湖北襄阳市2025-2026学年高一下学期期末复习数学试卷3

**基本信息** 高一期末数学模拟卷聚焦复数、向量、立体几何等核心知识，通过人口普查统计、马拉松面试分析、空地改造规划等现实情境题，考查数学抽象、数据分析与模型构建能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数纯虚数、向量共线、统计图表分析|基础概念辨析，结合人口普查图表考查数据解读| |多选题|3/18|三角形四心性质、圆锥与球综合|多知识点融合，如圆锥内切球与异面直线成角计算| |填空题|3/15|单位向量、正四棱台体积、正方体线面角|空间几何计算，正方体交线与线线角综合应用| |解答题|5/77|统计频率分布直方图、三棱柱证明与距离、解三角形应用|现实情境建模，如马拉松成绩分层抽样与方差估计，空地改造面积优化问题|

高一期末统一调研测试模拟试卷 数 学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 4．如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（     ） A． B． C． D． 5．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 6．在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 7．如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 10．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（   ） A．圆锥的体积为 B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线BF与PA所成角为 D．平面AEF截球O的截面面积为 11．已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 13．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 14．如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 16．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为4的菱形，，，分别是棱，的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)求点到平面的距离． 17．在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 18．如图所示，某区有一块空地△AOB，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖△OMN的周围安装防护网．    (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小； (3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？ 19．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．    (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 试卷第1页，共3页 《高一下期末模拟卷3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C C B B C AB ACD 题号 11 答案 AB 1．B 【详解】由为纯虚数，则，可得. 2．C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 3．A 【详解】我国人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故A正确，C错误； 1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故B错误； 从图中不能判定我国人口出生率的情况，故D错误． 4．C 【详解】矩形中，，分别为，的中点，为中点， 故 . 5．C 【详解】在中，由余弦定理得， 三角形面积，则， 即， ， ， ， ． 6．B 【分析】利用平面向量基本定理和共线向量定理的推论求解可得. 【详解】由题意可得． 因为是的中点，所以． 因为三点共线，所以． 又因为，所以， 所以，消去，可得．    7．B 【分析】利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大值，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围. 【详解】如图，作， 则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又，所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 8．C 【分析】先对已知等式进行化简，求出角，再利用余弦定理将转化为关于角的表达式，最后根据角的范围求出的取值范围. 【详解】已知，则. 即. 所以. 由于， 所以或. 当时，可得，那么，不满足为钝角三角形， 舍去. 当时，则，满足为钝角三角形，此时. 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，所以的取值范围为. 9．AB 【分析】根据三角形四心的相关性质和正弦定理、余弦定理等相关知识逐项检验即可求解. 【详解】对于A，设外接圆半径为，因为， 所以，则， 也即，所以，则，故选项A正确； 对于B，取的中点，连接，作，垂足为， 因为，所以为的角平分线，所以， 又，，所以，则； 因为的周长，面积， 所以内切圆半径，所以， 又，所以， 因为，所以， 则，，所以，故选项B正确； 对于C，因为点为的重心，所以， 又因为，令，则， 在中，由余弦定理可得，， 因为，则，故选项C错误； 对于D，设外接圆半径为， 因为，， 所以，从而得到， 同理可得， 所以，故选项D错误. 10．ACD 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点，，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 11．AB 【分析】A选项，根据复数除法运算法则即可求得；B选项，设，，根据共轭复数及复数的运算法则求解；C，D选项通过举反例可判断. 【详解】对于，因为当时，，选项A正确； 对于B，设，， ， 则 ， ，所以，选项B正确； 对于C，当，，则，但， ，，选项C错误． 对于D，，时，，但，选项D错误． 故选：AB. 12． 【分析】根据题意，求得，得到，结合单位向量的计算方法，即可求解. 【详解】由点，，可得，则 则与向量同向的单位向量的坐标为. 13．/ 【分析】由棱台体积公式进行求解． 【详解】由正四棱台得，上底面和下底面都为正方形， 则体积． 14． / / 【分析】利用平面基本事实作出直线，进而求出；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得. 【详解】延长与延长线交于点F，连接，则直线即为直线，故， 由，得，又，于是，故， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，故， 所以，所以. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，求解即可； （2）应用百分位数的定义确定面试成绩前候选者的最低分所在区间，即可求； （3）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知，，解得； （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. （3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 16．(1)证明：因为平面平面ABC，平面平面，且，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 因为平面，且，所以平面． (2)证明：取棱的中点F，连接， 因为E，F分别为棱的中点，所以， 由三棱柱的定义可知，则， 因为平面平面，所以平面． 因为D，F分别为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，且，所以平面平面， 因为平面，所以平面． (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的性质及判定即可证明； （2）根据线面平行的判定，面面平行的判定及性质即可证明； （3）过点E作，交于点H，结合（1）（2）得出点E到平面的距离为，即点D到平面的距离为． 【详解】（1）略． （2）略． （3）过点E作，交于点H， 因为四边形是边长为4的菱形，且，所以， 因为E是棱的中点，所以， 由（1）可知平面，则平面，即点E到平面的距离为． 由（2）可知平面，则点D到平面的距离为． 17．(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 18．(1) (2) (3)当时，面积最小，最小面积为 【分析】（1）在中由余弦定理求出，进而得到，然后在中求出即可； （2）设，在和运用正弦定理表示出，然后利用面积关系结合面积公式即可求解； （3）写出的表达式，然后利用三角恒等变换结合正弦型函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，由余弦定理： 得， 且，故，， 又，在中： ，， 的周长即防护网总长度为：， （2）设，，对由正弦定理得： ， 同理对，，由正弦定理得： ， 面积关系，代入面积公式： ， 化简得：，结合，得，即. 故. （3）由前述推导，， 化简分母： ， 所以， ， 由，得，，当且仅当， 即时取到最大值，此时最小： 最小值， 故当时，面积最小，最小面积为. 19．(1) (2)（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线线垂直得到线面垂直，进一步得到面面垂直；根据面面垂直的性质和等边三角形的性质，确定平面，从而得到直线与平面所成的角；最后根据各边关系求得正弦值； （2）（ⅰ）根据，作平行四边形，求得，即可求得点所在的位置； （ⅱ）作平行线，通过线线平行得到面面平行，再根据面面平行的性质和等边三角形的性质，确定平面与平面所成锐二面角的平面角，最后根据各边的位置和数量关系求得正弦值. 【详解】（1），，，平面，平面. 平面，平面平面. 取的中点，连接，，如图1所示：   为等边三角形，. 平面平面，平面，平面. 则为直线与平面上的射影，为直线与平面所成的角. ，，； ，，； . ，即直线与平面所成角的正弦值为. （2）（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作交于点N，连接.   ，； ，，，四点共面，则平面平面； 平面，. 四边形为平行四边形，则. ，，，，即. 为棱上靠近点P的三等分点满足题意. （ⅱ）过点M作交于点O，连接.由（ⅰ）得； 为等边三角形，则，. ，，，四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面平面. 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 由（1）知平面，，平面. 平面，. ，，平面，平面. 平面，； ，，平面，平面， 平面，则； 为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由平面，平面，得； ，，，，为等边三角形，, ，，，. 在中，，则. 在中，，得. 在中，. 在中，. 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $