2026年中考数学真题完全解读（天津卷）

该初中数学中考复习讲义全面覆盖数与式、函数、图形性质等核心考点，按模块架构梳理知识内在联系。通过考点细目表精准定位，结合“回归教材夯实四基”“强化几何推理”等策略，设计考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于真实情境与核心素养融合，如以《九章算术》“共买羊”问题培养模型观念，通过矩形双动点问题强化几何直观与推理能力。设避坑提醒规避易错点，分层训练适配不同学生，助力教师把控节奏，高效提升学生应考能力。

2026年天津市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年天津市中考数学试卷总分120分，考试时间100分钟，共25道题。试卷结构为：选择题12道（36分）、填空题6道（18分）、解答题7道（66分），分值依次为8、8、10、10、10、10、10。全卷以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，对初中数学核心知识与关键能力进行了较全面覆盖。选择题第1-12题侧重基础概念与简单运算，填空题第13-18题强化代数变形与几何直观，解答题第19-25题逐步提升综合推理与建模要求。整卷突出天津地方特色与数学文化，第4题以世界智能产业博览会在天津开幕为背景考查科学记数法，第8题以《九章算术》“共买羊”问题考查一元一次方程建模，第22题以引滦入津工程纪念碑测量为背景考查解直角三角形，第23题以民俗文化馆、体育公园骑行路线为背景考查一次函数图象与分段函数。模块分布上，数与式、图形的性质占比突出，函数与综合实践承担区分功能，整体难度梯度合理，符合天津中考命题导向。 试题亮点 津门科技与传统文化交相辉映，真实情境彰显育人底色：第4题以世界智能产业博览会在天津开幕、展览面积达平方米为背景考查科学记数法；第8题以《九章算术》“共买羊”古典数学问题为背景考查一元一次方程建模；第22题以引滦入津工程纪念碑高度测量为背景考查解直角三角形。三题分别对应现代科技、数学文化、地方工程，体现天津卷在真实情境中落实立德树人、关注社会发展的命题追求。 几何推理与图形变换深度融合，中高档题成为能力区分主战场：第10题将尺规作图（作垂线）、等腰三角形性质与三角形外角综合；第11题以直角三角形旋转为背景，考查旋转性质、勾股定理与三角形面积；第12题以矩形中双动点运动为背景，综合考查平行四边形判定、二次函数最值与分类讨论；第17题以菱形与等边三角形为载体，考查几何推理与计算；第18题以网格无刻度直尺作图与半圆结合，考查圆的性质与构图能力；第21题将圆、切线、圆周角与解直角三角形综合；第24题以四边形折叠为背景，探究重叠部分面积与二次函数最值。几何题覆盖选择、填空、解答各层级，推理链条逐步加长，对空间观念、逻辑推理和直观想象提出较高要求。 函数建模与综合实践并重，压轴题突出思维过程与探究能力：第6题以反比例函数图象上三点比较函数值大小；第16题以一次函数平移为背景考查图象性质；第23题以骑行路线为背景，将一次函数图象、分段函数、待定系数法与方程思想结合；第25题以抛物线顶点、等腰直角三角形、线段最值综合，承担顶尖区分功能。函数类题目强调建模、推理与探究，淡化机械计算。 命题趋势 天津科技成就与传统文化将持续入题，应用意识考查常态化：第4题世界智能产业博览会、第8题《九章算术》共买羊、第22题引滦入津纪念碑，均体现天津卷对科技、文化与地方工程的偏好。未来命题会继续选取具有天津辨识度或时代背景的素材，引导学生在真实情境中建模、计算与解释。 几何综合题单题承载量持续增大，尺规作图、圆、折叠与旋转仍是区分核心：第10题尺规作图与等腰三角形、第11题旋转、第12题矩形双动点、第17题菱形与等边三角形、第18题网格作图与圆、第21题圆与切线、第24题四边形折叠，几何模块占比突出。中高档几何题跨知识点融合趋势明显，预计未来将继续强化“作图—识图—推理—计算—最值”的完整能力链。 函数与实际问题的结合将更加紧密，建模与分段讨论成为压轴主旋律：第6题反比例函数性质、第16题一次函数平移、第23题骑行分段函数、第25题抛物线综合，均要求学生将现实情境或几何结构抽象为函数模型。未来命题将继续淡化套路化计算，强化建模、分段讨论、数形结合等高阶思维过程。 基础题重视概念本质与运算准确性，反机械刷题导向鲜明：第1题有理数运算、第2题三视图、第3题轴对称图形、第5题无理数估算、第7题特殊角三角函数、第9题分式运算等题目看似简单，但需要真正理解概念本质或熟练准确运算。预计未来天津卷将继续通过概念辨析、图象识读和基础运算来检验基础，拒绝仅靠题型记忆得分。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→实数→有理数的运算 运算能力 2 单选 3 图形的变化与综合实践→投影与视图→简单组合体的三视图 空间观念 3 单选 3 图形的性质→图形的对称性→轴对称图形 几何直观 4 单选 3 数与式→实数→科学记数法 运算能力 5 单选 3 数与式→实数→无理数的估算 运算能力 6 单选 3 函数→反比例函数→反比例函数的图象与性质 推理能力 7 单选 3 数与式→实数→特殊角的三角函数值 运算能力 8 单选 3 数与式→方程与不等式→一元一次方程的实际应用 模型观念 9 单选 3 数与式→分式→分式的运算 运算能力 10 单选 3 图形的性质→三角形→尺规作图、等腰三角形、三角形外角 推理能力 11 单选 3 图形的变化与综合实践→图形的变换→旋转、勾股定理、三角形面积 几何直观、推理能力 12 单选 3 图形的性质→四边形→矩形性质、平行四边形判定、二次函数最值 推理能力、运算能力 13 填空 3 统计与概率→概率→简单概率 数据分析 14 填空 3 数与式→整式→整式的运算 运算能力 15 填空 3 数与式→二次根式→二次根式的运算 运算能力 16 填空 3 函数→一次函数→一次函数的平移与图象性质 推理能力 17 填空 3 图形的性质→四边形→菱形性质、等边三角形、勾股定理 推理能力、运算能力 18 填空 3 图形的性质→圆→圆的性质、网格无刻度直尺作图 几何直观、推理能力 19 解答 8 数与式→方程与不等式→一元一次不等式组 运算能力 20 解答 8 统计与概率→数据分析→条形统计图、扇形统计图、平均数、众数、中位数 数据分析 21 解答 10 图形的性质→圆→圆的性质、切线、圆周角、解直角三角形 推理能力、运算能力 22 解答 10 图形的变化与综合实践→解直角三角形→解直角三角形的实际应用 模型观念、应用意识 23 解答 10 函数→一次函数→一次函数图象、分段函数、待定系数法 模型观念、运算能力 24 解答 10 图形的变化与综合实践→图形的变换→折叠、轴对称、二次函数最值 推理能力、运算能力 25 解答 10 函数→二次函数→二次函数综合、等腰直角三角形、线段最值 推理能力、运算能力 考点模块占比分析 数与式模块（约30%，36分）：重点考查有理数运算、科学记数法、无理数估算、特殊角三角函数值、一元一次方程应用、分式运算、整式运算、二次根式运算、一元一次不等式组。对应第1、4、5、7、8、9、14、15、19题。 函数模块（约20%，24分）：重点考查反比例函数图象与性质、一次函数平移与图象性质、一次函数图象与分段函数、二次函数综合应用。对应第6、16、23、25题。 图形的性质模块（约26%，31分）：重点考查轴对称图形、尺规作图与等腰三角形、菱形与等边三角形、圆的性质与切线、矩形与动点最值。对应第3、10、12、17、18、21题。 图形的变化与综合实践模块（约18%，22分）：重点考查简单组合体三视图、旋转、解直角三角形实际应用、折叠与二次函数最值。对应第2、11、22、24题。 统计与概率模块（约6%，7分）：重点考查简单概率、条形统计图与扇形统计图、平均数、众数、中位数、样本估计总体。对应第13、20题。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实四基 （1）系统梳理数与式、方程不等式核心概念，确保有理数运算、科学记数法、二次根式、分式运算、不等式组等基础题不丢分；重视教材例题变式，理解概念本质而非死记题型。 （2）建立“数—式—方程—函数”一体化复习框架，对一次函数、反比例函数、二次函数的图象性质及综合应用进行针对性训练，提升数形结合与建模能力。 2. 强化几何推理，提升直观想象 （1）以三角形、四边形、圆为主线，规范几何证明书写；重点突破尺规作图、切线判定、圆周角、菱形与等边三角形、相似三角形综合题。 （2）加强旋转、折叠、解直角三角形、网格无刻度直尺作图等操作性几何问题的训练，学会通过添加辅助线、构造基本图形来建立已知与未知的联系。 3. 关注情境与探究，提升应用意识 （1）多关注天津科技成就、传统文化、地方工程、低碳生活等真实情境，练习从文字、图表中提取关键信息并建立数学模型。 （2）重视动点问题、折叠探究、分段函数、阅读理解型综合题，培养“阅读—理解—建模—分段讨论—求解”的解题习惯，提升代数推理、几何探究与创新思维能力。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×统计图表信息读取不细：第20题条形图与扇形图结合，容易忽略“总人数=某项目人数÷对应百分比”这一桥梁，导致后续中位数、众数、样本估计出错。 ×动点与折叠问题分类不全：第12题矩形双动点、第24题四边形折叠均需按不同位置或重叠形状分类讨论，容易漏掉某种情况导致最值或范围错误。 ×分段函数图象理解不透：第23题骑行过程分多段，每段函数解析式不同，需结合图象关键点用待定系数法逐段求解，避免整段套用同一表达式。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 天津市2026年中考数学试题 一、单选题 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：有理数的运算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，考查有理数的基本运算。 （2）问题设计：问题设计：直接计算一个含加减乘除或乘方的有理数算式。 （3）考查目标：考查目标：考查基本运算能力与运算准确性。 答案与解析 【答案】D 【详解】解：． 知识总结 ①核心概念：有理数混合运算按先乘方、再乘除、后加减的顺序进行。②解题要点：注意符号变化和运算优先级。③关联拓展：常与绝对值、二次根式、零指数幂等综合。 2．下图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：简单组合体的三视图。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以由若干相同正方体组成的立体图形为背景，判断其主视图。 （2）问题设计：问题设计：给出立体图形及四个主视图选项，要求选择正确图形。 （3）考查目标：考查目标：考查空间观念与三视图识别能力。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：它的主视图是， ． 知识总结 ①核心概念：主视图是从物体正面观察得到的平面图形。②解题要点：确定每列小正方体的最高层数。③关联拓展：三视图常与表面积、体积计算结合。 3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：轴对称图形。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以美术字中的汉字为背景，判断哪个汉字是轴对称图形。 （2）问题设计：问题设计：四个汉字中找出沿某直线折叠后两边能够重合的图形。 （3）考查目标：考查目标：考查对轴对称概念本质的理解。 答案与解析 【答案】A 【分析】如果一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形 ，根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A选项：汉字“奋”沿竖直中线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：汉字“楫”左右结构不同，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：汉字“争”笔画不对称，不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：汉字“先”笔画不对称，不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 知识总结 ①核心概念：轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁部分能够完全重合。②解题要点：想象或画出对称轴，检验是否重合。③关联拓展：轴对称与中心对称常结合考查。 4．年月日，世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达平方米，创历年之最．将数据用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：科学记数法。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以世界智能产业博览会在天津开幕、展览面积达平方米为背景。 （2）问题设计：问题设计：将较大数据用科学记数法表示。 （3）考查目标：考查目标：考查大数表示能力与应用意识。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：． 知识总结 ①核心概念：科学记数法写成a×10^n，其中1≤|a|<10。②解题要点：确定a和n，注意单位换算。③关联拓展：常用于表示经济、科技、天文等领域的大数。 5．估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 命题透视 ►核心考点：核心考点：无理数的估算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，估计某个含根号的代数式的值所在范围。 （2）问题设计：问题设计：先估算根号的范围，再对不等式两边进行加减运算。 （3）考查目标：考查目标：考查无理数估算与不等式性质。 答案与解析 【答案】C 【分析】先估算出的取值范围，再对不等式两边加1，即可得到的范围． 【详解】解： ，即 不等式两边同时加1，得，即 因此的值在和之间． 知识总结 ①核心概念：若a<b，则a+c<b+c；常见无理数如√2≈1.414，√3≈1.732。②解题要点：先估算根号部分，再通过加减得到目标范围。③关联拓展：估算常与数轴、实数大小比较结合。 6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：反比例函数的图象与性质。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯函数情境，比较反比例函数图象上三点函数值的大小。 （2）问题设计：问题设计：根据k的正负判断函数图象所在象限及增减性，再比较三点的横坐标或纵坐标。 （3）考查目标：考查目标：考查反比例函数性质与分类讨论能力。 答案与解析 【答案】C 【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小. ∵点 的纵坐标， ∴点 在第三象限，可得. ∵点 、的纵坐标都大于， ∴点 、都在第一象限. 又∵， ∴. 综上可得 ． 知识总结 ①核心概念：当k>0时，反比例函数图象在第一、三象限，每个象限内y随x增大而减小。②解题要点：先判断各点所在象限，再在同一象限内比较大小。③关联拓展：反比例函数常与k的几何意义、一次函数综合。 7．的值等于（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：特殊角的三角函数值。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，计算含特殊角的三角函数值的代数式。 （2）问题设计：问题设计：直接代入特殊角三角函数值进行计算。 （3）考查目标：考查目标：考查特殊角三角函数值的记忆与运算能力。 答案与解析 【答案】B 【详解】解： ． 知识总结 ①核心概念：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3；sin45°=√2/2等。②解题要点：熟记特殊角三角函数值，按运算顺序计算。③关联拓展：常与实数混合运算、解直角三角形综合。 8．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：一元一次方程的实际应用。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以《九章算术》“共买羊”古典数学问题为背景。 （2）问题设计：问题设计：根据两种出钱方案表示羊价，利用羊价不变列一元一次方程。 （3）考查目标：考查目标：考查古典数学问题中的方程建模能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程． 【详解】解：设人数为， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵羊价固定不变， ∴可列方程为． 知识总结 ①核心概念：列方程解应用题关键是找等量关系。②解题要点：用含x的代数式分别表示两种方案下的羊价，令二者相等。③关联拓展：古典数学问题常涉及盈不足、鸡兔同笼等模型。 9．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：分式的运算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯代数情境，计算分式运算结果。 （2）问题设计：问题设计：涉及分式的加减乘除或混合运算，需要先通分或约分。 （3）考查目标：考查目标：考查分式运算与代数变形能力。 答案与解析 【答案】D 【详解】解：原式 ． 知识总结 ①核心概念：分式加减需先通分，分式乘除需先因式分解再约分。②解题要点：注意运算顺序与符号，结果化为最简分式。③关联拓展：分式运算常与因式分解、分式方程结合。 10．如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：尺规作图、等腰三角形与三角形外角。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：在中，已知两边及角平分线，通过尺规作图作垂线，求某角度数。 （2）问题设计：问题设计：利用等边对等角、角平分线定义、三角形外角性质及作图得到的垂直关系求解。 （3）考查目标：考查目标：考查尺规作图理解与几何推理能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】利用等边对等角求得，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，由作图知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 知识总结 ①核心概念：三角形外角等于不相邻两内角之和；等腰三角形两底角相等。②解题要点：由作图知直线垂直于某边，结合已知角逐步推导。③关联拓展：尺规作图常与垂直平分线、角平分线、高线结合。 11．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应点为，连接并延长，与相交于点，若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：旋转、勾股定理与三角形面积。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：将直角三角形绕点顺时针旋转，使对应点落在边上，连接并延长与另一边相交。 （2）问题设计：问题设计：利用旋转性质得到相等线段与角，再通过相似或勾股定理求线段长，最后求三角形面积。 （3）考查目标：考查目标：考查旋转变换性质与几何计算能力。 答案与解析 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知：，则有，然后可得，则有，过点作，进而根据勾股定理及等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴． 知识总结 ①核心概念：旋转前后对应边相等、对应角相等。②解题要点：找准旋转后的对应关系，利用等腰三角形性质和勾股定理求关键线段。③关联拓展：旋转问题常构造“手拉手”全等或相似模型。 12．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 命题透视 ►核心考点：核心考点：矩形性质、平行四边形判定与二次函数最值。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：矩形中两个动点同时出发沿不同路径运动，判断三个结论的正确性。 （2）问题设计：问题设计：分三种情况讨论动点位置，利用平行四边形判定、三角形面积公式和二次函数性质判断各结论。 （3）考查目标：考查目标：考查动点问题中的分类讨论、二次函数最值与几何推理能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知： ， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 知识总结 ①核心概念：矩形对边平行且相等；平行四边形判定；二次函数在顶点或端点处取得最值。②解题要点：按动点所在边分段讨论，分别建立面积函数。③关联拓展：动点问题常与函数、方程、相似结合。 二、填空题 13．不透明袋子中装有个球，其中有 个红球、 个黄球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 个球，则它是红球的概率为________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：简单概率。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：不透明袋子中装有红球、黄球、白球，随机取出一个球求概率。 （2）问题设计：问题设计：直接用概率公式计算取出红球的概率。 （3）考查目标：考查目标：考查概率基本概念。 答案与解析 【答案】 【分析】根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取出红球的可能结果数，即可求解． 【详解】解：所有可能的结果数为，取出红球的可能结果数为 ，则取出红球的概率为． 知识总结 ①核心概念：等可能事件概率=所求结果数÷总结果数。②解题要点：数出总球数和红球数，写出概率。③关联拓展：概率常与统计图、游戏公平性结合。 14．计算的结果为________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：整式的运算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯代数情境，计算整式运算结果。 （2）问题设计：问题设计：涉及同底数幂的乘除、合并同类项或幂的乘方等运算。 （3）考查目标：考查目标：考查整式运算法则的掌握程度。 答案与解析 【答案】 【详解】解： ． 知识总结 ①核心概念：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘。②解题要点：熟记法则，逐项运算。③关联拓展：整式运算常与因式分解、分式化简综合。 15．计算的结果为______． 命题透视 ►核心考点：核心考点：二次根式的运算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯代数情境，计算二次根式运算结果。 （2）问题设计：问题设计：利用平方差公式或二次根式性质进行计算。 （3）考查目标：考查目标：考查二次根式运算与公式应用能力。 答案与解析 【答案】7 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】 ． 故答案为：7． 知识总结 ①核心概念：(√a+√b)(√a-√b)=a-b；二次根式乘法√a·√b=√(ab)。②解题要点：观察是否能用平方差公式简化运算。③关联拓展：二次根式常与实数运算、勾股定理结合。 16．将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 命题透视 ►核心考点：核心考点：一次函数的平移与图象性质。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：将直线向上平移后，根据图象经过的象限确定参数取值范围。 （2）问题设计：问题设计：先写出平移后的解析式，再根据一次函数图象性质列不等式，写出一个符合条件的值。 （3）考查目标：考查目标：考查一次函数平移规律与图象性质。 答案与解析 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、四象限， ∴，， 解得， 的值可以取，符合题意（答案不唯一）． 知识总结 ①核心概念：一次函数y=kx+b向上平移m个单位得y=kx+b+m；k<0、b>0时图象经过第一、二、四象限。②解题要点：根据平移后图象经过的象限确定k、b的符号条件。③关联拓展：一次函数常与方程、不等式、实际应用结合。 17．如图，在菱形中，，，连接． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在边上，点在的延长线上，与相交于点，为的中点．若，则线段的长为________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：菱形性质、等边三角形与勾股定理。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：在菱形中，已知一角为60°，连接对角线，分两问求线段长。 （2）问题设计：问题设计：第（Ⅰ）问利用菱形与等边三角形性质求对角线长；第（Ⅱ）问通过作垂线、构造直角三角形，利用勾股定理求线段长。 （3）考查目标：考查目标：考查菱形性质、等边三角形判定与几何计算能力。 答案与解析 【答案】 5 【分析】（Ⅰ）因为菱形四边相等，所以，又因为，所以是等边三角形，由此可直接得到的长度． （Ⅱ）过点作，交于点， 过作于点，根据等边三角形的性质和判定先证得是等边三角形，进而可证得，可求得的长度，在中，，可求出的长，最后可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：（Ⅰ）菱形， ． 又， 是等边三角形， ． （Ⅱ）过点作，交于点， 过作于点，如图： 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ． ， ， 又， ， ． ， ． 已知是中点，， ， 由菱形性质得，即． 在中，， ， ， ． 在中，由勾股定理： ， （负值已舍去）． 知识总结 ①核心概念：菱形四边相等；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；勾股定理a²+b²=c²。②解题要点：连接对角线，证明等边三角形，再作垂线构造直角三角形。③关联拓展：菱形常与等边三角形、勾股定理、相似综合。 18．如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，点，均在格点上，点在网格线上，以为直径的半圆经过点B． （Ⅰ）线段 的长为________； （Ⅱ）点在线段上，点 在线段上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：圆的性质与网格无刻度直尺作图。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：在正方形网格中，以某线段为直径的半圆经过一点，要求用无刻度直尺作满足特定比例关系的点。 （2）问题设计：问题设计：第（Ⅰ）问用勾股定理求线段长；第（Ⅱ）问利用圆心、中点、平行四边形和圆内接四边形性质构造满足条件的点。 （3）考查目标：考查目标：考查网格作图能力、圆的性质与几何推理能力。 答案与解析 【答案】 ；设分别与格线交于点O，点D，连接并延长交格线于点E，连接交于点M，交格线于点F，设交格线于点G，连接并延长交格线于点，连接交半圆于点K，连接交于点N，则点M，点N即为所求． 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）可证明点O为的中点，点D为的中点，点D为的中点，点G为的中点，点G为的中点，则可证明四边形是菱形，得到；证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是平行四边形，得到；由圆内接四边形对角互补可得，则可证明，得到，据此可证明四点共圆，得到，则． 【详解】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得； （Ⅱ）如图所示，连接，取格点P、Q， 可证明，得到，则点O为的中点，即点O为半圆的圆心， 同理可得点D为的中点，点D为的中点，点G为的中点，点G为的中点， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴； 同理可证明四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴． 知识总结 ①核心概念：直径所对圆周角为直角；圆内接四边形对角互补；平行四边形对边平行且相等。②解题要点：先确定圆心，再利用网格特征找中点和构造平行四边形。③关联拓展：网格作图常与对称、旋转、位似、圆结合。 三、解答题 19．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 命题透视 ►核心考点：核心考点：一元一次不等式组。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，按要求解不等式组并在数轴上表示解集。 （2）问题设计：问题设计：分四步：分别解两个不等式、在数轴上表示、写出公共解集。 （3）考查目标：考查目标：考查不等式求解与解集表示能力。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3)如图： (4) 【分析】（1）利用解一元一次不等式的方法求解即可； （2）利用解一元一次不等式的方法求解即可； （3）利用两个不等式的解画图即可； （4）根据数轴即可写出原不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并，得； （2）解：， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得； （3）略 （4）解：由数轴可知，不等式组的解集为． 知识总结 ①核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。②解题要点：分别解每个不等式，借助数轴确定公共部分。③关联拓展：常与方程组、一次函数图象、实际应用综合。 20．某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校 名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： 的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是的人数约为多少？ 命题透视 ►核心考点：核心考点：条形统计图、扇形统计图、平均数、众数、中位数。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以学校调查学生周末绿色出行次数为背景，综合考查统计图表分析。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求样本容量、百分比、众数和中位数；第（2）问求平均数；第（3）问用样本估计总体。 （3）考查目标：考查目标：考查统计图信息提取、统计量计算与应用意识。 答案与解析 【答案】(1)，，，． (2) (3)人 【分析】（1）根据“部分量对应占比总量”可计算的值；也可将条形图中各组人数相加得到，因为扇形统计图各部分占比总和为1，所以用1减去其余各组的占比得到5次对应的占比，即的值，找出出现次数最多的出行次数即可求出众数，将所有数据从小到大排序，因为总人数为，若为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数，取中间位置的数； （2）使用加权平均数公式，将每次出行次数乘以对应人数后求和，再除以总人数； （3）估计总人数中出行6次的人数：因为样本中出行6次的人数占比可求，所以用总人数1200乘以该占比得到估计值． 【详解】（1）解：因为出行3次共6人，占比， 所以， 因为百分比总和为， 所以， 因为出行次数为5次的人数最多（15人），因此众数是． 因为总共有50个数据，中位数为排序后第25、26个数据的平均数，排序后第25、26个数据都是5，因此中位数是． （2）解：根据加权平均数公式： （人） 答：这组数据的平均数为． （3）解：样本中绿色出行次数为6次的人数占比为，因此估计全校1200名学生中： （人） 答：估计该校周末绿色出行次数为6次的人数约为人． 知识总结 ①核心概念：众数是出现次数最多的数据；中位数是排序后中间位置的数；平均数=总和÷个数。②解题要点：先由已知项目人数和百分比求总人数，再依次求解。③关联拓展：统计综合题常与概率、决策分析结合。 21．已知点 ， 在 上，，点在上，点在以 ， 为端点的优弧上． (1)如图①，当为的中点时，若，求和的大小； (2)如图②，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若 的半径为 ，求和的长． 命题透视 ►核心考点：核心考点：圆的性质、切线、圆周角与解直角三角形。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯几何情境，圆中弦、弧、切线与平行线综合。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问利用弧中点、圆周角定理求角度；第（2）问利用切线性质、平行线性质和解直角三角形求线段长。 （3）考查目标：考查目标：考查圆与解直角三角形的综合推理能力。 答案与解析 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接，根据题意可得，则可得到，由圆周角定理可得；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出的度数，进而可求出的度数； （2）连接，由切线的性质得到，则由平行线的性质可得；由勾股定理可求出；求出，则由圆周角定理得到；可证明，则，解直角三角形求出的长即可． 【详解】（1）解：如图①所示，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图②所示，连接， ∵与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∵ 的半径为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 知识总结 ①核心概念：切线垂直于过切点的半径；同弧所对圆周角相等；等腰直角三角形两锐角为45°。②解题要点：连接半径，利用切线性质得直角，再结合圆周角定理转化角。③关联拓展：圆的综合题常与全等、相似、三角函数结合。 22．综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 命题透视 ►核心考点：核心考点：解直角三角形的实际应用。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以测量引滦入津工程纪念碑高度为背景，结合斜坡、平台与仰角进行测量。 （2）问题设计：问题设计：通过作垂线构造多个直角三角形，利用斜坡倾斜角和仰角求纪念碑高度。 （3）考查目标：考查目标：考查跨学科实践中的数学建模与应用能力。 答案与解析 【答案】引滦入津工程纪念碑的高度约为． 【分析】分别在中，得出，在中，得出，再根据，列式求出，过点C作，垂足为H，在中，利用，求出，再利用四边形是矩形，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意，有， 在中，，， 得， 在中，，， 得， ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作，垂足为H， 在中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即引滦入津工程纪念碑的高度约为． 知识总结 ①核心概念：解直角三角形可利用正弦、余弦、正切；矩形对边相等。②解题要点：过关键点作水平或竖直垂线，将斜向距离转化为直角三角形中的边。③关联拓展：测量高度、距离问题常利用解直角三角形或相似三角形。 23．已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2)当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 命题透视 ►核心考点：核心考点：一次函数图象、分段函数与待定系数法。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以小杰从家出发骑行到体育公园、民俗文化馆再回家的过程为背景，给出离家距离与时间的函数图象。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问根据图象填表；第（2）问分段求函数解析式；第（3）问结合爷爷步行路线，求满足特定条件的时刻。 （3）考查目标：考查目标：考查分段函数建模与数形结合能力。 答案与解析 【答案】(1)填表如下： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2) (3)或或 【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家时离家的距离；再根据图象分别得到小杰离开家和时离家的距离，即可填表； （2）分三种情况讨论：、、，结合图象，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意与满足一次函数关系，利用待定系数法求出，再分三种情况讨论：、、，令，即可求出的值． 【详解】（1）解：小杰骑行到体育公园的速度为， ∴当小杰离开家时，离家的距离为； 由图象得，当小杰离开家时，离家的距离为； 当小杰离开家时，离家的距离为； 填表略； （2）解：当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时，由图象得，， ∴； 当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 综上，小杰离家的距离关于时间的函数解析式为； （3）解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为， 由题意得，与满足一次函数关系，设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的值为或或． 知识总结 ①核心概念：一次函数y=kx+b中，k表示变化速度，b表示初始值；待定系数法求解析式。②解题要点：先确定图象上关键点坐标，分段设解析式并代入求解。③关联拓展：行程问题常结合一次函数图象、方程与不等式。 24．将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ， 分别在第一、第四象限，且关于 轴对称，，，． (1)填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； (2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点落在 轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线 分别与边，相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为，，与 相交于点 ，与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 命题透视 ►核心考点：核心考点：折叠、轴对称与二次函数最值。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：将四边形纸片放置在坐标系中，沿垂直于x轴的直线折叠，探究重叠部分面积与参数的关系。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求顶点坐标；第（2）问①用含参数的式子表示线段长并写范围；②求重叠部分面积为某值时参数的取值范围。 （3）考查目标：考查目标：考查折叠变换、轴对称、二次函数最值与分类讨论能力。 答案与解析 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）连接交 轴于点，然后解，再根据轴对称的性质即可求解； （2）①导角得到，则，那么，然后解，即可求解，然后找出两个临界位置求解的取值范围即可； ②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解的取值范围． 【详解】（1）解：连接交 轴于点， ∵，，． ∴由对称可得，，， ∴，，， ∴，， ∵点A，C关于x轴对称， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴， ∴ ∴ ∴， 由得，， 在中，，得 ∴ 当点重合时，如图： 此时由（1）可得，； 当点重合时，如图： 此时，则， ∴的取值范围为； ②当时，如图，记直线 与交于点，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴由对称可得，，， ∴， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大 ∴时，；时，， ∴时，； 当，重叠部分为五边形，延长交直线于点， 在中，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴， 即 ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为， 当时，可求；当时，可求， ∴当时，； 当时，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴， ∴由对称可得，， ∴， 即， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，可求；时，可求， ∴当时， 综上：． 知识总结 ①核心概念：折叠前后对应边相等、对应角相等；轴对称性质；二次函数最值可用配方法或顶点公式求。②解题要点：按折叠后重叠部分的不同形状分段讨论，分别建立面积函数。③关联拓展：折叠问题常与勾股定理、相似、二次函数最值综合。 25．已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为． (1)当，，时，求点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若，求的值； ②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值． 命题透视 ►核心考点：核心考点：二次函数综合、等腰直角三角形与线段最值。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：已知抛物线顶点及与坐标轴交点，探究线段长度关系与最值。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求顶点坐标；第（2）问①当某角为45°时求参数值；②利用等腰直角三角形、平行四边形和全等变换求线段最小值。 （3）考查目标：考查目标：考查二次函数与几何综合的推理、运算和探究能力，是全卷压轴题。 答案与解析 【答案】(1)点的坐标为； (2)①的值为6；②的值为． 【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解； （2）①求得顶点的坐标为，作轴于点，得到和都是等腰直角三角形，推出，求得，把，代入求解即可； ②根据题意求得，，作轴于点，则是等腰直角三角形，得到四边形是平行四边形，推出，过点作，且，证明，得到，推出，则当共线时，有最小值，即有最小值，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴点的坐标为； （2）解：①由题意得， 对称轴为直线， 顶点的坐标为， 作轴于点， 如图，由题意得点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得（舍去），， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为6； ②∵点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点，， 作轴于点，则是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，即有最小值， ∵，，，且取得最小值为， ∴，即， 解得， ∴的值为． 知识总结 ①核心概念：抛物线顶点坐标可用配方法或公式法求；等腰直角三角形两腰相等、两锐角45°；线段和最短常用平移、对称转化为两点之间线段最短。②解题要点：利用等腰直角三角形性质构造全等，将折线段转化为直线段求最值。③关联拓展：二次函数压轴题常与一次函数、三角形、圆、相似、最值综合，注意数形结合与分类讨论。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $