浙江杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

2025学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将自己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上． 3．回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题区内．答案写在试题卷上一律无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．以，为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知是函数的极小值点，则（ ）__________ A． B． C． D． 7．设，是函数的两个不同的零点．若，则（ ） A． B． C． D． 8．从如图所示的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知事件，的对立事件分别记为，，若，，，则（ ） A．事件与互斥 B． C． D． 10．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 11．在区块链中，常用椭圆曲线进行加密．已知椭圆曲线，则（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线与轴有两个交点 C．曲线上点到轴的最小距离不小于 D．曲线上点到原点的最小距离为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．《莱茵德纸草书》记载：把30个面包分给5个人，使得每人所得面包个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的4倍，则最小的一份为__________． 13．如图，在圆锥中，，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为．若，则__________． 14．已知空间向量，，满足，，，，则，，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知空间向量，，设函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）证明：； （2）若， （i）设，点到直线的距离为3，求的值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分） 已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． （1）若点是上的动点，求的最小值； （2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 18．（17分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：曲线是轴对称图形； （3）若，恒成立，求的最大值和的最小值． 19．（17分） 口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分． （1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为， （i）求； （ii）求； （2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学学科参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1 2 3 4 6 7 8 B A D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.BD 10.ABC 11.ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 1 12.213.4 14.2V5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. )2 15.(1)因为 4 所以f()的最小正周期为2； ，7分 2》当04威， 4 所以 13分 16.(1)因为PD+CD2=PC2,所以PD⊥CD, 又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,PDC平面PCD, 所以PD⊥平面ABCD 所以PD⊥BC.5分 D (2)因为AC=PC,所以AD⊥CD,如图建系直角坐标系. 所以D(0,0,0),A(0,20),B(22,0),C(4,0,0).P(0,0,2) ①因为CB=(-2,20）,C0=(4,02)】 则直线BC的一个单位方向向量为 点Q到直线BC的距离“ 回-(0-d-3,能2=2. 10分 (i)已知平面PAD的一个法向量为m=(L,0,0), 设平面PCD的一个法向量为元=(x,少2)】 i.CP=0, 由iCB=0,取i=(,12) 所以osm训=6 15分 17)段P以则坊1+ 4 所以 网=-6 -p- 即当5时， 55分 2设=m+1与CP千-1 4联立，有4-m)y2-2m-5=0 由△=80-16m2>0,相m∈(5,5) )N.用+为是.0 -5 得m∈(-2,2) 1+1=五+龙=2m++=5m 、1,18 则k片片5” ,10分 1.1=0 (i)当kk2时，m=0,直线I的方程为x=1:13分 (i)因为直线OM,ON存在斜率，所以m≠±1， 故m∈(-2，-1U(-1,1U(1,2) --修 u片+方学》g9 1+1 15分 f(x)=xcosx-sinx 18.(1)由题知 x2 又f(π)=0.f()=-I y=--)y=- x+1 所以切线方程为兀 4分 、o()=f四.simr (2)令 π-xx(π-)，则 小u f(x) V= tsπ 所以曲线π-x关于直线2对称： 8分 (3)(i)先求b的最小值 sinx<b o(x)=sinr 由题知（π-），令 x(π-)： x∈0， 由于y=()关于直线2对称，故只需考虑（”2)即可. ))co+2x)sinx 则 x2(π-x)月 ()=(x+)cosx+(2x-z)sinr 则(x)=(x2-r+2小sinr 2 ()金0)上草调道的.在)上竿河诺藏， 4)-0.40=0 所以当 u(x)>0,p'()>0,p(x单调递增， 4 所以 即b的最小值为π. 13分 (i)再求a的最大值. 由题意，x∈(0，π，ax(x-<sinr恒成立，令g()=ax(r-)-sinx,x∈[0，可 as 因为8(0)=0，所以8(0)≤0，即am-1≤0，即a≤元， g(x)=Ix(x-x)-sinx<0 下面证明兀时， 恒成立， 易知y=g()关于X=2对称，故考店心2)即可， x=- x∈0，π g(x)-1--cos:g"(x)--2sin 8()=名m=0 在”2必有一解， 且8()在(0，x)递减，在 2)递增 0--0,0,从80=-0 sinx≥lx(π-x)xe[o,]. 所以4的最大值为π. 17分 19.（1)恰好得2分为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球， 3.1.113 故恰好得2分的概率为4'4416.4分 (2)在取球过程中不得到n分只有一种可能：得n-1分后取到黄球得2分， 3 4_3。 4 t-A=4P,n≥2，面月=4.且” 因此 故2+引 10分 (3)由题知因为 82, 。1 ()-号 由Y=0,1,0,3,…0,2n-1,0」 m=1c日a)+3.c(4目…2-cg日() 得 =4[C.3+3cg3++(2m-0cg3] 因为C。=2nC,所以9 所)）-=是(Cn32+cC32+4c83) （6+=Ca32a+Cn322+Cn32a-3++Ca73+C30 (3-1=C9n32-C2n132n-2+C332n-3-…+C3m3-C3a3°， 所uC3+C3n4++C3-4+2 0:”行司 故 器引 17分