辽宁省大连市2025-2026学年高二下学期数学期末考试模拟（六）

**基本信息** 大连市高二下学期数学期末模拟卷，以真实情境与梯度设计为特色，覆盖函数、数列、概率统计等核心知识，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、数列、函数性质、概率基础|基础辨析与概念理解结合，如第2题充分必要条件判断| |填空题|3/15|数列递推、条件概率、导数几何意义|知识综合应用，如第14题切线与基本不等式结合| |解答题|5/77|导数应用、统计分析、数列求和、概率期望|分层递进设计，如16题结合电动汽车销售数据考查相关性与独立性检验，18题通过多选题得分规则分析期望，体现数据意识与应用能力|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（六） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（  ） A． B． C．12 D．18 4．已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（     ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 5．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（     ） A． B． C． D． 8．已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 10．某次多省联考中，所有学生数学考试成绩服从正态分布，且有．现按16％，34％，34％，16%的比例将成绩由高到低划分为A，B，C，D四个等级，下列说法正确的有（   ） A．所有学生成绩的标准差为100 B．若某考生成绩为105分，则其等级为B C． D．随机抽取名考生，得A等级的人数记为，则 11．已知函数存在两个极值点，则（     ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 13．一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 14．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 16．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为. (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ ①参考数据：； ②参考公式：（ⅰ）线性回归方程：，其中，. （ⅱ）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强. （ⅲ），其中. 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 18．数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． (1)现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； (2)有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 19．设函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（六）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D C A C A ACD BD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】解不等式，得，则，而， 所以. 2．B 【详解】必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则， 令，可得，故必要性成立； 充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列， 例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立， 因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件. 3．C 【分析】由等差数列与等比数列的性质求解即可. 【详解】因为，，成等比数列，所以， 因为是公差不为零的等差数列，所以， 因为，解得或，因为， 所以，所以， 当时，可得. 4．D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 5．C 【分析】先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断. 【详解】函数， 因为是减函数，是增函数，所以是减函数， 又因为，所以，故，即. 6．A 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． 7．C 【分析】计算每天既戴帽子又戴墨镜的概率和只戴墨镜不戴帽子的概率，服从二项分布，使用二项分布概率公式求解. 【详解】设事件表示戴帽子和戴墨镜，则，， 因为帽子和墨镜每天至少戴一件即，所以， 单日只戴墨镜不戴帽子的概率为， 表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，， . 8．A 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 9．ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 10．BD 【分析】利用正态分布和二项分布的数学期望和方差的公式即可求解. 【详解】由学生数学考试成绩服从正态分布，所以学生成绩的标准差为，故A错误； 又， ， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，所以等级对应“”， 所以等级对应“”，由，所以等级对应“”， 所以考生成绩为105分，则其等级为，故B正确； 又由，， 所以，故C错误； 由，所以， 所以，故D正确. 11．ACD 【分析】分析可知有两个不相等的正根，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项判断即可． 【详解】函数的定义域为， ， 由函数存在两个极值点， 得有两个不相等的正根， 所以，解得， 即的取值范围为，A正确，B错误； 所以，，C正确，D正确； 12．/ 【分析】采用赋值法可证得数列为等比数列，从而求得或，结合等比数列通项公式或等比数列性质可求得结果. 【详解】方法一：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，， . 方法二：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 取，则，又，； . 13． 【分析】先计算出样本空间数，然后计算出至少有一个型血孩子的概率，再计算出两个孩子为型血的概率，最后使用条件概率得出结果. 【详解】由题意可得总样本空间为种， 令E事件为至少一个型血孩子， F事件为两个孩子都为型血，则F事件只有1种，故 E事件有，共7种情况，故 因此. 14． 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得； （2）参变分离，构造新函数，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得. 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 16．(1)，电动汽车销量与年份线性相关较强 (2)能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关 【详解】（1）由与的线性回归方程为，得， 因此相关系数 ， 所以与线性相关较强 （2）零假设：购买电动汽车与车主性别无关， ， 所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关. 17．(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 18．(1) （i）； （ii） (2)选方案一 【分析】（1）（i）得到了6分，因此标准答案必须为两项，求其概率；（ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，则，根据条件概率列方程进行求解； （2）根据条件，分别求出两种情况的分布列，进而求出期望，再根据期望的值进行讨论，从而得到结论. 【详解】（1）（i）由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项， 记事件为该题他得到6分，则， 那么该题他得到6分的概率为； （ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数， 因为正确选项为两项的概率为，正确选项为四项的概率为0，所以正确选项为三项的概率为， 则，， ，， 令，解得； （2）记为小李该多选题的得分，执行方案一得分的可能取值为0、4、6， ， ，， 方案一的得分的分布列为 0 4 6 所以. 执行方案二得分的可能取值为0、6， ， ， 方案二的得分的分布列为 0 6 所以. 所以，成立， 故选方案一. 19．(1)在上单调递减，在上单调递增. (2). (3).证明如下： 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，则解得； 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，解得； 设，其中，令，， 则，， ， ， 因为，所以，，，， 令，其中， 则， ，当时，，所以在上单调递减， ，所以在上单调递增， 当时，，，所以，则， 所以在上单调递减， 因为，所以，所以， 则，所以，即. 【分析】（1）函数的定义域，求导得，由的正负求函数得单调区间. （2）对不等式化简变形，构造，利用导数的正负判断函数的单调性，求出最小值，进一步确定参数的取值范围. （3）根据题意构造参数，，再进一步构造函数： .利用导数的单调性判断和的大小，进一步判断与的大小关系. 【详解】（1）因为的定义域为，， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得，即， 令，，则恒成立，即， ， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， ， 则,得，解得，故的取值范围为. （3）略. 【点睛】方法归纳： 1.恒成立问题：构造函数，导数求最值，转化最值不等式求解参数. 2.零点乘积比较：构造比值型辅助函数，利用单调性比较根的乘积大小. 易错归纳： 1.忽视对数函数的定义域；对求导易算错. 2.恒成立混淆“最小值>常数”与“最大值>常数”. 3.构造辅助函数，求导符号判断失误，导致乘积结论出错. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $