函数与导数专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以八大模块为框架，通过基础-中档-压轴题梯度设计，系统整合导数应用方法，强化真实情境建模与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数定义域|2题|根式/对数条件交集法|概念生成→运算规则→综合应用| |导数应用基础|7题|单调性判定/最值求法|导数几何意义→单调区间→实际优化| |导数应用进阶|7题|分离参数/分类讨论/构造函数|恒成立→零点问题→不等式证明递进|

高考数学一轮复习·函数与导数专题训练 — 2027届高考数学一轮复习精品资料 — 函数与导数专题训练 （含详细解析与备考指导） ════════════════════════════════ 适用对象：2027届新高三师生（一轮复习阶段） 命题导向：回归基础 · 素养立意 · 反套路 题型结构：选择题8道 + 填空题4道 + 解答题4道（共16题） 总分 / 用时：110分 / 120分钟 难度梯度：基础题40% + 中档题40% + 压轴题20% ════════════════════════════════ 资料简介：本套训练资料紧扣2026年高考数学命题趋势，以"回归基础、素养立意、反套路"为核心理念，覆盖函数与导数专题八大知识模块，重点突出导数的应用。所有试题均为原创编制，每题配有【命题意图】【解题思路】【详细过程】【易错点提示】四模块详尽解析，融入储能电池、新能源等真实情境背景，体现"递进式探究""多想少算"的2026高考命题新特征，适合2027届新高三一轮复习使用。 编制日期：2026年6月24日 目 录 一、命题说明与知识模块分布 5 二、试题部分 8 一、选择题 8 二、填空题 11 三、解答题 12 三、参考答案与详细解析 16 一、选择题解析 16 第1题 16 第2题 17 第3题 19 第4题 21 第5题 23 第6题 25 第7题 27 第8题 29 二、填空题解析 32 第9题 32 第10题 34 第11题 37 第12题 41 三、解答题解析 45 第13题 45 第14题 50 第15题 56 第16题 61 四、附录：备考建议 68 一、命题说明与知识模块分布 本套训练资料紧扣2026年高考数学命题趋势，以"回归基础、素养立意、反套路"为核心理念，覆盖函数与导数专题八大知识模块，重点突出模块五（导数的应用-基础）和模块六（导数的应用-进阶）。 题型结构：选择题8道 + 填空题4道 + 解答题4道，共16题 难度梯度：基础题约40% + 中档题约40% + 压轴题约20% 总分：110分 建议用时：120分钟 知识模块分布表 题号 题型 分值 难度 所属模块 核心考点 1 选择 5 基础 模块一 函数定义域 2 选择 5 基础 模块二 指对数比较大小 3 选择 5 基础 模块四 导数几何意义·切线 4 选择 5 中档 模块五 导数与单调性 5 选择 5 中档 模块五 导数与最值 6 选择 5 中档 模块六 导数与恒成立 7 选择 5 中档 模块七 函数零点个数 8 选择 5 压轴 模块六 导数综合·零点与参数 9 填空 5 基础 模块一 函数定义域 10 填空 5 基础 模块四 导数运算 11 填空 5 中档 模块五 情境化最值问题 12 填空 5 压轴 模块六 导数与不等式恒成立 13 解答 12 基础 模块五 单调区间与最值 14 解答 12 中档 模块五 实际情境优化问题 15 解答 12 中档 模块六 分类讨论·恒成立 16 解答 14 压轴 模块六 递进式探究·不等式证明 函数与导数知识结构思维导图 图1 函数与导数知识结构思维导图（覆盖八大知识模块） 试题难度分布图 图2 试题难度分布图（基础6题·中档7题·压轴3题） 二、试题部分 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 一、选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （5分）已知函数 f(x) = + ln(6 − x − )，则函数 f(x) 的定义域为 A. [-3, -2] B. (-3, -2] C. [-3, -2) D. (-3, 2) 答：_______ 2. （5分）已知 a = lo 0.8，b = 0.，c = 0.，则 A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. c < a < b 答：_______ 3. （5分）已知曲线 C: y = () − 2x，则曲线 C 在点 P 处的切线与直线 y = 2x 平行的点 P 的坐标为 A. (2, -4/3) B. (-2, 4/3) C. (2, -4/3) 或 (-2, 4/3) D. (2, 4/3) 或 (-2, -4/3) 答：_______ 4. （5分）函数 f(x) = ( − 2x) / 的单调递增区间为 A. (2 - , 2 + ) B. (-∞, 2 - ) 和 (2 + , +∞) C. (-∞, 2) D. (0, 2) 答：_______ 5. （5分）函数 f(x) = 2sin x + x 在区间 [0, π] 上的最大值为 A. π B. + C. 2π/3 + D. 2π 答：_______ 6. （5分）已知函数 f(x) = x − a （a ∈ ℝ）。若 f(x) ≥ 0 对任意 x ∈ [0, +∞) 恒成立，则实数 a 的取值范围是 A. a ≤ B. a ≤ e C. a ≤ D. a ≤ /4 答：_______ 7. （5分）方程 − 3x + 3 = 0 的实根个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答：_______ 8. （5分）已知函数 f(x) = − a （a ∈ ℝ）恰有两个零点，则实数 a 的值为 A. /4 B. e/2 C. /2 D. e 答：_______ 二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. （5分）已知函数 f(x) = 1/ + ln(x − 2)，则 f(x) 的定义域为 _________. 　　 　　 10. （5分）已知 f(x) = ，则 f'(x) = _________. 　　 　　 11. （5分）某科技公司在研发新型储能电池时，测得电池的能量密度 E（单位：Wh/kg）与工作温度 t（单位：°C）近似满足关系 E(t) = - + 12 + 100（0 ≤ t ≤ 12）。为使能量密度最大，工作温度应设为 _________ °C。 　　 　　 12. （5分）已知函数 f(x) = − ax（a ∈ ℝ）。若 f(x) ≥ 0 对任意 x ∈ ℝ 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _________. 　　 　　 三、解答题 （本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本小题满分12分） 已知函数 f(x) = − 3 + 2。 （1）求 f(x) 的单调区间；（5分） （2）求 f(x) 在 [-1, 3] 上的最大值和最小值。（7分） 解： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 14.（本小题满分12分） 某新能源企业设计一款圆柱形储能电池，要求电池容积为 108π c。电池的顶盖和底盖采用特种合金材料，成本为 2 元/c；侧面采用标准材料，成本为 1 元/c。设电池底面半径为 r cm，高为 h cm（材料厚度不计）。 （1）将总材料成本 C（元）表示为 r 的函数 C(r)，并写出定义域；（5分） （2）当 r 为何值时，总成本最小？并求出最小成本。（7分） 解： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 15.（本小题满分12分） 已知函数 f(x) = ln x − ax + 1（a ∈ ℝ）。 （1）讨论 f(x) 的单调性；（6分） （2）若 f(x) ≤ 0 对任意 x ∈ (0, +∞) 恒成立，求 a 的取值范围。（6分） 解： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 16.（本小题满分14分） 已知函数 f(x) = − ax − 1（a ∈ ℝ）。 （1）若 a = 1，求 f(x) 的最小值；（4分） （2）若 f(x) ≥ 0 对任意 x ∈ ℝ 恒成立，求 a 的值；（4分） （3）利用（1）（2）的结论，证明：对任意正整数 n， (1 + < e < (1 + （6分） 解： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 三、参考答案与详细解析 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 一、选择题解析 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第1题 【答案】B 【命题意图】 本题考查函数定义域的求解，涉及根式、对数函数的定义域条件，以及不等式组的交集运算。属于基础题，考查基本概念和运算能力。 【解题思路】 分别求出 和 ln(6-x-) 各自有意义的条件，取交集。 【详细过程】 要使 f(x) 有意义，需同时满足： 条件①： - 4 ≥ 0（根式有意义），即 x ≤ -2 或 x ≥ 2； 条件②：6 - x - > 0（对数真数大于零），即 + x - 6 < 0，因式分解得 (x+3)(x-2) < 0，解得 -3 < x < 2。 取交集：{x | x ≤ -2 或 x ≥ 2} ∩ {x | -3 < x < 2} = (-3, -2] 故 f(x) 的定义域为 (-3, -2]。 【易错点提示】 · 根式下条件是 ≥ 0（可以等于零），但对数真数条件是 > 0（严格大于零），注意区分。 · 解二次不等式 (x+3)(x-2) < 0 时不要搞反方向。 · 取交集时注意端点值的取舍：x = -3 不满足条件②（开区间），x = -2 满足两个条件（闭端点）。 【知识链接】 人教A版必修第一册第三章"函数的概念与性质"——函数的定义域。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第2题 【答案】A 【命题意图】 本题考查指数函数、对数函数的性质及大小比较，需要利用中间值法和函数单调性进行判断。属于基础题。 【解题思路】 分别确定 a、b、c 的符号和范围，利用中间值 0 和 1 进行比较。 【详细过程】 判断 a：a = lo 0.8，底数 0.5 ∈ (0,1)，对数函数递减。 由于 0 < 0.8 < 1，故 lo 0.8 > lo 1 = 0。 又由于 0.8 > 0.5，故 lo 0.8 < lo 0.5 = 1。所以 0 < a < 1。 更精确地，a = ln0.8/ln0.5 = ln1.25/ln2 ≈ 0.223/0.693 ≈ 0.322。 判断 b：b = 0.，底数 0.5 ∈ (0,1)，指数函数递减。 由于 0.8 > 0，故 0. < 0. = 1。又由于 0.8 < 1，故 0. > 0. = 0.5。 所以 0.5 < b < 1，精确值 b ≈ 0.574。 判断 c：c = 0. = 。 由于 0.8 < 1，故 < 1。由于 0.8 > 0.64，故 > = 0.8。 所以 c > 0.8，精确值 c ≈ 0.894。 比较三者：a ≈ 0.322 < b ≈ 0.574 < c ≈ 0.894 因此 a < b < c。 【易错点提示】 · 当底数在 (0,1) 时，指数函数和对数函数都是递减的，容易搞反单调性。 · 比较时可以借助中间值 0、1、 等。 · 0. = ，当 0 < 0.8 < 1 时 > 0.8（因为 x^α > x 当 0 < x < 1 且 0 < α < 1）。 【知识链接】 人教A版必修第一册第四章"指数函数与对数函数"——指数、对数函数的性质。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第3题 【答案】C 【命题意图】 本题考查导数的几何意义，利用导数求切线斜率，以及切线与已知直线平行的条件。属于基础题。 【解题思路】 求导数 y'，令 y' = 2（与 y = 2x 平行即斜率相等），解出 x 坐标，再求 y 坐标。 【详细过程】 y = () - 2x，则 y' = - 2。 切线与 y = 2x 平行，故切线斜率等于 2： - 2 = 2 ⟹ = 4 ⟹ x = 2 或 x = -2 当 x = 2 时：y = 8/3 - 4 = -4/3，点 P 为 (2, -4/3)； 当 x = -2 时：y = -8/3 + 4 = 4/3，点 P 为 (-2, 4/3)。 故点 P 的坐标为 (2, -4/3) 或 (-2, 4/3)。 【易错点提示】 · "切线与直线 y = 2x 平行"意味着斜率等于 2，不是法线斜率。 · 解方程 = 4 有两个解 x = ±2，不要遗漏 x = -2 的情况。 · 求出 x 后要代回原函数求 y 坐标，不是代入导数。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章"导数及其应用"——导数的几何意义。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第4题 【答案】A 【命题意图】 本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及商的导数法则和二次不等式的求解。属于中档题。 【解题思路】 对 f(x) 求导，令 f'(x) > 0 解出单调递增区间。 【详细过程】 f(x) = ( - 2x) / 利用商的导数法则： f'(x) = [(2x-2) - (-2x)] / ( = (-+4x-2) / 由于 > 0 恒成立，故 f'(x) 的符号由分子 - + 4x - 2 决定。 令 f'(x) > 0：- + 4x - 2 > 0 ⟹ - 4x + 2 < 0 解方程 - 4x + 2 = 0：x = (4 ± ) / 2 = 2 ± 故 f'(x) > 0 当且仅当 2 - < x < 2 + 。 所以 f(x) 的单调递增区间为 (2-, 2+)。 【易错点提示】 · 商的导数公式 ()' = (u'v - uv') / ，注意分子顺序是 u'v - uv'，不要写反。 · 恒为正，不影响 f'(x) 的符号，但仍需在求导过程中正确处理。 · 解二次不等式时注意开口方向：- + 4x - 2 > 0 等价于 - 4x + 2 < 0。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——利用导数研究函数的单调性。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第5题 【答案】C 【命题意图】 本题考查利用导数求闭区间上连续函数的最大值，涉及三角函数的导数和极值分析。属于中档题，体现"多想少算"的命题导向。 【解题思路】 求导，找驻点和端点，比较函数值大小。 【详细过程】 f(x) = 2sin x + x，x ∈ [0, π]。 f'(x) = 2cos x + 1 令 f'(x) = 0：2cos x + 1 = 0 ⟹ cos x = - ⟹ x = 2π/3 (x ∈ [0, π]) 驻点：x = 2π/3；端点：x = 0，x = π。 计算各点函数值： f(0) = 0 + 0 = 0 f(2π/3) = 2sin(2π/3) + 2π/3 = 2×(/2) + 2π/3 = + 2π/3 f(π) = 2sin π + π = 0 + π = π 比较大小： + 2π/3 ≈ 1.732 + 2.094 = 3.826 > π ≈ 3.14 > 0 故最大值为 + 2π/3，在 x = 2π/3 处取得。 【易错点提示】 · cos x = - 在 [0, π] 上的解是 x = 2π/3，不要遗漏解或取错区间。 · sin(2π/3) = /2（第二象限正弦为正），不要误认为负值。 · 比较大小时要计算实际值或用不等式论证，不能凭直觉。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——利用导数研究函数的极值与最值。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第6题 【答案】B 【命题意图】 本题考查导数与不等式恒成立问题，需要通过分离参数法将问题转化为求函数最值。属于中档题。 【解题思路】 当 x = 0 时 f(0) = 0 自动满足；当 x > 0 时，分离参数 a，转化为求函数 g(x) = /x 的最小值。 【详细过程】 f(x) = x - a ≥ 0，即 x( - ax) ≥ 0。 当 x = 0 时：f(0) = 0 ≥ 0，恒成立。 当 x > 0 时：需 - ax ≥ 0，即 a ≤ /x。 要使此式对任意 x > 0 恒成立，需 a ≤ (/x)_min。 设 g(x) = /x（x > 0），求其最小值： g'(x) = (x - ) / = (x-1) / · 当 0 < x < 1 时，g'(x) < 0，g(x) 单调递减； · 当 x > 1 时，g'(x) > 0，g(x) 单调递增。 故 g(x) 在 x = 1 处取得最小值：g(1) = e。 因此 a ≤ e，即 a 的取值范围是 (-∞, e]。 【易错点提示】 · 注意分 x = 0 和 x > 0 两种情况讨论。x = 0 时 f(0) = 0 自动满足，不能直接除以 x。 · 分离参数后要求 a ≤ g(x) 对所有 x > 0 成立，应取 g(x) 的最小值，不是最大值。 · 求导时正确使用商的导数法则：(/x)' = (x - ) / 。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——导数与不等式恒成立问题（分离参数法）。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第7题 【答案】B 【命题意图】 本题考查利用导数研究三次函数的零点个数，需要通过极值的符号来判断函数图象与 x 轴的交点个数。属于中档题，体现"多想少算"的思维导向——不需画出精确图象，通过极值符号即可判断。 【解题思路】 求导找极值，判断极值的符号，结合函数在无穷远处的变化趋势，确定零点个数。 【详细过程】 设 f(x) = - 3x + 3，则 f'(x) = 3 - 3 = 3(x-1)(x+1)。 令 f'(x) = 0，得 x = -1 或 x = 1。 列表分析： x (-∞, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +∞) f '(x) + 0 − 0 + f(x) ↗ 极大值5 ↘ 极小值1 ↗ 计算极值： f(-1) = -1 + 3 + 3 = 5 > 0（极大值） f(1) = 1 - 3 + 3 = 1 > 0（极小值） 分析零点个数： · 当 x → -∞ 时，f(x) → -∞；而 f(-1) = 5 > 0。由于 f 在 (-∞, -1) 上连续且单调递增，由零点存在定理，f(x) 在 (-∞, -1) 上有且仅有 1 个零点。 · 在 [-1, 1] 上，f(x) ≥ min{f(-1), f(1)} = 1 > 0，故无零点。 · 在 (1, +∞) 上，f(x) 单调递增且 f(1) = 1 > 0，故 f(x) > 0，无零点。 综上，方程 - 3x + 3 = 0 有且仅有 1 个实根。 【易错点提示】 · 三次函数不一定有三个实根！当极大值和极小值同号（同正或同负）时，只有一个实根。 · 极小值 f(1) = 1 > 0 意味着函数在 x = 1 附近不穿过 x 轴，这是判断零点个数的关键。 · 判断零点个数时，必须结合函数在无穷远处的趋势（x → ±∞）和极值的符号。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——利用导数研究函数的零点。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第8题 【答案】A 【命题意图】 本题综合考查导数、函数零点与参数的关系，需要深入分析函数的性质。属于压轴选择题，体现分类讨论和数形结合的思想。 【解题思路】 将零点问题转化为方程 a = / 的解的个数问题，通过研究函数 g(x) = / 的图象特征，确定"恰有两个零点"时 a 的值。 【详细过程】 f(x) = - a = 0 ⟺ = a ⟺ a = /（x ≠ 0） 设 g(x) = /（x ≠ 0），问题转化为：直线 y = a 与曲线 y = g(x) 恰有两个交点时，a 的值。 求 g(x) 的单调性：g'(x) = (x-2) / 当 x > 0 时： · 0 < x < 2：g'(x) < 0，g(x) 单调递减； · x > 2：g'(x) > 0，g(x) 单调递增。 g(x) 在 x = 2 处取得最小值 g(2) = /4。 且 lim(x→) g(x) = +∞，lim(x→+∞) g(x) = +∞。 当 x < 0 时： < 0，x-2 < 0， > 0，故 g'(x) > 0，g(x) 单调递增。 且 lim(x→-∞) g(x) = ，lim(x→) g(x) = +∞。 所以 g(x) 在 (-∞, 0) 上的值域为 (0, +∞)，在 (0, +∞) 上的值域为 [/4, +∞)。 分析 y = a 与 y = g(x) 的交点个数： · a ≤ 0：无交点，f 无零点； · 0 < a < /4：(-∞,0) 上 1 个交点，(0,+∞) 上无交点，共 1 个零点； · a = /4：(-∞,0) 上 1 个交点，(0,+∞) 上 1 个交点（x=2 处相切），共 2 个零点； · a > /4：(-∞,0) 上 1 个交点，(0,+∞) 上 2 个交点，共 3 个零点。 因此，f(x) 恰有两个零点时，a = /4。 【易错点提示】 · 需要分 x > 0 和 x < 0 两个区间分析 g(x) 的性质，不能遗漏 x < 0 的情况。 · 当 x < 0 时，g'(x) = (x-2)/ 的符号判断要仔细：三个因子的符号分别为 +、-、-，总体为正。 · "恰有两个零点"是精确条件，不是"至少两个"。a > /4 时有 3 个零点，不符合题意。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——导数综合应用，分离参数与函数零点问题。 二、填空题解析 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第9题 【答案】(2, +∞) 【命题意图】 考查函数定义域的求解，注意分式中分母不为零的条件。 【解题思路】 分别求 1/ 和 ln(x-2) 有意义的条件，取交集。 【详细过程】 要使 f(x) 有意义，需同时满足： 条件①： 作为分母且根式有意义，需 - 4 > 0（严格大于零，因为分母不能为零），即 x < -2 或 x > 2； 条件②：ln(x-2) 有意义，需 x - 2 > 0，即 x > 2。 取交集：{x | x < -2 或 x > 2} ∩ {x | x > 2} = (2, +∞)。 【易错点提示】 · 1/ 中， 在分母位置，不能为零，故 - 4 > 0（严格不等号），而非 ≥ 0。 · 与第1题对比：第1题中 不在分母，条件是 ≥ 0；本题在分母，条件是 > 0。 【知识链接】 人教A版必修第一册第三章——函数的定义域。注意分母中含有根式时，条件需升级为严格不等号（>0），与第1题（根式不在分母，≥0）形成对比。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第10题 【答案】x(2 - x) 【命题意图】 考查乘积的导数法则和复合函数求导。 【解题思路】 使用乘法法则 (uv)' = u'v + uv'，其中 u = ，v = 。 【详细过程】 f(x) = · f'(x) = ()'· + ()' = 2 + (-) = 2 - = (2x - = x(2 - x 【易错点提示】 · ()' = -，注意负号，不要遗漏。这是复合函数求导：(eᵘ)' = eᵘ·u'，此处 u = -x，u' = -1。 · 最终结果因式分解为 x(2-x)，形式更简洁。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——导数的运算。综合考查乘法法则 (uv)' = u'v + uv' 与复合函数求导 (eᵘ)' = eᵘ · u'，是后续利用导数研究函数性质的运算基础。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第11题 【答案】8 【命题意图】 本题以新能源电池研发为情境背景，考查利用导数求实际问题的最值，体现2026高考"情境真实，强化建模"的命题导向。 【解题思路】 对 E(t) 求导，在区间 [0, 12] 内找驻点，比较驻点和端点的函数值。 【详细过程】 E(t) = - + 12 + 100，t ∈ [0, 12]。 E'(t) = -3 + 24t = -3t(t - 8) 令 E'(t) = 0，得 t = 0 或 t = 8（均在 [0, 12] 内）。 列表分析： t (0, 8) 8 (8, 12) E '(t) + 0 − E(t) ↗ 极大值356 ↘ E(0) = 100 E(8) = -512 + 768 + 100 = 356 E(12) = -1728 + 1728 + 100 = 100 故 E(t) 在 t = 8 时取得最大值 356 Wh/kg。 工作温度应设为 8 °C。 图3 储能电池能量密度随工作温度变化曲线（第11题） 【易错点提示】 · t = 0 也是驻点，但它是区间的端点，不是极值点。 · 实际问题中要注意自变量的范围限制（0 ≤ t ≤ 12）。 · 解 -3t(t-8) = 0 时，不要遗漏 t = 0 这个解。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——导数在实际问题中的应用。以新能源储能电池研发为情境，考查利用导数求实际问题最值的基本流程（建模→求导→找驻点→比较端点），与第14题属于同一题型梯度。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第12题 【答案】[0, e] 【命题意图】 本题考查利用导数研究含参不等式恒成立问题，需要分情况讨论参数 a 的取值范围。属于压轴填空题。 【解题思路】 按 a 的取值情况分类讨论：a = 0、a < 0、a > 0，分别判断 f(x) ≥ 0 是否恒成立。 【详细过程】 f(x) = - ax ≥ 0 对任意 x ∈ ℝ 恒成立。 f'(x) = - a 情形一：a = 0 f(x) = > 0 对所有 x ∈ ℝ 恒成立。✓ 情形二：a < 0 f(x) = + |a|x。当 x → -∞ 时， → 0，|a|x → -∞，故 f(x) → -∞。 不满足 f(x) ≥ 0 恒成立。✗ 情形三：a > 0 令 f'(x) = 0： = a，得 x = ln a。 f(x) 在 x = ln a 处取得最小值： f(ln a) = e^(ln a) - ln a = a - ln a = a(1 - ln a) 需要 f(ln a) ≥ 0，即 a(1 - ln a) ≥ 0。 由于 a > 0，故需 1 - ln a ≥ 0，即 ln a ≤ 1，即 a ≤ e。 所以当 0 < a ≤ e 时，f(x) ≥ 0 恒成立。✓ 综合三种情况：a 的取值范围是 [0, e]。 【易错点提示】 · 必须分 a = 0、a < 0、a > 0 三种情况讨论，不能默认 a > 0。 · a < 0 时，f(x) → -∞（x → -∞），不满足条件——这是容易遗漏的情形。 · 求最小值时，f(ln a) = a(1 - ln a)，注意 a > 0，所以只需 1 - ln a ≥ 0。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——导数与不等式恒成立。考查分类讨论思想与转化思想（恒成立→最值≥0），与第15题的恒成立问题属于同一知识体系。 三、解答题解析 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第13题 【答案】 （1）单调递增区间为 (-∞, 0) 和 (2, +∞)；单调递减区间为 (0, 2)。 （2）在 [-1, 3] 上，最大值为 2（在 x = 0 和 x = 3 处取得），最小值为 -2（在 x = -1 和 x = 2 处取得）。 【命题意图】 本题考查利用导数求三次函数的单调区间和闭区间上的最值，是导数应用的基础题型。 【解题思路】 (1) 求导 → 令 f'(x) = 0 找分界点 → 列表判断符号 → 写出单调区间。(2) 找出区间内的驻点和端点，计算所有关键点的函数值，比较大小。 【详细过程】 f(x) = - 3 + 2 f'(x) = 3 - 6x = 3x(x - 2) 令 f'(x) = 0，得 x = 0 或 x = 2。 （1）单调区间分析： x (-∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞) f '(x) + 0 − 0 + f(x) ↗ 极大值2 ↘ 极小值-2 ↗ （2）求 f(x) 在 [-1, 3] 上的最大值和最小值： 区间 [-1, 3] 内的驻点为 x = 0 和 x = 2，端点为 x = -1 和 x = 3。 计算各点函数值： f(-1) = (-1 - 3(-1 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 f(0) = 0 - 0 + 2 = 2 f(2) = 8 - 12 + 2 = -2 f(3) = 27 - 27 + 2 = 2 比较得： · 最大值为 2，在 x = 0 和 x = 3 处取得； · 最小值为 -2，在 x = -1 和 x = 2 处取得。 【易错点提示】 · 求闭区间最值时，必须同时考虑驻点和端点，不能只看极值。 · 本题中最大值和最小值各在两个点取得，体现了函数的对称性特征。 · f'(x) = 3x(x-2)，因式分解时不要漏掉系数 3。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——利用导数研究函数的单调性与最值。模块五核心内容：本题是导数应用的基础题型，"求导→因式分解→列表判号→写区间"的标准流程贯穿整个模块五。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第14题 【答案】 （1）C(r) = 4π + 216π/r（r > 0）。 （2）当 r = 3 cm 时，总成本最小，最小成本为 108π 元（约 339.3 元）。 【命题意图】 本题以新能源储能电池设计为情境背景，考查利用导数解决实际优化问题的能力，体现2026高考"情境真实，强化建模"的命题导向。 【解题思路】 (1) 由容积公式求 h 关于 r 的表达式，再分别计算顶盖、底盖和侧面的面积与成本。(2) 对 C(r) 求导，令 C'(r) = 0 找驻点，验证极小值，计算最小成本。 【详细过程】 （1）建立成本函数： 由题意，电池容积为 π h = 108π，故 h = 108/ 顶盖和底盖面积之和 = 2π ，单位成本 2 元/c，成本 = 2 × 2π = 4π 元； 侧面面积 = 2π r h = 2π r × 108/ = 216π/r，单位成本 1 元/c，成本 = 216π/r 元。 故总成本函数为：C(r) = 4π + 216π/r（r > 0） （2）求最小成本： C'(r) = 8π r - 216π/ 令 C'(r) = 0：8π r = 216π/ ⟹ 8 = 216 ⟹ = 27 ⟹ r = 3 验证极小值：C''(r) = 8π + 432π/ > 0（对一切 r > 0 恒成立） 故 C(r) 在 r = 3 处取得唯一极小值，即最小值。 此时：h = 108/9 = 12 cm C(3) = 4π×9 + 216π/3 = 36π + 72π = 108π（元） 答：当底面半径 r = 3 cm（此时高 h = 12 cm）时，总成本最小，最小成本为 108π 元（约 339.3 元）。 图4 新能源电池总成本随底面半径变化曲线（第14题） 【易错点提示】 · 建立函数时注意顶盖和底盖的面积是 2π （两个圆），不要只算一个。 · 不同部位的材料单价不同：顶盖和底盖 2 元/c，侧面 1 元/c，需分别计算。 · 求导后解方程 8 = 216 时， = 27，r = 3，注意是立方根不是平方根。 · 实际问题中 r > 0，定义域为 (0, +∞)，且 C(r) → +∞（r → 或 r → +∞），故唯一驻点即为最小值点。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——导数的实际应用。以新能源储能电池设计为真实情境，完整考查数学建模流程（实际情境→数学模型→求导→最优解→回到实际），体现2026高考"情境真实，强化建模"导向。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第15题 【答案】 （1）当 a ≤ 0 时，f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增；当 a > 0 时，f(x) 在 (0, ) 上单调递增，在 (, +∞) 上单调递减。 （2）a 的取值范围为 [1, +∞)。 【命题意图】 本题考查利用导数讨论含参函数的单调性（分类讨论思想）及不等式恒成立问题。属于中档题，考查分类讨论和转化化归的数学思想。 【解题思路】 (1) 求导 f'(x) = - a，按 a 的正负分情况讨论 f'(x) 的符号。(2) 利用（1）的结论，f(x) 的最大值必须 ≤ 0。分情况讨论最大值。 【详细过程】 f(x) = ln x - ax + 1，x ∈ (0, +∞)。 f'(x) = 1/x - a = (1 - ax) / x 由于 x > 0，f'(x) 的符号由 1 - ax 决定。 （1）讨论 f(x) 的单调性： 当 a ≤ 0 时：ax ≤ 0，故 1 - ax ≥ 1 > 0，从而 f'(x) > 0 恒成立。 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。 当 a > 0 时：f'(x) = 0 ⟹ x = 。 · 0 < x < 时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增； · x > 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减。 f(x) 在 (0, ) 上单调递增，在 (, +∞) 上单调递减。 综上所述： · 当 a ≤ 0 时，f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增； · 当 a > 0 时，f(x) 在 (0, ) 上单调递增，在 (, +∞) 上单调递减。 （2）若 f(x) ≤ 0 对任意 x ∈ (0, +∞) 恒成立，求 a 的取值范围： 当 a ≤ 0 时：f(x) 单调递增。 当 a < 0 时，lim(x→+∞) f(x) = +∞，不满足。 当 a = 0 时，f(x) = ln x + 1，lim(x→+∞) f(x) = +∞，不满足。 故 a ≤ 0 不符合条件。 当 a > 0 时：由（1）知 f(x) 在 x = 1/a 处取得最大值： f() = ln() - () + 1 = -ln a - 1 + 1 = -ln a 需要 f() ≤ 0，即 -ln a ≤ 0 ⟹ ln a ≥ 0 ⟹ a ≥ 1 综上所述，a 的取值范围为 [1, +∞)。 【易错点提示】 · 分类讨论时，a ≤ 0 的情况必须单独讨论，不能直接默认 a > 0。 · a ≤ 0 时 f(x) 无最大值（趋于 +∞），这是排除该情况的关键。 · f() = -ln a（注意 -() = -1，与 +1 抵消），计算要仔细。 · -ln a ≤ 0 ⟺ ln a ≥ 0 ⟺ a ≥ 1，不等号方向不要出错。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——导数与含参函数单调性、恒成立问题。模块六核心题型：综合考查分类讨论思想和转化思想，与第6题和第12题构成恒成立问题的难度梯度。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第16题 【答案】 （1）f(x) 的最小值为 0（在 x = 0 处取得）。 （2）a = 1。 （3）利用 ≥ x + 1 及 ≥ 1 - x 分别构造不等式，令 x = 即得证。 【命题意图】 本题以递进式设问的方式，从具体到抽象、从特殊到一般，考查导数的综合应用和不等式证明。第（3）问利用前两问的结论证明经典不等式，体现2026高考"递进式探究设问"的命题特征。属于压轴题。 【解题思路】 (1) 代入 a = 1，求导找最小值。(2) 求 f(x) 的最小值，令其 ≥ 0。需对 a 分类讨论。(3) 利用（1）中 ≥ x + 1 的结论，通过巧妙的代换推导出两个不等式。 【详细过程】 （1）若 a = 1，求 f(x) 的最小值： 当 a = 1 时，f(x) = - x - 1。 f'(x) = - 1 令 f'(x) = 0： = 1 ⟹ x = 0。 · x < 0 时， < 1，f'(x) < 0，f(x) 单调递减； · x > 0 时， > 1，f'(x) > 0，f(x) 单调递增。 故 f(x) 在 x = 0 处取得最小值：f(0) = - 0 - 1 = 0 所以 f(x) 的最小值为 0。 （2）若 f(x) ≥ 0 对任意 x ∈ ℝ 恒成立，求 a 的值： f(x) = - ax - 1，f'(x) = - a。 情形一：a ≤ 0 f'(x) = - a > 0，f(x) 在 ℝ 上单调递增。 当 x → -∞ 时：若 a < 0，f(x) → -∞，不满足； 若 a = 0，f(x) = - 1，当 x < 0 时 f(x) < 0，不满足。 故 a ≤ 0 不符合条件。 情形二：a > 0 f'(x) = 0 ⟹ x = ln a。 f(x) 在 x = ln a 处取得最小值： f(ln a) = a - ln a - 1 = a(1 - ln a) - 1 需要 f(ln a) ≥ 0，即 a(1 - ln a) ≥ 1。 设 h(a) = a(1 - ln a)（a > 0），则： h'(a) = 1 - (ln a + 1) = -ln a · 0 < a < 1 时，h'(a) > 0，h(a) 单调递增； · a > 1 时，h'(a) < 0，h(a) 单调递减。 故 h(a) 在 a = 1 处取得最大值：h(1) = 1。 所以 h(a) ≤ 1 对所有 a > 0 成立，当且仅当 a = 1 时取等号。 因此 a(1 - ln a) ≥ 1 仅在 a = 1 时成立。所以 a = 1。 验证：当 a = 1 时，由（1）知 f(x) = - x - 1 ≥ 0 恒成立。✓ （3）证明：对任意正整数 n，(1 + < e < (1 + 由（1）知：对任意 x ∈ ℝ， ≥ x + 1，等号当且仅当 x = 0 时成立。 证明左边不等式：(1 + < e 在 ≥ x + 1 中，令 x = （n 为正整数，x > 0，故等号不成立）： e^(1/n) > 1/n + 1 = 1 + 1/n 两边 n 次方（两边均为正数，不等号方向不变）： (e^() > (1 + 即 e > (1 + ……(*) 证明右边不等式：e < (1 + 在 ≥ x + 1 中，令 x = -1/(n+1)（x < 0 且 x ≠ 0，故等号不成立）： e^(-1/(n+1)) > 1 - 1/(n+1) = n/(n+1) 两边取倒数（两边均为正数，取倒数改变不等号方向）： e^(1/(n+1)) < (n+1)/n = 1 + 1/n 两边 (n+1) 次方： (e^(1/(n+1)) < (1 + 即 e < (1 + ……(**) 综合 (*) 和 (**)，对任意正整数 n：(1 + < e < (1 + 证毕。 【易错点提示】 · 第（2）问中，设 h(a) = a(1 - ln a)，需要判断 h(a) 的最大值。关键结论是 h(a) ≤ 1（当且仅当 a = 1），这意味着 a = 1 是唯一满足条件的值。 · 第（3）问中，证明右边不等式时，代入 x = -1/(n+1) 是关键技巧——需要将 1 + 表达为 1/(1-x) 的形式。 · 取倒数时注意不等号方向的变化。 · 两边同时 n 次方（或 n+1 次方）时，由于两边均为正数，不等号方向不变。 【知识链接】 人教A版选择性必修第二册第五章——导数综合应用。模块六最高层次的综合题，核心不等式 ≥ x + 1 是整个导数不等式证明体系的基石，体现"一题多问、层层递进"的2026高考命题特征。 四、附录：备考建议 一、知识梳理要点 模块 核心方法 易错警示 函数定义域 根式、分式、对数条件取交集 分母不为零（严格不等号） 导数运算 乘法法则、商的法则、复合求导 (e⁻ˣ)' = -e⁻ˣ，勿漏负号 单调性 f'(x) > 0 递增，f'(x) < 0 递减 f'(x) = 0 的点是分界点 极值与最值 驻点 + 端点，比较函数值 闭区间最值必须考虑端点 恒成立 分离参数法 → 求最值 分清 a ≤ g(x)_min 还是 a ≥ g(x)_max 零点个数 极值符号 + 零点存在定理 三次函数不一定有3个实根 不等式证明 构造函数法、利用已知不等式 注意等号成立条件 二、2027届备考方向 1. 回归教材：深挖公式概念的本质，以教材例题为母题进行变式训练 2. 递进式设问训练：适应"由浅入深"的命题模式，前后问之间善用铺垫关系 3. 构造函数法：灵活构造辅助函数，掌握 ≥ x + 1、ln x ≤ x - 1 等基本不等式的证明与应用 4. 分类讨论思想：含参问题中，准确划分讨论标准，做到不重不漏 5. 情境化建模：关注科技、生活背景的实际问题，提升数学建模能力 6. "多想少算"策略：减少机械运算，注重思维路径优化，善用极值符号判断零点个数等技巧 — — 学科网（北京）股份有限公司 $