专题02 正余弦定理解三角形（思维导图+5知识点+10大题型+综合通关）（暑假复习讲义）新高二数学人教A版

专题02 正余弦定理解三角形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 余弦定理解三角形 题型02 正弦定理解三角形（含边角互化） 题型03 正余弦定理结合解三角形 题型04 三角形中解的个数问题 题型05 三角形外接圆的半径问题 题型06 三角形的面积问题 题型07 判断三角形的形状问题 题型08 解三角形的实际应用 题型09 解三角形中的图形问题 题型10 解三角形中证明不等式与恒等式问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 正余弦定理 2. 三角形面积问题 3. 判断三角形的形状 4. 解三角形的实际应用问题 1. 正余弦定理：公式运用与变形，特别是正弦定理的边角互化问题 2. 三角形面积公式：需要知道何种情况用何种公式 3. 正余弦定理的综合应用以及结合三角函数的内容 4. 距离、高度、角度的测量问题 考情解码： 掌握余弦定理及其推论，能够利用余弦定理及推论解三角形；了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形，能够利用正弦定理解三角形，并会判断三角形的形状；掌握三角形的面积公式及其应用，熟练掌握利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的方法；了解实际测量中的专用名词与术语，能用余弦定理、正弦定理解决简单的距离、高度及角度等实际问题. 知识点一 余弦定理 在△ABC中，，， 变形为：，， 注：应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它； 【易错提醒】 1、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 即时即练 1．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，； (1)若，，，求； (2)若，，，求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）由余弦定理可得关于的一元二次方程，求解即可. 【详解】（1）若，，， 由余弦定理， ， 所以. （2）若，，， 由余弦定理， 则， 可得，解得或（舍去）. 知识点二 正弦定理 1、在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即： 注：①正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）； ②应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它． ③在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解. 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 【易错提醒】 已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 即时即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）解下列三角形： (1)在中，已知，，； (2)在中，已知，，. 【答案】(1)，， (2)当时，，；当时，，. 【分析】（1）结合两角和的正弦公式，利用正弦定理直接求解即可； （2）利用正弦定理直接求解即可. 【详解】（1），，， 又， 由正弦定理得， ， ，，. （2）由正弦定理知． ，， 或，当时，， ； 当时，， 又， ． 故当时，，； 当时，，. 2．在中，若，则角________． 【答案】 【详解】由题知， 根据正弦定理可得， 由余弦定理可知，将上述等式代入，得， 又，故. 3．（25-26高一下·天津西青·期中）已知中三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则______． 【答案】/ 【详解】由正弦定理得， ∵，∴，可得，即， 又，∴． 4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则________． 【答案】1 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 知识点三 三角形的面积公式 ①，其中为边上的高 ② ③，其中 ④（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） 【易错提醒】 一般情况下都是一直哪个角就用哪个角的面积公式，有内切圆主动联想到 即时即练 1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）设的内角的对边分别为，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得，解得， 因为为三角形内角，所以． 又， 由正弦定理可得， 所以的面积． 2．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 【答案】15 【分析】利用等面积法及正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 又由余弦定理可知， 即，则的周长为. 3．（25-26高一下·江西上饶·期中）在中，角的对边分别是，若，，，则______． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简已知等式求出角；再由三角形面积公式结合已知条件求出边；最后利用余弦定理计算出边的值． 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 化简得，所以，又，所以． 所以，解得， 由余弦定理得，所以． 知识点四 三角形形状的判定方法 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C， 解斜三角形的主要依据是： ①角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；； ②边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； ③边与角关系：正弦定理、余弦定理 常用两种途径：由正余弦定理将边转化为角；由正余弦定理将角转化为边. 【易错提醒】 判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 即时即练 1．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，且，则必为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，根据三角形内角范围得到两角相等，从而判断三角形为等腰三角形。 【详解】由已知及正弦定理得：， 所以，又， 所以，所以，所以， 所以（舍去）．故三角形为等腰三角形． 2．（24-25高一下·山东潍坊·阶段检测）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论. 【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 知识点五 解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【易错提醒】 已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 即时即练 1．（多选题）（25-26高一下·广东·期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【答案】ABC 【分析】通过比较与的关系，来确定三角形解的个数. 【详解】已知，， 如图，过作，垂足为． ． ①当或时，有一解； ②当时，无解； ③当时，两解． 结合四个选项，可知，ABC三项判断错误． 2．（多选题）（25-26高一下·山东青岛·期中）在三角形中，，，若三角形有两解，则c的可能取值为（   ） A． B．1.1 C． D．1.01 【答案】BD 【详解】根据正弦定理可得：，所以， 因为，三角形有两解，则，所以， 所以选项B，D满足条件. 题型01 余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·河北·期中）的内角的对边分别为．若，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】已知 由余弦定理：， 所以． 2．（25-26高一下·广西河池·期中）已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在三角形中，大角对大边，则边长为的边所对的角最大，设为， 由余弦定理得， ， ． 3．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由，得，即. 由余弦定理得. 中，，所以. 4．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，再利用余弦定理求即可． 【详解】由余弦定理，， ， 故． 5．（25-26高一下·天津蓟州·期中）在中，已知，，则_____ ． 【答案】3 【详解】设角所对的边分别为，结合余弦定理，可得， 即，解得或（舍去），所以． 【易错警示】 余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 题型02 正弦定理解三角形（含边角互化） 1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）在中，已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理得， 所以， 故. 2．（25-26高一下·广东广州·期中）已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】在中，由正弦定理可得，解得， 由于，则，即为锐角，故. 3．（25-26高一下·重庆·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理 因，由，可得， 所以或. 4．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，， 所以． 由正弦定理， 得． 5．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，而， 由正弦定理得，于是． 6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】根据正弦定理及二倍角公式对化简，求得，再利用三角形内角和为，求得，最后利用正弦定理得到的值. 【详解】根据正弦定理，由得， 因为，所以， 又，所以，所以. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 7．（25-26高一下·浙江温州·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合余弦定理求解即可. 【详解】在中，，由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得， 又因为，故. 8．已知的内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，又，因此，又， 所以． 9．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 【易错警示】 （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 题型03 正余弦定理结合解三角形 1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，，即， 所以. 故选：A. 2．记的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边与角的关系转化为关于的三角等式，求出的值，再代入余弦定理计算边． 【详解】由正弦定理得，则， 又，所以， 所以，所以为锐角， 由，得， 由余弦定理得， 所以． 3．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知中，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由正弦定理与余弦定理化简求解即可. 【详解】由余弦定理可得，因为，所以， 即，解得或， 由正弦定理可得， 即，即或， 因为，所以不合题意， 同理，当时，， 解得，解得，故等于或. 4．（25-26高一下·山东烟台·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可得，再结合余弦定理运算求解. 【详解】设的外接圆半径为， 则， 因为，即，可得， 又因为， 由余弦定理可得，即， 且，所以. 5．（25-26高一下·山东临沂·期中）在中，内角A，B，C所对边分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简可得即可求解. 【详解】，由正弦定理得. 结合余弦定理可得， 根据正弦定理得， ， 因为为三角形的内角，则 6．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦定理与二倍角公式将“角的倍数关系”转化为“边与角的余弦的关系”，再用余弦定理把“角的余弦”转化为“边的关系”，即可求得边的比例. 【详解】由题可知，. 由，结合正弦定理，得. 再由余弦定理：， 代入，得：， 得，得，即， 则， 故选：B. 【易错警示】 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 题型04 三角形中解的个数问题 1．（25-26高一下·宁夏·期中）在中，已知，，，则此三角形（    ） A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 【答案】B 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得， 由，得，则是锐角，所以此三角形只有一解. 2．（25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，，那么此三角形（    ） A．解的个数不确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 【答案】B 【分析】借助正弦定理计算即可判断. 【详解】由正弦定理可得，即， 由，显然无解，故此三角形无解. 3．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的三角形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【详解】在中，，由正弦定理得， 由，得，则，有两解， 所以满足条件的三角形有2个. 4．（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【答案】D 【详解】对于A,由正弦定理，则， 则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误； 对于B,由正弦定理，则， ，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误； 对于C,由正弦定理，则， ，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角， 三角形有1解，故D正确． 5．（24-25高一下·安徽芜湖·阶段检测）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦定理得，再由题设条件得到取值范围，进而得解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 故选：C 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【易错警示】 已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 题型05 三角形外接圆的半径问题 1．（25-26高一下·广东江门·期中）在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 设外接圆的半径为，， 则， 所以外接圆的半径为. 2．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 3．（25-26高一下·河北·期中）已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的内角的对边分别为，不妨设， 由余弦定理可得，因为，所以， 由正弦定理得的外接圆直径，即， 所以的外接圆面积为． 4．（24-25高一下·山东临沂·阶段检测）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式得出角，再由余弦定理得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由，得， 又因，得，所以，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理得，所以， 所以圆的面积. 故选：C 5．（25-26高一下·北京·期末）中，，则__，外接圆半径为__． 【答案】 3 / 【分析】首先根据余弦定理求，再根据正弦定理求外接圆的半径. 【详解】， 由，可得：，可得：， 解得：或（舍去）， ， 设外接圆半径为，则由正弦定理． 故答案为：3，． 6．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 【答案】 【分析】利用三角形内角正切恒等式，结合题设求出角C，再通过正弦定理求出外接圆半径，最后求出面积 【详解】由三角形内角和得，故． 由正切和角公式， 代入得：，整理得． 结合题设，联立得． 因，故． 已知，设的外接圆半径为R，则   外接圆面积 【易错警示】 题型06 三角形的面积问题 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】在中，由，可得， 又，， 所以的面积为. 故选：B 2．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得， 三角形面积，则， 即， ， ， ， ． 3．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式，及余弦定理即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 4．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式、正余弦定理求边长，代入目标式化简即可得. 【详解】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 5．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 6．（25-26高一下·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和差的正弦公式化简，即可求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 所以， 又，所以， 所以，所以， 又，即， 由得， 所以，又，即， 所以， 所以的面积为，解得，所以. 7．在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】因为，代入得，化简得. 由余弦定理， 结合， 得. 因为为边长，故. 8．（25-26高一下·江西上饶·期中）在中，角的对边分别是，若，，，则______． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简已知等式求出角；再由三角形面积公式结合已知条件求出边；最后利用余弦定理计算出边的值． 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 化简得，所以，又，所以． 所以，解得， 由余弦定理得，所以． 【易错警示】 一般情况下都是一直哪个角就用哪个角的面积公式，有内切圆主动联想到 题型07 判断三角形的形状问题 1．（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则中最大角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，且最大角为， 所以. 2．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 3．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，利用正弦函数的性质可判断三角形的形状. 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 4．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，且，则必为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，根据三角形内角范围得到两角相等，从而判断三角形为等腰三角形。 【详解】由已知及正弦定理得：， 所以，又， 所以，所以，所以， 所以（舍去）．故三角形为等腰三角形． 5．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理结合已知得，解方程得到，确定选项. 【详解】由正弦定理，又已知， 所以，所以， 因为，所以，， 又，所以，同理可得， 所以是等腰直角三角形. 6．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 【易错警示】 判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 题型08 解三角形的实际应用 1．（25-26高一下·北京·期中）广渠门中学高一年级开展了沪杭研学，在乌镇参观时，某数学兴趣小组为测量某河道的宽度，进行了如下操作：如图，在河道一侧的水平步道上选取相距2米的A、B两个观测点，在河道对岸的水平岸线上选取点C.若该数学兴趣小组测得，，则可求得该河道的宽度（即点C到直线AB的距离）为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由正弦定理求得，再作出高，解直角三角形可得. 【详解】，，则， 由正弦定理得，， 作于， 则..    2．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 4．（25-26高一下·广东·期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 【答案】A 【分析】先在中用正弦定理得出，再在中用余弦定理得出，路程除以速度即可求得时间. 【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 5．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】先作出示意图，再利用正弦定理求出的长，在中，利用余弦定理求出的长，最后在中利用余弦定理求出即可. 【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. 在中，，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 因为，所以 在中，，则， 因为，所以，则， 所以在处测得在它的南偏西方向上. 6．（25-26高一下·四川广安·期中）位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 【答案】D 【分析】过作，垂足为.过作，垂足为.在中求得，从而得到.中，由正弦定理求得，从而得.在中，利用等边对等角，可求得，即A，B两点到水平面的高度差. 【详解】如图，过作，垂足为.过作，垂足为. 则. 又， 所以中，. 所以. 中，，，所以. . 由正弦定理得，， 所以. 在中，，所以， 所以. 即A，B两点到水平面的高度差约为. 【易错警示】 1、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 测量高度问题 2、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 3、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 4、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 测量角度问题 5、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 6、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 7、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 题型09 解三角形中的图形问题 1．如图，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用余弦定理求出，进而求出，再使用进行求解. 【详解】在三角形BCD中，由余弦定理得：， 因为，所以角C为锐角，所以， 在三角形ABC中， 故选：A 2．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 3．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 4．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式计算； （2）利用余弦定理求出，再利用可得； （3）根据以及余弦定理求出，再利用两角和差的正弦公式求出即可利用面积公式求出. 【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线， 所以，解得或（舍）， 所以； （2）在中由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 即， 解得； （3）在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中由余弦定理可得， 解得， 因为 ， 所以. 题型10 解三角形中证明不等式与恒等式问题 1．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合已知进行运算证明即可. 【详解】（1）因为，即， 所以．因为，所以； （2）由余弦定理得，所以， 即．① 因为，所以．② 将②代入①，得， 整理得．因为，所以． 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先用二倍角公式化简，然后用正弦定理即可得到答案. 【详解】（1）由得， 化简得，     由正弦定理可得，故得证. 3．在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明：在中，由余弦定理，得 因为，所以. 【分析】（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解； （2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解. 【详解】（1）由，得，整理，得. 在中，由余弦定理，得. 把代入上式，得， 因为，所以. 在中，由正弦定理，得 （2）略 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. 【详解】（1）因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． 5．记内角的对边分别为． (1)若的面积为6，求； (2)求； (3)证明：是钝角三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由三角形内角和可求出，再利用面积公式计算即可得解； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合的大小与三角恒等变换公式计算即可得； （3）若，计算可得与矛盾，故，不妨设，则由（2）中所得可得，即可得，即可得证. 【详解】（1）由，可得则， ，解得； （2），由正弦定理得，由， 则 ， 故； （3）若，则有，此时，， 这与矛盾，故， 不妨设，则，于是， 由得，故，于是， 故是钝角三角形． 6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. (1)若，，求的面积. (2)求证:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系及三角形面积公式计算即可求解； （2）由余弦定理及可得，根据正弦定理及两角和差的正弦公式化简即可得证. 【详解】（1）由题意可得，将，代入可得， 则， 因为，所以， 所以的面积为； （2）由余弦定理及可得， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 即， 化简可得. 1．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理可得：， 因为，所以，则. 2．（25-26高一下·广东茂名·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 由正弦定理可得，. 3．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】设，由余弦定理得： . 代入已知条件： . 化简计算，整理得. 解得或（边长为正，舍去负根），故. 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 5．（25-26高一·全国·暑假作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，再结合正弦定理可得的外接圆半径，即可求面积. 【详解】因为，所以，得， 设的外接圆半径为，则，可得， 故的外接圆面积. 故选：C. 6．（25-26高一下·陕西延安·阶段检测）如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】由，得是等腰直角三角形，斜边米， 在中，，由正弦定理得， 则米，，因此是等边三角形，米. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 【详解】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 8．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 9．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有两解，列不等式求解可得结果. 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 10．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】先作出示意图，求出，，，，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出即可. 【详解】解：根据题意作出如下示意图， 由题意可知，，，， ， 在中，由正弦定理可得，又海里， 所以，解得海里， 在中，由余弦定理可得， 又海里，所以海里. 11．（24-25高一下·山东潍坊·阶段检测）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论. 【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 12．在锐角中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以. 故选：A 13．（25-26高一下·安徽·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件式利用正弦定理及三角恒等变换化简求得，再将利用正弦定理角化边，结合，求得，最后利用余弦定理求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 由，得，则， 即， 即，又，所以， 因此，即， 由，得，则，所以. 由及正弦定理，得，代入，可得，解得，则， 所以由余弦定理可得， 解得. 14．在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角正弦公式得，从而得或，结合分析得，故，最后利用三角形面积公式、诱导公式列方程求边长. 【详解】由，结合二倍角正弦公式得， 又，且，则或， 所以或， 当，则，此时，且，显然不存在， 当，则，且且，则， 由， 又， 所以，则，故（负值舍去）. 15．在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长. 【详解】因为，所以由正弦定理， 得，所以. 因为，所以. 所以，即. 又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以. 所以，所以. 由余弦定理， 得，解得. 因为，所以. 16．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式变形后判断①，由正弦定理化边为角后变形求解判断②③，结合诱导公式判断④. 【详解】①， 由得， 所以， 中最多只有一个钝角，中最多只有一个负数， 因此，从而均为锐角，①正确； ②若，则由正弦定理得，从而，而三角形中，所以或,所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，②错； ③若，由正弦定理得， 即，在中，，故恒成立， 因此，条件对任意三角形都成立，不能据此判断是等腰三角形，故③错误； ④若，则， 又由知为锐角，所以或， 即或，则不一定是直角三角形，④错，因此正确的命题有1个， 故选：A. 17．（25-26高一下·广东·期中）重庆某校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许、某同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为30°，45°，60°，且，则木铎金声钟的高约为（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可. 【详解】设木铎钟总高 ，因为 水平面， 在 点仰角：， 在 点仰角：， 在 点仰角：， 又，即，是中点， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则， 即，又， 得， 化简可得： ， 代入各表达式：， 化简计算：， 因此木铎金声钟的高约为 . 18．（多选题）（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知的三个内角的对边分别为，且，面积，则（   ） A． B． C． D．的外接圆半径为 【答案】ABD 【分析】本题考查解三角形的综合应用，结合三角形面积公式、余弦定理、正弦定理及三角形内角性质逐一判断选项即可. 【详解】选项AB：因为，，所以，又， 所以，即，联立求解得，AB正确； 选项C：由余弦定理得，故， 由正弦定理得， 因为，所以为锐角，所以，错误； 选项D：由正弦定理得外接圆半径，正确. 19．（多选题）（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可. 【详解】对于AB，由于，，， 在中，，即， 在中，，即， 联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误． 对于C，，故C正确． 对于D，的面积，故D正确． 20．（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，已知，，，则___________． 【答案】2 【分析】先利用三角形内角和定理求出角，再结合正弦定理求解的长度。 【详解】. 根据正弦定理，. 21．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）在中，，外接圆半径为，且，则的面积是________ 【答案】 【分析】先利用正弦定理求得边b，再利用余弦定理结合，求得a,c，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，，外接圆半径为， 所以，则， 由余弦定理得，即， 又因为，解得， 所以的面积是 ， 22．在中，内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，，求的面积. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用正弦定理及二倍角公式进行化简整理即可得证； （2）利用同角三角函数的基本关系式及（1）中的结论可求出，再求出，最后利用正弦定理和三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1），由正弦定理得，① 在中，， ， 代入①式，得， 整理得. 利用二倍角公式，得， 去括号整理得， ，， 两边同时除以，得， 两边同时除以，得，得证； （2），是锐角三角形，， ， 由（1）可知，， 为锐角，， ，解得， ， 由正弦定理得， . 23．在中，角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若,求； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得、、，再利用三角形内角和与两角和的正弦公式计算即可得 【详解】（1）由正弦定理可得， 即有， 则或， 若，则； 若，则，舍去； 故； （2）由，则， 由，则， 由，则，解得，， 故 ； / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 正余弦定理解三角形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 余弦定理解三角形 题型02 正弦定理解三角形（含边角互化） 题型03 正余弦定理结合解三角形 题型04 三角形中解的个数问题 题型05 三角形外接圆的半径问题 题型06 三角形的面积问题 题型07 判断三角形的形状问题 题型08 解三角形的实际应用 题型09 解三角形中的图形问题 题型10 解三角形中证明不等式与恒等式问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 正余弦定理 2. 三角形面积问题 3. 判断三角形的形状 4. 解三角形的实际应用问题 1. 正余弦定理：公式运用与变形，特别是正弦定理的边角互化问题 2. 三角形面积公式：需要知道何种情况用何种公式 3. 正余弦定理的综合应用以及结合三角函数的内容 4. 距离、高度、角度的测量问题 考情解码： 掌握余弦定理及其推论，能够利用余弦定理及推论解三角形；了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形，能够利用正弦定理解三角形，并会判断三角形的形状；掌握三角形的面积公式及其应用，熟练掌握利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的方法；了解实际测量中的专用名词与术语，能用余弦定理、正弦定理解决简单的距离、高度及角度等实际问题. 知识点一 余弦定理 在△ABC中，，， 变形为：，， 注：应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它； 【易错提醒】 1、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 即时即练 1．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，； (1)若，，，求； (2)若，，，求边. 知识点二 正弦定理 1、在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即： 注：①正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）； ②应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它． ③在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解. 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 【易错提醒】 已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 即时即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）解下列三角形： (1)在中，已知，，； (2)在中，已知，，. 2．在中，若，则角________． 3．（25-26高一下·天津西青·期中）已知中三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则______． 4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则________． 知识点三 三角形的面积公式 ①，其中为边上的高 ② ③，其中 ④（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） 【易错提醒】 一般情况下都是一直哪个角就用哪个角的面积公式，有内切圆主动联想到 即时即练 1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）设的内角的对边分别为，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 3．（25-26高一下·江西上饶·期中）在中，角的对边分别是，若，，，则______． 知识点四 三角形形状的判定方法 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C， 解斜三角形的主要依据是： ①角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；； ②边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； ③边与角关系：正弦定理、余弦定理 常用两种途径：由正余弦定理将边转化为角；由正余弦定理将角转化为边. 【易错提醒】 判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 即时即练 1．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，且，则必为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·山东潍坊·阶段检测）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 知识点五 解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【易错提醒】 已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 即时即练 1．（多选题）（25-26高一下·广东·期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 2．（多选题）（25-26高一下·山东青岛·期中）在三角形中，，，若三角形有两解，则c的可能取值为（   ） A． B．1.1 C． D．1.01 题型01 余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·河北·期中）的内角的对边分别为．若，则（    ） A．6 B． C．4 D． 2．（25-26高一下·广西河池·期中）已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 5．（25-26高一下·天津蓟州·期中）在中，已知，，则_____ ． 【易错警示】 余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 题型02 正弦定理解三角形（含边角互化） 1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）在中，已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26高一下·广东广州·期中）已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（     ） A． B． C．或 D． 3．（25-26高一下·重庆·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 4．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．（25-26高一下·浙江温州·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知的内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【易错警示】 （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 题型03 正余弦定理结合解三角形 1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．记的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知中，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高一下·山东烟台·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山东临沂·期中）在中，内角A，B，C所对边分别为（   ） A． B． C． D． 6．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【易错警示】 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 题型04 三角形中解的个数问题 1．（25-26高一下·宁夏·期中）在中，已知，，，则此三角形（    ） A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 2．（25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，，那么此三角形（    ） A．解的个数不确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 3．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的三角形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4．（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 5．（24-25高一下·安徽芜湖·阶段检测）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【易错警示】 已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 题型05 三角形外接圆的半径问题 1．（25-26高一下·广东江门·期中）在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（   ） A．6 B．12 C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 3．（25-26高一下·河北·期中）已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东临沂·阶段检测）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·北京·期末）中，，则__，外接圆半径为__． 6．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 【易错警示】 题型06 三角形的面积问题 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 8．（25-26高一下·江西上饶·期中）在中，角的对边分别是，若，，，则______． 【易错警示】 一般情况下都是一直哪个角就用哪个角的面积公式，有内切圆主动联想到 题型07 判断三角形的形状问题 1．（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则中最大角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 4．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，且，则必为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 6．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【易错警示】 判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 题型08 解三角形的实际应用 1．（25-26高一下·北京·期中）广渠门中学高一年级开展了沪杭研学，在乌镇参观时，某数学兴趣小组为测量某河道的宽度，进行了如下操作：如图，在河道一侧的水平步道上选取相距2米的A、B两个观测点，在河道对岸的水平岸线上选取点C.若该数学兴趣小组测得，，则可求得该河道的宽度（即点C到直线AB的距离）为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 2．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 4．（25-26高一下·广东·期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 5．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 6．（25-26高一下·四川广安·期中）位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 【易错警示】 1、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 测量高度问题 2、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 3、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 4、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 测量角度问题 5、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 6、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 7、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 题型09 解三角形中的图形问题 1．如图，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 题型10 解三角形中证明不等式与恒等式问题 1．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，且，证明：． 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，，求的面积. 3．在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)证明：． 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； 5．记内角的对边分别为． (1)若的面积为6，求； (2)求； (3)证明：是钝角三角形． 6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. (1)若，，求的面积. (2)求证:. 1．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东茂名·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一·全国·暑假作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 6．（25-26高一下·陕西延安·阶段检测）如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 8．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 11．（24-25高一下·山东潍坊·阶段检测）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 12．在锐角中，，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·安徽·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．6 B． C． D． 14．在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 15．在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（25-26高一下·广东·期中）重庆某校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许、某同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为30°，45°，60°，且，则木铎金声钟的高约为（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 18．（多选题）（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知的三个内角的对边分别为，且，面积，则（   ） A． B． C． D．的外接圆半径为 19．（多选题）（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 20．（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，已知，，，则___________． 21．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）在中，，外接圆半径为，且，则的面积是________ 22．在中，内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，，求的面积. 23．在中，角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若,求； / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $