 0 29 34 44 46 49 51 53 54 /% 0 31 38 49 52 58 a 62 62 （1）实验测得施用花费B的菜苗培育10周时质量为32g，则a= ； （2）在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，，请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； （3）根据以上信息，回答下列问题： ①若该基地同时从第0周开始培育未施用化肥的菜苗与施用化肥B的菜苗，在前14周内菜苗株重增长率的差持续超过20%的周数为 （结果保留整数）； ②该种植基地有若干批初始菜苗要培育并进行售卖，当菜苗株重超过30g时可以在当周进行售卖，且一次性卖完一批. 每一批菜苗售出价格为2000元.培育时每一批菜苗只能施加一种化肥、施加化肥A成本为300元.，施加化肥B成本为800元，均一次付清，后续各周不再产生化肥费用. 售卖前每周会产生100元的种植成本（含售卖当周），每一批菜当周售卖后可在下一周种植新一批的初始菜苗. 若该种植基地想在22周内获得最大利润，则最大利润为 元. （利润=售出价格-化肥成本-种植成本） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和. （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，无论为何值，抛物线恒过，过作轴的垂线交抛物线于，两点（在的左侧），交抛物线于，两点（在的左侧），则的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 27. 如图，在中，，，在三角形内部存在点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，，. 过点作，交延长线于点，与的交点记作. （1）求证：； （2）若，用等式表示线段与的数量关系，并证明你的结论. 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于两点和，其中点在上，给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为，则称点是点的“关联点”. （1）如图1，点. B3 B2 B1 ①在点，，中，点 是点的“关联点”，其中 ； ②若点是点的“关联点”，则点的横坐标的最大值为 . （2）直线与轴，轴分别交于点，. 对于线段上任意一点，都存在上的点，使得点是点的“关联点”，直接写出的取值范围. 数学试卷 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $北京市十一学校2026届初三年级6月数学学习诊断（三模) 试卷满分：100分 考试时间：120分钟 一、选择题 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 O (A) (B) (C) (D) 答案：C 解析：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、长方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意】 故选C 2.电影《给阿嬷的情书》于2026年4月30日上映，讲述潮汕阿嬷与华侨之间的书信故事.截至2026年5月下旬，累计 票房约13.5亿.将13.5亿用科学记数法表示为 (A)1.35×108 (B)1.35×1010 (C)13.5×108 (D)1.35×109 答案：D 解析：13.5亿=1350000000=1.35×102.故选D. 3.如图，点A,O,B在同一条直线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线.若∠AOE=162°，则∠BOD 的大小为 D Q E A 0 (A)144° (B)118° (C)108° (D)110° 答案：C 解析：：∠AOE=162°，∠BOE=∠AOB-∠AOE=18° OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,∴∠D0E=号∠AOC+号∠B0C=90°， .∠BOD=∠D0E+∠BOE=90°+18°=108°.故选C. 第1页 4.已知a+b<0,则下列不等式可能成立的是 (A)-b<-a<a<b (B)a<-b<b<-a (C)a<-b<-a<b (D)-b<a<b<-a 答案：B 解析：：a+b<0,∴a<-b,b<-a. A、其中含-a<b即a>-b,排除； B、取a=-3,b=1,则a+b=-2<0,此时a<-b<b<-a(即-3<-1<1<3)成立，符合题意； C、其中含-a<b即a>-b,排除； D、其中含-b<a即a>-b,排除. 故选B. 5.若关于x的一元二次方程x2-4x-c=0有两个不等的实数根，则实数c的值可以为 (A)-16 (B)-8 (C)-6 (D)-2 答案：D 解析：：关于x的一元二次方程x2-4x-c=0有两个不等的实数根，∴△=(-4)2-4×1×(-c)>0,解得c>-4. 观察四个选项，只有-2>-4，故选D 6.小西和爸爸计划乘动车外出旅游、在网上购票时，爸爸选定的车厢只剩一排有余座（如图）.若此时C座已售出，其余 座位由系统随机分配，则小西和爸爸相邻而坐的概率是 动车二等座某排座位 窗 A®© 道回日 户 (A)3 (B)子 (D)号 答案：A 解析：已知C座已售出，剩余的空座位有A、B、D、F共4个，从中随机分配2个座位 所有的可能结果有：A和B、A和D、A和F、B和D、B和F、D和F,共6种情况，且每种情况出现的可能性相 等.其中，两人相邻而坐的结果有A和B、D和卫，共2种情况。·小西和爸爸相邻而坐的概率是着-3故选A, 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC,AB于点M,N; ②分别以点M,N为圆心，以大于号MN的长为半径作弧，两弧相交于点O; ③连接AO,交BC于点E. 若CE=3,BE=5,则AC的长为 M B (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 答案：G 解析：由作图步骤可知，AE是∠BAC的平分线.作ED⊥AB于点D,则ED=CE=3. 在Rt△BDE中，：BE=5,ED=3,BD=4,·tanB=是 在Rt△ACB中，：mB=瓷，AC=6.故选C. 第2页“ 8.如图，在平面直角坐标系xOu中，A是函数g=(c>0)图象上的动点，点B在x轴上，OA=AB,以OA,OB为 边的平行四边形AOBC的边BC交该函数的图象于点D,连接AD,OD. 给出下面四个结论： ①四边形AOBC可能是菱形； ②△AOD的面积始终等于4； ③点D可能是BC的中点； ④△AOD可能是直角三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是 (A)①②③ (B)①②④ (C)①② (D)①③ 答案：B 解析：设A(a,)(a>0.OA=AB,且B在x轴上，B(2a,0).:四边形A0BC是平行四边形，∴C点可以 由A点向右平移2a得到，即C(30,) 对于①，先取∠BOA=60°得到点A,再取OB=OA得到点B,再作BC与OA平行且相等，得到点C,此时AOBC 为菱形，故①正确； 对于②，过点D作x轴的平行线，交OA于点E,则S△ODB=SA0DE,S△ADB=S△ADC,所以S△AOD=SAOBC=4, 故②正确； 对于③，BC的中点横坐标为婴，纵坐标为名，不在y=生上，故®错误； 对于④，图中∠OAD<90°，将点A向下移动较远距离，得到点A',作出相应的B',D,由图知∠OA'D'>90°，所 以一定存在∠OAD=90°，故④正确. 综上所述，正确的结论是①②④.故选B. 二、填空题 9.若√I一正在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是飞≤1. 解析：由题意得，1一x≥0，解得x≤1. 10.因式分解：m3-m=m(m-1)(m+1: 解析：m3-m=m(m2-1)=m(m-1)(m+1). 1.方程异6+是=0的解为-2。 解析：去分母得，2c+x+6=0,解得x=一2，经检验，x=-2是原方程的解。 第3页 12.某公司新研发了一个英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了部分样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m10250700100050001000020000 回复满意的人数n8218 621898 45108990 18020 回复满意的频率是0.8000.8720.870.8980.9020.899 0.901 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为0.9（结果精确到0.1）。 解析：观察表格可知，当调查人数逐渐增多时，回复满意的频率稳定在0.900左右，因此估计平台用户回复满意的概率 为0.9 13.能说明命题“若l>l,则a>b”是假命题的一组实数a,b的值为a=-2,b=1.(答案不唯一) 解析：取a=-2,b=1,满足|-2>1叫，但-2<1，故能说明该命题是假命题.（答案不唯一，满足a<0且a+bl<0 即可) 14.如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0c刻度线与量角器的0°刻度线 在同一直线上，直径DC是直角边BC的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则∠EAC的度数是 60°. B 解析：连接OA,则OC=号DC=BC.·∠ACB=90°，∴OA=AB,△OAB是等边三角形，∴.LOAC=30° :AC,AE是圆O的切线，.AO平分∠EAC..∠EAC=2∠OA(G=60° 15.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E为CD中点，点F在AD延长线上，且DF=CE,连接BE并延长，交CF 于点G,则EG=5. D E 解析：延长BE交AD的延长线于点H.在正方形ABCD中，AD∥BC,∴FH∥BC, :点E为CD中点，∴CE=DE=3.又∠BCE=∠HDE=90°，∠BEC=∠HED,∴△BCE≌△HDE(ASA), ∴.HD=BC=6,HE=BE」 在Rt△BCE中，BE=VBC2+CE=V36+9=3V5,∴.HE=3V5,HB=HE+BE=6V5. .DF=CE=3,:.FH=HD-DF=6-3=3. :FH∥BC,△FGHn△CGB,“器=8器=鲁=克，∴HG=号HB=专×6V5=26. ∴.EG=HE-HG=3√5-25=V5. 第4页 16.现有三个仓库A1、A2、A3,分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3,每 个加工厂都需要10吨原材料，从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）： 加工厂 仓库 B1 B2 Bs A1(存量7吨) 126 A2(存量12吨) 042 A3(存量11吨) 315 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料. (1)如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2,从A1运7吨到B2,那么从A2需要运2吨到B2; (2)考虑各种方案，运费最低为40元. 解析：(1)加工厂B2共需要10吨，已经从A3运了1吨，从A1运了7吨，.还需要从A2运10-1一7=2吨. (2)为了使总运费最低，应比较各仓库运往同一工厂的成本差异，优先考虑成本差异最大的工厂，安排成本最低的仓库 供货. 因为三个仓库运到B3的成本差异最大，先考虑B3,应该让A2运送10吨原材料到B3,产生运费10×2=20元；此 时A2还剩2吨. A2剩余的2吨运往B?成本为0元/吨，运费0元； B1还需8吨，由A1运送全部7吨，运费7元；B尚缺1吨，由A3补足，运费3元. 最后，A3剩余10吨全部运往B2,成本为1元/吨，运费10×1=10元，恰好满足B2需求。 总运费为：20+0+7+3+10=40元.可以验证此方案为最低运费方案. 三、解答题 1.计算：（←-》2-a7-3am30心°+1V3-2 答案：3-2V5 解折：原式=4-3-3×号+2-V网 =4-3-3+2-V3 =3-2V5, 3(x-2)<4-2x 18.解不等式组： 3c+1>x 2 答案：-1<x<2 解析：解不等式3(x-2)<4-2x,得x<2. 解不等式3证+1>，得>-1， 所以，原不等式组的解集为-1<x<2。 10.已知a-b-2=0,求代数式(a十2%+a2)(a-bP的值， 答案：1 解折：原式=(2a+可+a-品a+可)a-2=z-就钟而a-P =20a-a+可a-bp=. a+b a-b-2=0,即a-b=2,·原式=号=1 第5页 20.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC. (1)求证：四边形AFCD为平行四边形； (2)若CELBD,cs∠FEB=,BP=3,求BC的长 D 答案： (1)见解析； (2)3V13. 解析： (1)证明：AE=EB,DF=FB, ∴EF是△ABD的中位线， .EF∥AD,即CE∥AD .AF∥DC、 ∴四边形AFCD为平行四边形， (②在R△BFB中，s∠PEB=器=罗，∴EB=3m. 根据勾股定理，FB=VEB2-EF2=V90-9=9. :EF是△ABD的中位线， ∴.AD=2EF=6 ·四边形AFCD是平行四边形， ..FC=AD=6. 在Rt△CFB中，根据勾股定理， BC=VFC2+FB2=V62+92=3V13 第6页 21.在平面直角坐标系xOy中，函数y=k+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点A(2.1). (1)求k,b的值； (2)过点P(O,n)作y轴的垂线，分别交函数y=kxc+b与y=-kc+3的图象于点M,N, ①当n=3时，求△AMN的面积； ②当△AMN的面积大于1时，直接写出n的取值范围. 答案： (1)k=1,b=-1; (2)①4； ②n>2或n<0. 解析： (1)·点A(2,1)在函数y=-kx+3的图象上， 1=-2k+3,解得k=1. ·点A(2,1)在函数I=kc+b的图象上， 1=2×1+b,解得b=-1. (2)由(1)可知两个函数的解析式分别为y=x一1和y=-x+3. y=n与y=x-1,=-x+3分别交于点M,N,∴.M(n+1,n),N(3-n,n) .MNl(n+1)-(3-nl=2n-1. 点A(2,1)到直线y=n的距离为n-1‖，S△AMN=专×2n-1×n-1刂=(n-1)2 ①当n=3时，S△AMN=(3-1)2=4. ②当S△AMN>1时，即(n-1)2>1,解得n>2或n<0. 所以n的取值范围是n>2或n<0, 22.为推动能源转型，某市要求新建光伏电站的两种核心组件(A型、B型光伏板)的综合发电效率需满足以下标准：A型 光伏板效率不低于20%，B型光伏板效率不低于18%；两种光伏板效率之和不低于40%.某电站原A、B型光伏板效率 之和为36%.通过技术优化，A型效率提升25%，B型效率提升20%，优化后效率之和达到44%.问：优化后该电站 是否符合光伏板效率标准？请说明理由· 答案：符合，理由见解析 解析：符合，理由如下： 设技术优化前，A型光伏板效率为x,B型光伏板效率为y. x+y=36% 由题意得： (1+25%)x+(1+20%)y=44% 即 x+y=0.36 1.25x+1.2y=0.44 了x=16% 解得： y=20% 所以，技术优化后： A型光伏板效率为(1+25%)×16%=20%，满足不低于20%的标准； B型光伏板效率为(1+20%)×20%=24%，满足木低于18%的标准； 优化后效率之和为20%+24%=44%，满足不低于40%的标准. 综上所述，优化后该电站符合光伏板效率标准. 第7页 23.某测评机构为了了解X与Y两款热门降噪耳机的用户体验，随机抽取了20名耳机测评体验官，分别对X与Y两款 耳机的“降噪效果”和“佩戴舒适度”两项指标进行评分（满分均为10分），并进行了整理、描述和分析如下： a.降噪效果得分统计：X款耳机得分最低为7分，最高为10分，其频数分布图如下： 人数A 9 8 7 6 5 4 3 2 0 1 8 10分数 Y款耳机的得分为：688999.91077 89.9981010988 b.佩戴舒适度得分对比情况：测评机构分析这20名耳机测评体验官的佩戴舒适度得分，将同一个人对两款耳机的佩戴 舒适度得分对比，发现X款耳机的佩戴舒适度得分高于Y款耳机的有14人，两款耳机得分相同的有2人，Y款耳机 得分高于X款的有4人. c.两项指标得分统计表： 降噪效果得分 佩戴舒适度得分 耳机型号 平均数中位数众数 平均数 X 8.15 8 b 8.8 8.5 9 7.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全X款耳机得分的频数分布图； (2)表格中a=9,b=8; (3)在本次测评中，如果某位耳机测评体验官对其中一款耳机的“佩戴舒适度”评分高于另一款，则视为体验官对该款 耳机“更青睐”.请据此估计，在1600名耳机用户中，更青睐X款耳机的人数约有1120人； (4)在复核Y款耳机的降噪效果得分时，发现一个数据被污损，无法辨认.已知剩余19个分数的中位数与原20个分 数的中位数相同，但平均数比原20个分数的平均数大。请推测被污损的分数可能是6,7,8（写出所有可能的值）. 答案： (1)见图(9分对应的频数为4)； (2)a=9,b=8; (3)1120; (4)6,7,8. 解析： (1)补全频数分布图：根据样本总量为20，已知的频数有7分(5人)、8分(9人)、10分(2人)，所以9分的频数为 20-5-9-2=4人.在图中对应9分的位置画出高度为4的条形即可. (2)Y款耳机的降噪得分从小到大排列为：6,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10.第10和第11个数均为9， 所以中位数α=9.X款耳机的降噪得分中，出现次数最多的是8(9次)，所以众数b=8. (3)更青睐X款耳机的人数为1600×芳-1120人. (4)设被污损的分数为x.根据题意，原20个分数的平均数为8.5，其和为170.剩余19个分数的平均数比原平均数 大，即170。>8.5→c<8.5.又因为原20个分数的中位数为9，且去掉x后，剩余19个分数的中位数仍为9， 19 根据数据分布，当去掉一个小于或等于8的数时，第10个数仍为9（中位数不变）.所以x≤8且x为原数据中的 某值，可能的值有6,7.8： 第8页 24.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D,连接OD,过点A作OD的垂线，交OD、BC于点G、E, 交⊙O于另一点F,且CD=DE. (1)求证：AC为⊙0的切线； (2若器=是，0G=岁，求AC的张. D B 答案： (1)见解析； (2)43. 解析： (1)证明：：AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC. 'CD=DE,AC=AE,由“三线合一”得∠CAD=∠EAD. ,AE⊥OD于G,∠EAD+∠ADG=90°. OA=OD,.∠OAD=∠ADG. ∴∠CAD+∠OAD=∠EAD+∠ADG=90°，即∠OAC=90 ,OA是⊙O的半径， ∴AC为⊙O的切线 (2):CA为切线，.ACLAB,:ADL BC,所以△CAD∽△ABD,六号=器，即AD2=CD-BD, 设BE=2k(k>0,:器=号，∴DB=3站，进面BD=BE+DB=5k: .AD2=3k.5k=15%2. 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2=15k2+(5k)2=40k2. 设⊙0的半径为r,则AB=2r,∴(2r)2=40k2,得r=V10k OA=OD=T,∴∠ODA=∠OAD. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ADG=∠ADO=90°-∠ODB. :OD=OB,∴∠ODB=∠ABD,∴.在Rt△ADG中，∠DAG=90°-∠ADG=∠ABD AG=AD∠DAG=ADcs∠ABD=AD.g2=VI5k2=5Yk. 2v10k 4 在Rt△0AG中，0A2=AG2+0G,即2=AC2+(岁) 102-(y5)'+系，解得k=V2. 4 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，.AC2=AD2+CD2=15k2+(3)2=24k2=24×2=48. “.AC=V48=45. 第9页 25.某农业种植基地探究不同种类化肥对小白菜幼苗生长期株重增长率的影响，选用生长期株重周增长率H(单位：%)作 为观测指标，日=密×10%，其中从，（单位：6）为初始案苗鲜重，M(单位：8)为培育1周后案苗鲜重。培 育时除化肥种类外，温度、光照、水分等实验条件全部一致.记培育t周时，不施加化肥的菜苗株重增长率为H。,施用 化肥A的菜苗株重增长率为H1，施用化肥B的菜苗株重增长率为H2.假设第0周时所有初始菜苗鲜重均为20g,该 基地记录的前14周的部分数据如下： /周012568101214 H/%01822303236394143 H1/%02934444649515354 H2/%03138495258a6262 (1)实验测得施用化肥B的菜苗培育10周时质量为32g,则a=G0; (2)在平面直角坐标系xO,中，描出了各数对（化，Ho),(化，H1)所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线 C,C.请补全数对（化，H2)所对应的点、并画出对应曲线C2; H/% 70 -60 50 --- 0% 40 % 20 10 1 23456789-10111213141516t/周 (3)根据以上信息，回答下列问题： ①若该基地同时从第0周开始培育未施用化肥的荣苗与施用化肥B的菜苗，在前14周内菜苗株重增长率的差持 续超过20%的周数为7（结果保留整数）； ②该种植基地有若干批初始菜苗要培育并进行售卖.当菜苗株重超过30g时可以在当周进行售卖，且一次性卖完 批.每一批菜苗售出价格为2000元、培育时每一批菜苗只能施加一种化肥，施加化肥A成本为300元，施加 化肥B成本为800元，均一次付清，后续各周不再产生化肥费用.售卖前每周会产生100元的种植成本（含售 卖当周)，每一批菜苗当周售卖后可在下一周种植新一批的初始菜苗，若该种植基地想在22周内获得最大利润， 则最大利润为1900元.（利润=售出价格-化肥成本一种植成本） 答案： (1)a=60; (2)见图中的曲线C2; (3)①7； ②1900. 解析： (1)当t=10时，鲜重M10=32g,根据周增长率计算公式得：Q=2-20×100=60. 20 第10页 (2)见图. (0,0),(1,31),(2,38),(5,49),(6,52),(8,58),(10,60),(12,62),(14,62) H/% 70 60 C2. 50 --- ；------- 十，不9 Co o 30 20 10 --r-4 12345678910111213141516t/周 (3)①根据表格数据，当t=6时，增长率之差为52%-32%=20%.由函数图像，当t=13时，差值约为21%.所以 增长率差值持续超过20%的周数为13-6=7周. ②菜苗株重超过30g时，需增长率H>30,20×100%=50%. 若施用化肥A,由于第10周的增长率为51%>50%，故最快需10周可售卖，单批利润为2000一300一100×10= 700元； 若施用化肥B,由于第6周的增长率为52%>50%，故最快需6周可售卖，单批利润为2000一800一100×6=600 元 在22周内，可通过以下方案获得最大利润： 培育1批A(用时10周)和2批B(用时12周)，总用时10+12=22周，总利润为700×1+600×2=1900 元 第11页 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G:y=一x2+bc+c经过点(0，p)和(m,)(p≠0). (1)求抛物线G的顶点坐标（用含p的式子表示）； (2)将抛物线G向上平移3个单位，再向右平移n(n>0)个单位得到抛物线G.无论p为何值，抛物线G恒过 号，0).过(0，m)作y轴的垂线交抛物线G于A,B两点(A在B的左侧)，交抛物线G于C,D两点(C在D 的左侧)，则AC+BD的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 答案： ((3置+p: (2)存在最小值2v2. 解析： (1)·抛物线G经过点(0，p),.c=p. :经过点，p)且P≠0，·对称轴为x=号=多，所以b=p. ∴抛物线G的解析式为y=-x2+px+p 其顶点的横坐标为x。=多=号， 顶点的纵坐标为=一（侣）+p×号+p=苦+n. p2 故顶点坐标为(（侵，号+p) (2)将抛物线G向上平移3个单位，再向右平移n个单位得到G :G过点（号，0），而G上的点(3,0)由G上的点（号-n-3)平移得到， 点（侵-n-3)在Gy=-2+m+n上，代入得：-3=-（侵-n)°+n(侵-n）+p, 整理得2=号+p+3.“n>0,∴n=√厚+p+3. 直线y=m与G交于A,B,与G交于C,D. ”A,B关于G的对称轴x=号对称，CA+B=2×号=D. :C,D关于G的对称轴x=号+n对称，∴xc+n=2(侵+m)=p+2m. :A,C分别在B,D左侧，且G在G右侧，∴AC+BD=(cc-xA)+(cD-xB)=(xc+xD)-(rA+xB) /p2, =(p+2m-p=2m=2√作+p+3. :号+p+3=扣+2P+2>2, ∴当p=一2时取得最小值2，此时AC+BD取得最小值2V2. 第12页 27.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,在三角形内部存在点D,满足∠ADC=90°，将线段AD绕点A顺时 针旋转a,得到线段AE,连接BD、BE、CE和DE.过点C作CF∥BD,交ED延长线于点F,CE与AD的交 点记作H. (1)求证：∠BED=∠CDF: (2)若BD⊥BE,用等式表示线段DH与CF的数量关系，并证明你的结论. H D R 答案： (1)见解析； (2)CF=2DH(或DH=号CF): 解析： (1)证明： 由题意，AD=AE,∠DAE=Q.又因为AB=AC,∠BAC=Q,所以∠BAE=∠CAD. 在△AEB与△ADC中， AE=AD, AB=AC. ∠BAE=∠CAD, 所以△AEB≌△ADC(SAS).故BE=CD,∠AEB=∠ADC=90°. 又因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED. 因为∠ADE+∠CDF=∠AED+∠BED=90°，所以∠BED=∠CDF. (2)数量关系为CF=2DH,证明如下： 由(I)知BE=CD,∠AEB=∠ADC=90° AD=AE,∠DAE=a, ∠ADE=∠AED=90°-号. ∴.LBED=LAEB-LAED=90°-(90°-号)=号. :BD⊥BE,LBDE=90°-∠BED=90°2号=∠ADE. 过点E作EG⊥AD于点G. ·EB⊥BD,EG⊥AD,且ED平分∠BDA, ∴EG=EB,DG=BD. BE=CD,∴EG=CD 第13页 :∠CDG=∠EGD=90°，∴.EG∥CD. .四边形EGCD是平行四边形∴H是GD的中点，即DG=2DH, 作HM∥CF交EF于M,:H为CE中点，.M为EF中点，，2HM=CF. .∠AEB+∠EBD=180°，.AE∥BD. 又：HM∥CF,CF∥BD,,HM∥AE. “鹘-品-1，HM=HD,CF=2DH.证毕. 第14页 28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于两点A和B,其中点A在⊙0上，给出如下 定义：若线段AB的垂直平分线与⊙O柑文，且两交点之间的距离为d山，则称点B是点A的“d 关联点” (1)如图1、点A(-1.0). ①在点B(-1.2).B(0.3).B(1,2)中，点 是点A的“d关联点"， 其中d= ②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的及大值为 By 图1 (2)直线y=-x+>)与x轴，y轴分别交于点从，N.对于线段MN上任意一点P ,都存在⊙O上的点Q,使得点P是点Q的“1关联点”，直接写出1的取值范 围 【考点】圆的综合题， 【分析】(4)作出AB14B2,AB的垂直平分线，进而得出结果： (2)作半径OB,以OB为边作等边△BOE,则BE=OB=1,作AC⊥BE,且BE平分AC,作OD⊥BE 于D,则OD=号0B=号以0为圆心，0D为半径作圆，则小圆O的切线截大圆的弦长是1，当BE ⊥x轴时，点C横坐标最大，进一步得出结果： (2)作⊙O的一条弦AB=1,作OC⊥AB于C,以O为圆心，OC为半径作圆，则该圆的切线截取大 圆0的弦长是，则0C=VDA-AC=√12-（吃2=、1-2，作⊙0关于这弦长是1的对称的圆， 当MN在这些圆形成的圆环内时，满足条件，不妨作弦EF=1,且EF⊥x轴，作⊙O关EF的对称圆O', 则O0'=20C=21-2,当点M在⊙0'上时，列出方程求得结果：当N于⊙0相切时，切点 与大⊙O上点点连线的垂直平分线截取的弦是直径，长是2，此时仁√瓦，不符合题意，进而得出结果 【解答】解：(1)①如图1， y个 B2 B B3 A 图1 AB1的垂直平分线与⊙0相切，AB2的垂直平分线与⊙O相离，AB3的垂直平分线交⊙O于CD, CD=√2OA=V2, 故答案为：B3,V2: ②如图2， y本 B D 图2 作半径OB,以OB为边作等边△BOE,则BE=OB=1,作AC⊥BE,且BE平分AC, 作OD1BE于D,则OD=号OB=号以0为圆心，0D为半径作圆，则小圆0的切线截大圆的弦长 是1， 当BE⊥x轴时，点C横坐标最大， 此时xc=V3+1, 故答案为：V3+1: (2)如图3， y N E A B 2 图3 由题意得OM=ON=t, 作⊙O的一条弦AB=1,作OC⊥AB于C,以O为圆心，OC为半径作圆，则该圆的切线截取大圆O的 弦长是， 则0c=04-4C=12-(=1-2, 作⊙O关于这弦长是1的对称的圆，当MN在这些圆形成的圆环内时，满足条件， 不妨作弦EF=1,且EF⊥x轴，作⊙0关EF的对称圆0'，则00'=20C=21-2, 当点M在⊙O'上时， 1+21-2=6 h=⑦+ 2 ,=7+1(含去， 2 当MN于⊙O相切时，切点与大⊙O上点点连线的垂直平分线截取的弦是直径，长是2，此时=√2， 不符合题意， 综上所述：V2<t≤7+1 2