精品解析：湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷3

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末复习卷3 时间：2026-6-16 18:30-20:30范围：人教版必修2 第5.4—第9章 一.单选题（5分/8题，共40分） 1. 已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（ ） A. 1 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱定义可知A错误，再由六棱锥性质可判断B错误，棱台是由棱锥截得的，可知C正确，直角梯形的直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，即D错误. 【详解】对于A，如下图所示： 显然该几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，即A错误； 对于B，易知正六边形的中心与相邻两顶点构成的三角形即为正三角形，如下图， 显然正六棱锥的侧棱比底边长，因此其侧面不可能是正三角形，即B错误； 对于C，根据棱台定义即可判断C正确； 对于D，在直角梯形中，如下图所示： 以直角梯形的直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台， 若以直角梯形的腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，即D错误. 故选：C 3. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用余弦差角公式求得，再通过余弦和角公式计算，最后用余弦二倍角公式求出的值. 【详解】由，可得，解得， 由，可得。 所以. 5. 正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等体积法，利用棱锥的体积公式可求出点到平面的距离. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 从而， 故选：C． 6. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 7. 把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（ ） A. 若，则方差不变 B. 若极差不变，则 C. 若，则中位数变大 D. 若平均数不变，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明，ABC错误，求出原数据与新数据的平均数，可判断D是否正确. 【详解】原数据的平均数为：， 原数据的方差为：. 对A：若，则满足， 此时所得新数据的平均数为：， 方差为：，方差变小，故A错误； 对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误； 对C：若，如，则新数据的中位数是3， 因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误； 对D：新数据的平均数为：， 由，故D正确. 故选：D. 8. 在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知甲组数据的平均数为8，方差为2，由这组数据得到乙组数据，其中，则（ ） A. 数据的平均数为 B. 乙组数据的方差为11 C. 数据的方差小于2 D. 甲组数据的第25百分位数是乙组数据的第25百分位数的2倍 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由平均数和方差性质求出两组数据综合即可求解判断；对于B，由方差性质即可直接计算求解判断；对于C，由新数据的平均数和方差公式计算即可判断；对于D，由百分位数定义即可判断； 【详解】数据的平均数为8，数据， 对于A，由题，， ， 所以数据的平均数为 ，故A正确； 对于B，由题乙组数据的方差为，故B错误； 对于C，由题可得数据的平均数为8， 所以数据的方差为 ，故C正确； 对于D，因为， 所以甲组数据的第25百分位数是第二大数据设为，则乙组数据的第25百分位数是， 甲组数据的第25百分位数小于乙组数据的第25百分位数的2倍，故D错误. 故选：AC 10. 已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确； 【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误； 选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确； 选项C：，所以，所以C正确； 选项D：设，则， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确． 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质定理可判断A，由三棱锥的体积公式计算可判断B，由直棱锥的外接球半径计算方法可判断C，作出过，C，E三点确定截面，进而求得截面的周长判断D. 【详解】对于A，∵，，， 平面，平面，∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B：三棱锥的体积，故B错误； 对于C，设三棱锥的外接球的半径为， 的外接圆半径为，， 在中，由余弦定理得，， 所以，则有， 三棱锥的外接球的表面积为，故C正确. 对于D，如图，过，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形 （其中F为的中点，故等腰梯形的周长为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 13. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解. 【详解】在中，，则， 又平面，平面平面， 所以平面，连接，，所以， 得，设（）， 则，即，得， 当即即时，取到最小值1， 此时取到最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到、，而，即为所求. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，，，为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行坐标关系得方程，可求得的值； （2）利用模长条件得，化简求​，结合象限得，再代入投影向量公式计算． 【小问1详解】 因为，，， 所以， ， 又，所以，则，即． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以，即，． 又是第二象限角，所以， 因为，，所以， 所以． 16. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【小问1详解】 ； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. 【小问2详解】 因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 17. 如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）需要找出与平面所成角,再通过几何关系计算其正切值. 【小问1详解】 证明：由平面，平面ABC，故． 又，平面，且，平面， 又平面，．又，平面，且， 平面． 【小问2详解】 证明：由（1）得，平面，又平面， 又，平面，且，平面， 在平面内的射影为，在平面成角为， 又，根据面积可得，,即，解得， 在中，根据勾股定理可得，,故 与平面所成角的正切值为. 18. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的75％分位数． （3）由于男生、女生身高差异，采用分层抽样的方法再抽取一个容量为100的样本，并观测样本的指标值 （单位：cm），已知该样本男、女生比例是16：9，计算得男生样本的均值为173，方差为17，女生样本的均值为164，方差为30．该样本的均值和方差各为多少？（结果保留整数） 【答案】（1）60 （2） （3）该样本的均值为，方差为 【解析】 【分析】（1）先算，然后即可求解； （2）由百分位数的定义计算即可； （3）由加权平均和方差公式直接计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得， 身高在及以上的学生人数（人）. 【小问2详解】 的人数占比为， 的人数占比为， 所以该校100名生学身高的75％分位数落在， 设该校100名生学身高的75％分位数为，则％，解得， 故该校100名生学身高的75％分位数为． 【小问3详解】 由题得：该样本的均值为 该样本的方差为 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义，过点分别作，，则为二面角的平面角，即可求解；（2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积；（3）方法一，分两种情况，当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值；方法二，利用线线平行，线面平行关系，构造面面平行，利用面面平行的性质定理，求解的值. 【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 则为二面角的平面角， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得， 所以． （2）过点作，垂足为． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，， 所以． 因为， 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面， 所以为三棱锥的高，． 因为， 所以． （3）方法一： 假设存在点． ①当点在线段上时，连接交于， 则， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． ②当点在延长线上时，连接交于， 则， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． 综上，在直线上存在点，使平面，的值为或． 方法二： 当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点， 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点． 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 所以． 综上，在上存在点使得平面，此时或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末复习卷3 时间：2026-6-16 18:30-20:30范围：人教版必修2 第5.4—第9章 一.单选题（5分/8题，共40分） 1. 已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（ ） A. 1 B. 9 C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 3. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（ ） A. 若，则方差不变 B. 若极差不变，则 C. 若，则中位数变大 D. 若平均数不变，则 8. 在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知甲组数据的平均数为8，方差为2，由这组数据得到乙组数据，其中，则（ ） A. 数据的平均数为 B. 乙组数据的方差为11 C. 数据的方差小于2 D. 甲组数据的第25百分位数是乙组数据的第25百分位数的2倍 10. 已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 的最大值为 11. 如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 13. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，，，为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 16. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值． 18. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的75％分位数． （3）由于男生、女生身高差异，采用分层抽样的方法再抽取一个容量为100的样本，并观测样本的指标值 （单位：cm），已知该样本男、女生比例是16：9，计算得男生样本的均值为173，方差为17，女生样本的均值为164，方差为30．该样本的均值和方差各为多少？（结果保留整数） 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $