1.1.2 空间向量的数量积运算(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知向量a和b的夹角为120°，且｜a｜＝2，｜b｜＝5，则（2a－b）·a＝（　　） A.12 B.8＋ C.4 D.13 3.在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则在上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 4.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则向量与的夹角是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 6.〔多选〕设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是（　　） A.（a·b）·c－（c·a）·b＝0 B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ C.（b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直 D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 7.〔多选〕如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（　　） A.2· B.2· C.2· D.2· 8.已知｜a｜＝13，｜b｜＝19，｜a＋b｜＝24，则｜a－b｜＝　　　　. 9.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则cos＜a，b＞＝　　　　. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. （1）利用空间向量证明PA⊥BD； （2）求AP的长. 11.已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 12.〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有（　　） A.（＋＋）2＝3 B.·（－）＝0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为｜··｜ 13.在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝　　　　. 14.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是BC上的动点，点P是B1C1上的动点，AB＝BC＝2，AA1＝1. （1）求·； （2）求·的取值范围. 15.如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝，＝λ，＝λ，0＜λ＜1，记＝a，＝b，＝c. （1）将用a，b，c表示出来，并求｜｜的最小值； （2）是否存在λ使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2　空间向量的数量积运算 1.C　由题意，可得＝，所以＜，＞＝＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°. 2.D　（2a－b）·a＝2a2－b·a＝2｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos 120°＝2×4－2×5×（ －）＝13. 3.B　在空间四边形ABCD中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，设AC＝2，BD＝1，且·＝·＝0，＝＋＋，则·＝（＋＋）·＝｜｜2，在上的投影向量为·＝·＝.故选B. 4.B　因为＋－2＝（－）＋（－）＝＋，所以（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形. 5.C　∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴＝（＋）.∵AC＝AA1＝，∴A1C＝2.∵·＝（＋）·（－）＝＝1，∴cos＜，＞＝＝，又0°≤＜，＞≤180°，∴＜，＞＝60°.故选C. 6.BD　A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D. 7.BC　对于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，错误；对于B，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，正确；对于C，2·＝·＝a2，正确；对于D，2·＝·＝－·＝－a2，错误. 8.22　解析：∵｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故｜a－b｜＝22. 9.　解析：由条件知（a＋3b）·（7a－5b）＝7｜a｜2－15｜b｜2＋16a·b＝0，（a－4b）·（7a－2b）＝7｜a｜2＋8｜b｜2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23｜b｜2，所以a·b＝｜b｜2，代入上面两个式子中的任意一个，得｜a｜＝｜b｜，所以cos＜a，b＞＝＝＝. 10.解：（1）证明：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝b－a，＝＋＋＝a＋b＋c，所以·＝（b－a）·（a＋b＋c）＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4×cos 60°－3×4×cos 60°＝0，所以⊥，故PA⊥BD. （2）由（1）知＝a＋b＋c， 所以＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3×cos 60°＋2×3×4×cos 60°＋2×3×4×cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝｜｜＝. 11.C　∵＝＋＋，∴·＝（＋＋）·＝·＋＋·＝0＋12＋0＝1，又｜｜＝2，｜｜＝1.∴cos＜，＞＝＝＝.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°. 12.AB　如图，（＋＋）2＝（＋＋）2＝＝3，故A正确；·（－）＝·＝（－＋＋）·＝0，故B正确；与的夹角是与夹角的补角，而△ACD1为正三角形，所以与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为｜｜·｜｜·｜｜，故D错误.故选A、B. 13.　解析： 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性质，可得AG＝AD，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋（ ＋）＝＋［（－）＋（－）］＝（＋＋），所以｜｜2＝（＋＋＋2·＋2·＋2·）＝（9＋36＋81＋0＋0＋0）＝14，所以｜｜＝，即OG＝. 14.解：（1）·＝（＋＋）·＝·＋·＋·， 因为AD⊥AB，AD⊥AA1， 所以⊥，⊥， 即·＝0，·＝0， 因此·＝＝｜｜2＝4. （2）·＝（＋＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·＋·＋·， 因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ，AB⊥BQ， 所以·＝0，·＝0，·＝0，·＝0， 因此·＝·＋·＝｜｜2－｜｜·｜｜， 设｜｜＝x，｜｜＝y， 0≤x≤2，0≤y≤2， 则·＝4－xy， 由于0≤xy≤4，所以－4≤－xy≤0， 所以0≤4－xy≤4， 故·的取值范围为[0，4]. 15.解：（1）＝－＝－（＋）＝λ－（＋λ）＝λ（a＋c）－[b＋λ（a－b）]＝（λ－1）b＋λc. 所以｜｜＝ ＝ ＝ ＝3， 故当λ＝时，｜｜有最小值为. （2）假设存在λ使得MN⊥平面ABCD，故MN⊥AB，MN⊥AD. 因为·＝[（λ－1）b＋λc]·a＝0， 所以MN⊥AB恒成立； 由·＝0，得[（λ－1）b＋λc]·b＝0， 即（λ－1）b2＋λb·c＝0， 所以9（λ－1）＋λ＝0，解得λ＝，满足条件. 故存在λ＝使得MN⊥平面ABCD. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $